Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.5. производная по направлению.

Градиент

Пусть / = (1х; 1у) - произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что |/| = tJIx +1у =1.

 

Определение. Производной функции fix, у) в точке (дг0, у0) по направлению вектора I называется предел

<?/(*о.л)        /(*• + '1"У«+ tlr)-f(x<»y°)

            —        = lim    .

ді        (->о+о /

df(xa,y0)

Говорят также, что    ' - это скорость изменения

функции в точке (х0, у0) в направлении вектора L 11* 163

Производная по направлению является обобщением понятия правой частной производной. Действительно, для векторов /, = (1; 0) и /2=(0; 1) имеем

д/{хо>Уо)    ,.    /{хо + 1>Уо)-/(хо>Уо)       (

01       /-»0+0  / 4

д/(хо,Уо)    ,.    А*о*Уо + і)-/(*о>Уо)   ґ, {

—Ті—= hm„   ;           = /уАхо>Уо)-

Oly      |-»0+0  /           ' '

 

О

Пример 3.8. Найти производную функции z = х-у в точке (0;0) по направлению произвольного единичного вектора

 

Решение. Исходя непосредственно из определения, имеем

&     г     K-">|-I°l     ,.            I, ,1

— = lim                       am -     L= »*-'«■

dl   /-*с+о      t            і->о+о    /       1 л

Пример 3.8 показывает, что функция может иметь в некоторой точке производные по любому направлению и, одновременно, не быть дифференцируемой в этой точке (см. пример 3.5а).

При постановке задачи об определении скорости изменения функции по направлению вектора / вместо единичного вектора / часто задается какой-либо ненулевой вектор v или ориентированная прямая L. В этом случае в качестве вектора / следует взять вектор / = |v|_1v, где v - это либо заданный вектор, либо направляющий вектор прямой L. Легко доказывается, что координаты вектора / совпадают с косинусами углов, которые вектор v (прямая L) образует с соответствующими осями координат. Действительно, пусть, например, «-угол между вектором v и осью Ох, а/?-угол между v и осью Оу. Тогда

COSttJCOS

 

v*       a vy cos а = -Ну, cos р = yj

 

(рис. 3.2). Следовательно, / - Ivj v

Если функция fix, у) дифференцируема в точке М(х0, уХ то при вычислении ее производной по направлению / в точке мвме-

Рис. 3.2

 

сто того, чтобы считать предел (как мы это проделали в примере 3.7) можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 3.4. Производная дифференцируемой функции z =^ у) в точке (х0, у0) по направлению вектора I - (/,; 1у) находится по формуле

 

Щ^-=/;(*о,л) ■+ /Л***) Л       О -16)

 

или

dz

dl         у у

Доказательство. Определим дифференцируемые (по І) функции qii) и цКі) формулами: qit) = х0+ tlx и y^t) = yQ+ tly. Положим

f(t) = f(<p{t), yr(t)) = f(x0 + tlxy0 + tly). По теореме 3.3 находим производную функции f(t) в нуле:

f>(o)=/;(р(о), у(о)У(о)+/;(^о), ^ (о)у'(о) =

= /;(WoK+/;(Wo)'r

С другой стороны

 

/-►О   t           /->0+0 /

.    f(xu+tlx,ya+tly)-f(xu,yQ)   df(xa,y0) (3-18)

_ ]im    _          —       

i->o+o / dl

Сравнивая равенства (3.17) и (3.18), получаем формулу (3.16).

 

Определение. Градиентом функции в точке Мназывается вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Так, для функции двух переменных fix, у) имеем

grad/(M) = (/;(M);/;(M)). Для функции трех переменных fix, у, z) имеем

grad/(M) = (/;(м);/;(л/);/;(м)),

и т.д. Используя градиент, формулу (3.16) можно записать короче:

^M(grad/(M),/), (3.19)

где (grad ДА/), Т) - скалярное произведение векторов. Формула (3.19) отчетливо разграничивает роли двух факторов, от которых зависит производная по направлению: роль/и роль I.

Заметим, что ни количество аргументов функции /, ни длина вектора / не играют существенного значения при выводе формулы (3.19). Это обстоятельство будет использоваться в дальнейшем, поэтому запишем более удобный вариант формулы (3.19) для функции /от п переменных и произвольного вектора /. Положим P{t)=fiM+ tl), где М, I eR" .Тогда выполняется следующее равенство:

F'(0) = (grad/(A/),/). (3.20)

 

Пример 3.9. Найти производную функции z = х^у6 в точке (1; 1) по направлению вектора v = (3; -2).

Решение. Вектор v задает единичный вектор

Градиент z в точке (х, у) равен (z'x; z'y) = (Sx^y6; 6*У). Поэтому grad z( 1,1) = (5;6). Используя формулу (3.19), находим

 

Пусть Лфг0, у0) - точка, в которой вычисляется градиент функции^*, у), <р - угол между векторами grad /(А/) и /. Так как

(grad/(M),/) = |grad/(A/)| -|/| - cos?,

а / - единичный вектор, то из формулы (3.19) вытекает равенство

^ = |8П*/(л4со.*

Из этого равенства следует, что производная по направлению принимает наибольшее значение при cos q> = 1, т.е. когда векторы grad fiM) и / имеют одинаковое направление. При этом

^ = Н/(М)|.

31

 

Вывод: градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |