Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.4. дифференцируемость сложной функции

 

Пусть Дх, у) - функция от двух переменных х и у, a (pit) и ц/ it) - функции от независимой переменной /. В этом случае говорят, что Fit) =J{(pit), ~ сложная функция от t, а х ну - промежуточные переменные.

Теорема 3.3. Если функции х = <р(/) и у = ц/(ї) - дифференцируемы в точке /q, а функция z =fix, у) дифференцируема в точке (ф(/); if/(tQ)), то сложная функция F(t) =fi<p (/■), 4/(t)) также дифференцируема в /0. При этом производная сложной функции находится по формуле

F'{t0) =        г(ф'(і0) + /;(^0), К'о)И'о)

илы, короче,

z't=z'x-x',+z'y-y',. (3.11)

 

Доказательство. Вследствие дифференцируемости /х,^) в точке ( х0; >>0), где  х= q>(tj,y=y(t0), имеем

Az = /(*„ + Ах,у0 + Ay) - f(x0,y0) =

= z'xAx + z'yAy + s(Ax,Ay)^(Ax)2+(Ay)2. (ЗЛ2)

Здесь Дх, Ау - произвольные (достаточно малые) приращения переменных х, у, а є (Ах, Ау) - бесконечно малая (при Ах ->0, Ау ->0) функция. Поскольку равенство (3.12) справедливо при любых малых Ах, Ау, то оно выполняется и для приращений вида

Ax = <p(t)-<p(t0), Ау = ^)-у/(1й). (3.13)

Подставив равенства (3.13) в формулу (3.12), после деления на At получим

 

(3.14)

Так как <p(f) и у/(і) дифференцируемы в /0, то они непрерывны в /0. Следовательно, Дх ->0 и Ау ->0, когда At -»0. Далее,

 

поэтому, переходя к пределу при At -> 0 в равенстве (3.14), получим формулу (3.11). Одновременно с этим доказано, что F(t) дифференцируема в точке t0.

162

Пр им ер 3.6. Пусть z =fix,y), х = t1, у = t2+l. «Тогда

Z=Zx3fi+z'2t.

Пример 3.7. nycTbz = x^, х = cos t, у = sin /. Тогда по формуле (3.11) имеем

z = z'xx', + z'yy = уху'х (-sin?) + ху lncosf =

= - sin2 f(cosOsm"' +(cosOsm'+1 lnx =

= (cos/)s,n'+,(lnjc-tg2jr).

Рассмотрим теперь более сложный случай. Пусть z =fix, у) -функция от двух переменных х я у, которые, в свою очередь, зависят от двух других переменных х =(fiu, v), у = цКи, v). Тогда z =fiq(u, v), ци, v)) - сложная функция от двух независимых переменных и и v. Фиксируя сначала v, а затем и и используя формулу (3.11), получим следующие соотношения:

 

z'=z'x^z'y'. <315>

Справедливо утверждение: если функции qiu, v), и цКи, v) диф-

ференцируемы в точке (и0, v0), а функция fix, у) дифференцируема

в точке            vX (Ды0, v0)), то сложная функция z =fiq{u, v),

у(и, v)) также дифференцируема в точке (и0, v0).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |