Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.10. частные производные высших порядков

 

Пусть D с R1 - открытое множество в К1, J[x, у) - определенная на множестве D функция. Предположим, что в каждой точке М є D существуют частные производные f[ и /'. Тогда

частные производные /Дх,_у) и /Дх,у) естественно считать функциями с областью определения D. Они называются частными производными первого порядка. Частные производные от функций /х'(х,у} и fl{x,y) называются частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) от функции fix, у). Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) и т.д.

сятак:

Если первая производная функции z = jf(x, у) была взята, ска-"'«*** "n г то ее частные производные в точке (xQ, у0) обозначают-

 

или

 

Зс1    аХёс)        дх1     ' дудх   дудх) су&

Аналогичные обозначения используются и для других частных производных. Например, zyx =(zy)x, z'^ =(z'y)'y,

и т.д.

Определение. Частные производные второго порядка z'^ и z'p называются смешанными частными производными.

Пр им ер 3.16. Найти все частные производные второго порядка от функций: a), z = х3 + у2 + 5х2у; б), z = arctg —.

У

Решение.

a) z'x = Ъх1 + Юху, г'у = 2у + 5х2.

Следовательно, г" = 6х + Юу, z'^ =2, z'xy-z'yx = 10х.

у        , -х б) Имеем Z*=-J^y'z>-хг+у*'

Следовательно,

2ху      2ху        „     „ = . х2-у2

г" --

(7+7Г>♦/)''    ' ('!+^

 

178

12*

В примерах 3.16 а) и б) смешанные частные производные от одной и той же функции 2 совпадают. Являются ли данные совпадения случайными, или они - следствия какого-то общего правила? Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.

Теорема 3.6. Если производные f^(x,y) и fyX{x,y) существуют в некоторой окрестности точки М(х0,у0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство

f;;{M) = f;(M). (з.зб)

Доказательство. Определим выражение Wформулой: W = [f(x0 + Ах,у0 + Ау) - /(х0 + Ах,у0)] -

- [/(хо>Уо + 4у) - /(*о.И>)]-

Это выражение совпадает с приращением на отрезке [х,, х0 + Ах) функции <р(х) = fx0,y0 + Ay) - fx,y0). По теореме Лагранжа о конечных приращениях найдется точка х, є (х0, х0 + Ах), в которой выполняется равенство W = А<р = <р'(хх)Ах или W = [f;(xx,y0 + Ay)- fxx,y0)]Ax. Применяя теорему Лагранжа теперь к функции у(у) = ff(xx,y), найдем точкуух є (у0,у0+ Ау), в которой Ау/ = у/ух)Ау. Следовательно,

W = [/,'(*,,Л + Ау) - /;(х, ,Уо)]Ах = = Ау(у0)Ах = <ф,)ДхДу = f^(xuyt)AxAy. (3'3?) С другой стороны, для функции

t(y) = f(x0 + Ах,у)- f(x0,y) выражение IF можно представить как приращение ^у) на отрезке

 

А£ = [/(*о + Д*.Уо + Ду) ~ /(Wo + Ау)] ~ -[/(*„ + Ах,у0)-/(х0,^0)] = W. Аналогично находим, что

W = f£(x2,y2)AxAy, (3.38)

где х2 є (х0, х0+ Дх),уге (у0, у0 + Ау). Сравнивая формулы (3.37) и (3.38), получим

К{*чУі)~/£{*г*Уг (3.39)

причем х, -> х0,х2 -> х0, когда Дх -> 0, и ух -> Уо,^ -> >0, когда Д>> —> 0. Поскольку смешанные производные по предположению непрерывны, то, переходя к пределу в равенстве (3.39) при Дх -> 0, Ау -¥ 0, получим равенство (3.36).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |