Имя материала: Математика в экономике Часть 2 Автор: Солодовников А.С. § 3.16. функции спросаПусть р - цена товара X, q - цена товара Y, R - доход потребителя. Напомним, что функцией полезности U(x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара X и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. px + qy< R. Определение. Пусть функция полезности U(x,y),npu любых положительных р, q и R имеет на множестве {px+qy<R,x>0,y>0} (3.59) единственную точку глобального максимума (х* у*). Тогда х*; у* - функции от р, q и R: х' =xD(p,q,R), x'=yD(p,q,R). Эти функции называются функциями спроса. Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах. С геометрической точки зрения множество (3.59) - треугольник с вершинами О(0;0), A(R/p;0) и B(0;R/q) (рис. 3.6). Как правило, функция U( х, у) возрастает при увеличении х и у, поэтому наи- Для любого / > 0 множество {tpx + tqy < /Л, х>0,у>0} совпадает с множеством (3.59), поэтому функции спроса удовлетворяют следующим тождествам: xD(tp,tq,tR) = xD(p,q,R), yD(tp,(q,tR) = yD(p,q,R). Таким образом, функции х = x°(p,q,R), у = yD(p,q,R) являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера: px'p+qx'4+Rx'R=0,
а также следующие уравнения для эластичности:
Eyp + E„+EyR=0. Как правило, функция полезности является строго вогнутой. В этом случае условия Куна-Таккера (если, конечно, они разрешимы) позволяют найти функции спроса. Пусть Л, р, v - множители Лагранжа, причем Я соответствует ограничению рх + qy < R, /л - неравенству х > 0, v - неравенству у 1l 0. Тогда функция Лагранжа запишется так: L(x) = U(x,y) + A(R - рх - qy) + рх + vy.
U'x(x,y)-Ap + M = 0, U'y(x,y)-Aq + v = 0, X{R-px-qy) = 0, fjx = 0, vy = О, A>0,/i>0,v>0. >0. < 0 и U" ху(х + у) (х + у)2 Функция U(x,y) является строго вогнутой в области {х > 0, у > 0}, поскольку при положительных х и у выполняются неравенства: U"= г + -
Кроме того, UI = —-— > 0. Поэтому функции спроса таковы: х{х + у) Если заранее известно, что функции спроса не обращаются в нуль, то из четвертого и пятого уравнения системы (3.61) следует, что ц - v = 0. В этом случае система (3.61) выглядит проще: Х°=—^—,у°=—^— р+у[рд' q + Jpq
Если U'x > 0 или U'y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то из первых двух уравнений системы (3.62) следует, что Л > 0. Но тогда Я можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений (3.63) MRSxv = U'^y) = P * Uy(x,y) q- px + qy = R.
Пример 3.31. Найти функции спроса х°, у° в случае функ-цииполезности U(x,y) = пх + 1пу- 1п(х + у). Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы:
U' =—-— U'= * хіх + у)1 у у(х + у) Система уравнений (3.63) имеет вид
■и; xі д' px + qy= R. Если в примере 3.31 значение R = 100 - фиксировано, то име- ем функцию спроса x°(p,q) =—^ Если зафиксировать Р+УІРЯ R = 100 и, скажем, q = 9, то получим функцию спроса вида х (р) = 7= и т.д. Р + ЧР В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса х = xD(p,q,R) и у = yD{p,q,R). С этой целью преобразуем выражение q{x' + yx'R). С учетом равенства qx' = -рх'р - Rx'R, следующего из тождеств Эйлера (3.60), и равенства qy = R-рх, вытекающего из бюджетного равенства px + qy = R, имеем q{x'q + yx'R) = -рх'р — рх • x'R — -(рх'р +х) + х(] -px'R) = = (R- рх)'р + x(R - px)'R = qy'p + xqy'R. Разделив первое и последнее выражения на q, получим уравнение Слуцкого: *'ч + Ух'к = У'р + xy'R. (3.64) Выражения, входящие в уравнение Слуцкого, имеют довольно сложную физическую размерность. Если, например, х ау измеряются в килограммах (кг), a R - в рублях (руб.), то размерность произведения yx'R будет кг2/руб. Уравнение Слуцкого можно сде лать безразмерным, если умножить его на Д Тогда оно приоб-ретает вид ху |
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | |