Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 3.16. функции спроса

Пусть р - цена товара X, q - цена товара Y, R - доход потребителя. Напомним, что функцией полезности U(x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара X и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. px + qy< R.

Определение. Пусть функция полезности U(x,y),npu любых положительных р, q и R имеет на множестве

{px+qy<R,x>0,y>0} (3.59)

единственную точку глобального максимума (х* у*). Тогда х*; у* - функции от р, q и R:

х' =xD(p,q,R),

x'=yD(p,q,R).

Эти функции называются функциями спроса.

Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах.

С геометрической точки зрения множество (3.59) - треугольник с вершинами О(0;0), A(R/p;0) и B(0;R/q) (рис. 3.6). Как правило, функция U( х, у) возрастает при увеличении х и у, поэтому наи-

Для любого / > 0 множество {tpx + tqy < /Л, х>0,у>0} совпадает с множеством (3.59), поэтому функции спроса удовлетворяют следующим тождествам:

xD(tp,tq,tR) = xD(p,q,R),

yD(tp,(q,tR) = yD(p,q,R).

Таким образом, функции х = x°(p,q,R), у = yD(p,q,R) являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера:

px'p+qx'4+Rx'R=0,

а также следующие уравнения для эластичности:

Eyp + E„+EyR=0.

Как правило, функция полезности является строго вогнутой. В этом случае условия Куна-Таккера (если, конечно, они разрешимы) позволяют найти функции спроса. Пусть Л, р, v - множители Лагранжа, причем Я соответствует ограничению рх + qy < R, /л - неравенству х > 0, v - неравенству у 1l 0. Тогда функция Лагранжа запишется так:

L(x) = U(x,y) + A(R - рх - qy) + рх + vy.

Условия Куна-Таккера для функции Цх) будут следующие:

U'x(x,y)-Ap + M = 0, U'y(x,y)-Aq + v = 0, X{R-px-qy) = 0,

fjx = 0, vy = О, A>0,/i>0,v>0.

>0.

< 0 и U"

ху(х + у)

(х + у)2

Функция U(x,y) является строго вогнутой в области {х > 0, у > 0}, поскольку при положительных х и у выполняются неравенства:

U"=     г + -

Кроме того, UI = —-— > 0. Поэтому функции спроса таковы:

х{х + у)

Если заранее известно, что функции спроса не обращаются в нуль, то из четвертого и пятого уравнения системы (3.61) следует, что ц - v = 0. В этом случае система (3.61) выглядит проще:

Х°=—^—,у°=—^—

р+у[рд'      q + Jpq

Щ(х,у)-Лр = 0, U'y(x,y)-Aq = 0, A(R-px-qy) = 0, Л>0.

Если U'x > 0 или U'y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то из первых двух уравнений системы (3.62) следует, что Л > 0. Но тогда Я можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений

(3.63)

MRSxv = U'^y) = P *    Uy(x,y) q-

px + qy = R.

Пример 3.31. Найти функции спроса х°, у° в случае функ-цииполезности U(x,y) = пх + 1пу- 1п(х + у).

Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы:

U' =—-— U'=

*    хіх + у)1   у   у(х + у)

Система уравнений (3.63) имеет вид

■и;   xі д' px + qy= R.

Если в примере 3.31 значение R = 100 - фиксировано, то име-

ем функцию спроса x°(p,q) =—^     Если зафиксировать

Р+УІРЯ

R = 100 и, скажем, q = 9, то получим функцию спроса вида

х (р) = 7= и т.д.

Р + ЧР

В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса х = xD(p,q,R) и у = yD{p,q,R). С этой целью преобразуем выражение q{x' + yx'R). С учетом равенства qx' = -рх'р - Rx'R, следующего из тождеств Эйлера (3.60), и равенства qy = R-рх, вытекающего из бюджетного равенства px + qy = R, имеем

q{x'q + yx'R) = -рх'р — рх • x'R — -(рх'р +х) + х(] -px'R) = = (R- рх)'р + x(R - px)'R = qy'p + xqy'R.

Разделив первое и последнее выражения на q, получим уравнение Слуцкого:

*'ч + Ух'к = У'р + xy'R. (3.64)

Выражения, входящие в уравнение Слуцкого, имеют довольно сложную физическую размерность. Если, например, х ау измеряются в килограммах (кг), a R - в рублях (руб.), то размерность произведения yx'R будет кг2/руб. Уравнение Слуцкого можно сде

лать безразмерным, если умножить его на Д Тогда оно приоб-ретает вид ху