Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.7. предельная полезность и предельная норма замещения

Основным понятием теории потребления является функция полезности U(x, у). Эта функция выражает меру полезности набора (х, у), где х - количество товара X, а у - количество товара Y. Чувствительность набора (х,у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью х и определяется как частная производная U'x. Аналогично предельная полезность^ определяется как U'у. Чаще всего линии уровня функции полезности (их еще называют кривыми безразличия) являются графиками убывающих функций. Поэтому мы будем считать, что для точек А(х0, у0) и В(х0 + Ах, у0 + Ау), расположенных на одной линии уровня приращения Дх и Ду имеют разные знаки (рис. 3.4).

Пусть, для определенности, Дх > 0, а Ау < 0. В этом случае говорят, что Дх единиц первого товара замещается на (- Ду) единиц второго товара (имеется в виду переход из В в А).

Предельной нормой замещения хна у в точке А(х0, у0) на-

зывается предел отношения            когда точка В стремится к

А, оставаясь на одной с А линии уровня функции U{x, у). Пре-

дельная норма замещения обозначается MRS^ или MRS^i А) если необходимо явно указать ее зависимость от точки А.

Пусть /- касательная к линии уровня функции U{x,y) в точке А. Из рис. 3.4 ясно, что секущая АВ стремится к /, когда —В стремится к А, поэтому

MRSxy(A)=-tga, (3.27)

где а- угол наклона касательной /. Согласно формуле (3.24) мы можем записать уравнение I в виде

и;(А)(х-Хо) + и;(А)(у-у0) = о,

или

U'x(A)<

у = Уо~1Щ^~Хо>- <3-28)

Из уравнения (3.28) следует, что tg а (угловой коэффициент касательной) равен-~|^|. Используя равенство (3.27), получаем формулу:

 

Вывод: предельная норма замещения одного товара другим равна отношению их предельных полезностей.

Пример 3.12. Найти предельную норму замещения х на у для функции полезности U(x,y) = In д: + In у в точках: а) (3; 12), б) (2; 1).

Решение. г). Но формуле (3.29) получаем

 

и у x

поэтому MRSJ3; 12) =4.

б). Аналогично находим MRS (2; 1) = 0,5.

Экономический смысл предельной нормы замещения можно понять из следующего примера. Предположим, что MRS^ = 2, т.е. одна единица товара   по вкладу в общую полезность набора эк-

172

вивалентна 2 единицам товара У. Пусть р - цена X, q - цена У. Тогда стоимость набора (х, у) будет рх + qy. При замене в этом наборе одной единицы Хна две единицы К стоимость набора изменится на 2q - р. Если же, наоборот, две единицы У заменить на одну единицу X, то стоимость набора изменится на /> - 2q. Предположим теперь, что (jc*, у*) - самый дешевый набор при заданном уровне полезности Щх, у) = const. Тогда получаем, что указанные выше изменения стоимости должны быть неотрицательными: 2q-p>0, р-2q> 0. Следовательно, р = 2q. Ясно, что двойка в приведенных выше рассуждениях может быть заменена любым другим числом, так что фактически мы обосновали равенство

MRSxy(x*,y*) = ?-.

 

Это же самое равенство, хотя и при других предположениях, еще раз будет получено в § 15, где оно используется для вывода функций спроса.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |