Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§4.1. неопределенный интеграл и его свойства

 

1. Первообразная и неопределенный интеграл

 

В математике, как и в ее приложениях, часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция у =ftx), найти функцию у = F(x) такую, что Fх) =J{x).

Пример 4.1. Динамика формирования оборотных средств -это процесс изменения во времени, который можно рассматривать как непрерывный. Пусть K(t) - это зависимость объема оборотных средств от времени, тогда производная по времени dKldt -это скорость формирования оборотных средств, которую можно рассматривать так же, как скорость потока денежных средств /(/). Если нам дана функция скорости потока, то возникает задача нахождения функции оборотных средств, которая сводится к операции нахождения функции по ее производной.

Такая операция называется интегрированием, а раздел математики, изучающий методы нахождения функции по ее производной, - интегральным исчислением.

Одним из главных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной.

Определение. Функция у = F(x) называется первообразной для функции у -fix) на промежутке X, если для любого х е X выполняется равенство

F'(x) = f(x).

Пример 4.2. Пусть /(х) = cosx, тогда за первообразную можно взять F(x) = sin х, поскольку (sin х) '= COS X.

Пример 4.3. Пусть  /(х)=х2, тогда можно положить

(vy   (xі)'    Зх2 2 F(x) = ~Г, поскольку ~г"   =—г—= —=- = х .

Заметим, что в примере 4.2 мы могли вместо sin х в качестве первообразной взять, например, F,(x) = sin х + л, или F2(x) = sin х ~ 200, поскольку (sinx + л)' = cosx и точно так же (sin*-200)' = cos х.

Теорема 4.1 (об общем виде первообразной). Если F(x) -первообразная для функции у =fix) на промежутке X, то все первообразные для функции у =fix) имеют вид F(x) + С, где С произвольная постоянная.

Доказательство. Пусть fix) - первообразная для fix). Тогда выполняется равенство F'(x)= fix). Для любой постоянной С

(F(x) + C)' = F'(x) + Q = f(x),

а это означает, что F(x) + С - также первообразная для fix).

Обратно, пусть наряду с данной первообразной Fix) функция Ft(x) - также первообразная для fix). Тогда выполняются равенства

Fl'ix) = F'ix) = fix),

откуда (/«j(jr)- Fix))' = 0. Тогда по теореме 2.10 разность этих двух первообразных будет тождественно равна константе Fy(x)-F(x) = C, или

F,{x) = F(x) + C,

что завершает доказательство теоремы.

Эта теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления.

Определение. Если Fix) - первообразная для fix), то выражение Fix) + С, где С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции fix).

Неопределенный интеграл обозначается J/(x>£e (читается «интеграл эф от икс дэ икс»). Таким образом,

)fix)dx = Fix) + C.

Знак J называют знаком интеграла, функцию /(х) - подынтегральной функцией, fix)dx - подынтегральным выражением, С - постоянной интегрирования. Таким образом, символ jf(x)dx обозначает множество всех первообразных данной

функции.

Нахождение функции по ее производной или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием данной функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.

Как всякая обратная операция, интегрирование - более сложное действие, чем дифференцирование. Мы приступаем к рассмотрению свойств неопределенного интеграла и методов интегрирования.

 

2. Свойства неопределенного интеграла

 

/. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(j/(x)d!x) =fix),djfix)dx = fix)dx.

Действительно,

 

=(F(x) + C)'=/(x),

 

dfix)dx =( j>dx = fix)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

jdFix) = Fix) + C.

Поскольку dFix) = F'ix)dx, то jdFix) = jV'(x)dr = Fix) + С.

Постоянный множитель можно вынести из-под знака неопределенного интеграла, точнее, если к * 0, то

kf(x)dx = kf{x)dx.

Неопределенный интеграл от суммы  функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

!(/,(*)+/,(*))*=j/.w*+j/2 w*.

Действительно, дифференцируя левую часть равенства, полу-

чим по свойству 1 |J(/,(jc) + /2(x))abcj = /,(*) + /2(х), а производная правой части

/           t і

( J/,(x)A + j/i(x)&) = ( J /,(х)&) + ( J f2(x)dx) = /,(x) + /2(x), так что производные равны, что и требовалось проверить.

 

3. Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из таблицы производных.

I. ах = х + С.  П. x'dx = -— + С, а*-1.

J           і           a + l

 

Ш. J^ = ln|x| + C.        IV. Ja*<& = ^!- + С je'dx = e'+C.

 

V. Jcosxdx = sinx + C.           VI. Jsinx<fc =-cosx + C.

 

VH.  I—— = tgr + C. VIII. k^- = -ctgx + C.

J cos x J sin X

+ C.

 

vt f_*_ = J-lnU^| + C, д*0 XII. [ , dX    = lnlxWx2+*

 

Проверим, например, справедливость формулы Ш. Действительно, при х>0 1п|х|=1пхи (1пх)'= 1/х,а при х<0 ln|x)= 1п(-х), так что (1п|х|)' = (-х)' /(-х) = 1 / х, что и требовалось доказать.

Проверим еще справедливость формулы XI. Правую часть представим в виде

1 x + a-x + cf 1

^-(ln|x-a|-tn|x+a|) + C и после дифференцирования имеем

LU       U =

2аУх-а   x+aJ   2а   х2-а2       х1 -а1 '

 

что совпадает с подынтегральной функцией.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

-dx.

 

Пример 4.4. Найти J ^==-

Разделим почленно числитель на знаменатель и применим сначала свойства 3 и 4, а затем табличные интегралы П и III.

 

J           ^_      <£ = 2jx 2dx + 3jax 6dx + 5j — =

 

_! і

= 2 ^—- + З     + 5 ln|x| + С = - ~= - tfx + 5 ln|x| + C.

_1    _! Vx

Пример 4.5. Найти Г———.

J X4 +Х2

Сначала преобразуем подынтегральную функцию

1    _х2+1-х2    1 1 Xі +х2 " x2(x2+l) ~Р""77Г

Теперь запишем исходный интеграл как разность табличных интегралов II и X (при а = 1):

 

Пример 4L& Найти Г_соз2*Л

J sir

1 sin2 x cos3 X

Г cos2xdx гс J sin2 хcos2 х J

 

Используя формулу cos2x = cos2 x - sin2 x, представим данный интеграл в виде разности табличных интегралов VIII и VII:

cos2xdx fcos2x-sin2x

1 sin'xcos'x    J sin2xcos2x

-J-4~J-4-^tg,-tgx + C.

J sin X    j COS X

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |