Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.12. условный экстремум

 

Пусть функция j{x■, ....,хп) от п переменных определена в области D a R" и пусть Х- некоторое подмножество в D.

Определение. Точка Р0 є X называется точкой условного локального максимума (минимума) функции / если для всех достаточно близких к ней точек Р є X выполняется неравенство

f{P)<f(P0) (f(P)<f{P0)). (3.46)

Точки условного локального максимума и точки условного локального мимимума называются точками условного локального экстремума или просто точками условного экстремума.

Отличие условного экстремума от обычного состоит в том, что неравенство (3.46) должно выполняться не для всех вообще точек Р, достаточно близких к Р0, а только для тех достаточно близких точек Р, которые принадлежат множеству X, - в этом и состоит условность экстремума

Для приложений наиболее важен случай, когда множество X задается с помощью некоторой системы уравнений и неравенств. Ограничимся пока случаем уравнений. Итак, пусть X задано системой

g](x],...,xn) = 0,

(3.47)

g,{xi>->x») = °>

гдеgx,...,gs-некоторые функциип переменных.

Уравнения (3.47) называются обычно уравнениями связи, так как они связывают значения переменных xv —,хп. Таким образом, возникает задача о нахождении экстремумов функции J(xхп) при условии, что переменные ххп связаны уравнениями (3.47). Если бы переменные не были связаны, то эта задача, по крайней мере в случае дифференцируемой функции/, решалась бы путем исследования ее стационарных точек. Оказывается, что и при наличии связей задача также сводится к поиску стационарных точек. Однако в данном случае точкам условного экстремума исходной функции / соответствуют стационарные точки другой функции.

Теорема 3.9 (необходимое условие условного экстремума). Пусть функции f и g., ...,gs определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки Р0, причем векторы

gradg,(/>0),...,grad^(P0) (3.48)

линейно независимы Тогда, если Р. - точка условного экстремума функции f при условиях (3.47), то найдутся числа Я,,As для которых PQ - стационарная точка функции

 

!(*,,...,*„) = f(xi,...,xK)+Xigi(xl,...,xH}+...+A,g,(xl,...,xn).

 

Функция L называется функцией Лагранжа, а числа Ар    Яз - множителями Лагранжа.

Доказывать теорему в общем случае мы не будем, а ограничимся частным случаем, когда число переменных равно 3, а число связей - 2. Более того, примем, что Р0= (0; 0; 0), а уравнения связи имеют вид

 

Где, =0,

1*2 = 0-

Следовательно, множество X всех решений этой системы есть ось Oxv а ограничение функции/ на Х- функция одной переменной у(0, 0, х3). Так как (0; 0; 0) - точка условного экстремума функции трех переменных f(xv xv х2), то 0 - точка обычного экстремума функции одной переменной /(0, 0, дс3). Поэто-

<?/(0,0,0)

му —1        = 0. Для функции Лагранжа

дхг

L(x ,х2 ,.*з) = f(xx, х2, *з) + А,дГ| + Х2х2 частные производные имеют вид

 

дх    дхх     ''  дх2    дх2         дхг дхг'

Как было доказано выше, в точке Р0 частная производная ^J— = о

 

на нулю в этой точке. Частные производные функции Лагранжа по хх и по х2 обращаются в нуль в точке Р0, если положить

jam, (3.49)

Х х2

Следовательно, Р0 - стационарная точка функции Лагранжа, когда множители Лагранжа принимают значения (3.49). В частном случае теорема доказана. Для искушенного в математическом анализе читателя должно быть ясно, что данное доказательство по сути является общим, поскольку функции gt,...,gs можно принять за новые координаты в окрестности точки Р0.

Замечание 1. Если имеется только одно уравнение связи

g(x,,...,X„) = О,

то условие линейной независимости градиентов (3.48) сводится к условию grad g(P0) * 0, которое означает, что по крайней мере

одна частная производная дх  отлична от нуля в точке Р0.

 

Замечание 2. Пусть Р* - точка, в которой функция / принимает наибольшее (наименьшее) значение на множестве X. Тогда, очевидно, Р* - точка условного локального экстремума функции ДР) при условии Р є X. Следовательно, Р* - стационарная точка функции Лагранжа (при определенных значениях множителей Лагранжа), либо для Р* нарушаются условия теоремы 3.9.

Пример 3.20. Найти наибольшее значение функции / = х + у + z при условии

9х2 + 4у2 + z2 = 36. (3.50)

Решение. ПустьX a R1 - множество всех точек Р(х,у, z), координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50). Поскольку из уравнения (3.50) вытекают неравенства |дг|< 2, у\< 3, |z|< 6, то X - ограниченное множество. Так как левая часть уравнения (3.50) - непрерывная функция, то Х- еще и замкнутое множество.

Из непрерывности функции /= х + у + z следует, что она достигает наибольшее значение на Хъ некоторой точке Р*. Чтобы найти точку Р*, воспользуемся замечаниями 1 и 2. Запишем условие (3.50) в виде уравнения g{x,у, z) = 0, где

g(x,y,z) = 36-9x2-4y2-z2.

Таким образом, функция Лагранжа будет

L(x,y,z) = x + y + z + Л{36 - 9х2 - 4у2 - z2).

Приравнивая нулю ее частные производные, получим систему уравнений, задающую стационарные точки:

' 1-18Ах = 0, • 1-8Я>' = 0, -2*2 = 0.

Следовательно, координаты стационарных точек следующим образом выражаются через множитель Лагранжа:

1          1 1

х-         , у = —, г = —.

Ш        8А 2Х

Подставив эти выражения в уравнение связи (3.50), найдем зна-

7

чения множителя Лагранжа Я = ± —. Отсюда получим две ста-

72

D(4 9 36^1    „Г 4   9 36^1

ционарные точки: РА —; —;—  и Р,         ;           ;           .

v7 7  1)       v  7    7    7 ) Проверим теперь условия теоремы 3.9 для произвольной точки Pq{xq, у0, z0) є X. Во-первых, вычисляя частные производные первого порядка функций /и g, нетрудно убедиться в том, что все они непрерывны в любой точке Р0 е Л3. Во-вторых,

grad g(P0) = (- \%x0;-\%y0;-2zQ) * 0,

так как, если точка Р0 е X, то хотя бы одна из ее координат отлична от нуля. Итак, для любой точки множества Xвыполняются все условия теоремы 3.9, следовательно, точками условного экстремума / могут быть только точки Р{ и Р2. Поскольку АР[) = 7 >ЛЛ) = -7, то Р* ~Ру Таким образом, наибольшее значение /на X будет _ДР*) = 7.

Пример 3.21. Пусть U - полезность набора товаров, состоящего из л: единиц первого товара, у - второго и z единиц третьего товара. Найти стоимость наиболее дешевого набора товаров с заданным значением полезности U = 10000, если цена первого товара - 4, второго - 25, третьего - 20, а функция полезности имеет вид U = xyz2.

Решение. Пусть S = 4х + 25у + 20z - стоимость набора, X с R?- множество всех точек Р(х, у, z), координаты которых удовлетворяют системе ограничений

і xyz2 =10000, [x>0,.>>>0,z>0.

Необходимо найти минимальное значение S на множестве X. В отличие от предыдущего примера множество Хне ограничено. Поэтому теперь мы будем рассуждать иначе. Найдем какую-нибудь точку А с заданным значением полезности U = 10000. Например, можно взять точку А(; 10; 10). Стоимость набора А будет S(A) = 490. Затем удалим из Хвсе наборы, стоимость которых заведомо больше стоимости самого дешевого набора, скажем, больше 500. Полученное множество обозначим X', другими словами, X' задается системой ограничений

xyz2 = 10000, • x>0,>>>0,z>0, 4х + 2Ъу + 20г < 500.

Левые части ограничений данной системы - непрерывные функции, поэтому X' - замкнутое множество. Кроме того, для любой точки Р(х, у, z) еХ' выполняются неравенства

0<х<125,   0<у<20, 0<z<25.

Отсюда X'- замкнутое и ограниченное множество. Вследствие непрерывности функции S найдется точка Р *(х *, у *, z *) еХ в которой S принимает наименьшее значение на X' (а значит, и на X). Поскольку х*у* z*2= 10000, имеем х* > 0, у* > 0, z* > 0. Кроме того,

5(Р*)<5(Л) = 490<500.

Следовательно, и для любой достаточно близкой к Р* точке Р(х, у, z) также будут выполняться неравенства

х>0, у>0, z>0 и Ах + 25у + 20z < 500.

Таким образом, если достаточно близкая к Р* точка Р(х, у, :) удовлетворяет условию ЩР) = 10000, то она принадлежит А". Поэтому Р*~ точка условного локального минимума функции £ при условии U= 10000.

Найдем точку Р*, используя теорему 3.9. Функция Лагранжа имеет вид

L = 4х + 25у + 20z + i(l0000 - xyz1).

Приравнивая нулю частные производные, получаем систему уравнений для ее стационарных точек

4-Ayz2 = 0, ■ 25-Axz1 = 0, 20-2Лгуг = 0.

С учетом уравнения связи из этой системы находим

х = 2500/1,^ = 400A,z = 1000Я.

Подставив данные выражения в уравнение xyz1 = 10000, найдем А = 0,01. Отсюда Р* = (25; 4; 10). Поэтому стоимость самого дешевого набора S(P*) будет 4 ■ 25 + 25 ■ 4 + 20 ■ 10 = 400.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |