Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 4.2. методы интегрирования

1. Интегрирование методом замены переменной

 

Во многих случаях введение новой переменной позволяет упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к линейной комбинации табличных. Такой метод называется методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 4.2. Пусть функция х = <p(t) определена и дифференцируема на промежутке Т и Х-множество ее значений, на котором определена функция  J(x). Тогда если F(x) - первообразная для J[x) на X, то F(<p(t)) - первообразная для f(((A )<p ))Ha Т, те на множестве Т выполняется равенство

j/(*H*-«o=Жоно*- <4л>

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства

^/)) = /!;W0)^'W=/W0M')'

что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства, это и доказывает равенство (4.1).

Формула (4.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле

г Jx

Пример 4.7. Найти j-            dx..

Для того, чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной х = /2, t = 4х. Тогда dx = ltdt и наш интеграл примет вид

 

J 1 + х       J 1 + /2      J  1 + '2

= 2^ р/ - Jy^r) = 2{t - arctg 0 + С.

Возвращаясь к переменной х, окончательно получим J-j^-dx = 2(Vx" - arctgVx") + С.

 

Пример 4.8. Найти ^4-x2dx.

Здесь удобно выполнить тригонометрическую замену х = 2 sin г 0 < х < —. Действительно, подкоренное выражение прини-

2

мает вид

4-х2 =4-4sin2r = 4(l-sin2r) = 4cos2/, a dx = 2costdt, так что имеем

jyJ4-x2dx = J2 cost ■ 2 costdt = 2 J2 cos2 tdt.

Применяя тригонометрическую формулу «понижения степени»: 2 cos2/ = 1 + cos2/, получим

 

1^4-х2ах = 2 J(l + cos2t)dt = 2t + sin2/ + С.

Для того, чтобы найти окончательный ответ, выражающий неопределенный интеграл через переменную х, выразим / из фор-

. х

мулы замены через х: t = arcsin— и заметим, что с dx

J

Воспользуемся табличным интегралом Ш: j — = ln|x| + С. Тогда

-^ = -1пІ2х + 5І + С. 2х + 5   2  1 1

Формулой замены переменной (4.1) пользуются и справа налево. Тогда этот метод называют иногда методом «подведения под дифференциал».

 

Подпись: Пример 4.11. Найти Jtgxdx.
sin2/ = 2 sin/cos/ = x-Jl- — --x-J4-x2.

V     4 2

Таким образом,

f V 4 — д:2 tic = 2arcsin — + — х-уі4-х2 +С.

J           2 2

Частным случаем теоремы 4.2 является следующая теорема, часто используемая на практике (линейная замена переменной).

Теорема 4.3. Если jf(x)dx = F(x) + C,mo jf(ax + b)dx = -F(ax +b) + C.

 

Доказательство Положим / = ax + b, тогда dt = adx, откуда dx = -dt, так что f(ax + b)dx = - f(t)dt = -F(t) + C, и, вы-ражая x через /, получим то, что требовалось.

Пример 4.9. Найти j"(2x + l)4ax.

Можно, конечно, записать подынтегральную функцию как полином от x, возведя 2х + 1 в четвертую степень, но это будет нерационально, поскольку проще выполнить линейную замену:

\{2x + ydx = ±\{2x + )d{2x + ) =

 

_ 1 (2х + 1)а |С   (2х + 1)3 2     5 10

224

г     ,     rsinx ,       іч/lcosx        і і

Имеем  gxdx=          dx=- -і - = -lncosx+C.

J           Jcosx   J cosx

rd(cosx) ' cosx

Аналогично находится интеграл от ctg х.

 

2. Метод интегрирования по частям

 

Метод интегрирования по частям основан на формуле дифференцирования произведения двух функций.

Теор ем а 4.4. Пусть и(х) и v(x) - две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на X выполняется формула интегрирования по частям.

judv -uv- jvdu. (4.2)

Доказательство. Имеем формулу для дифференциала произведения функций uv. d(uv) = udv + vdu. Интегрируя обе части равенства, получим слева uv по свойству 2 неопределенного интеграла, а справа сумму интегралов, так что

откуда легко получается формула (4.2).

225

Эта формула позволяет свести нахождение неопределенного интеграла judv к неопределенному интегралу jvdu, который может оказаться более простым.

15-1942

 

Положим и = х, dv = cos xdx. Тогда du = dx, а функция v находится интегрированием v= jcosjrax.TaK что можно положить v = sin х. Подставляя в формулу (4.2), получим

jxcosxdx = х• sinx - jsinxdx = xsinx + cosx + С. Пример 4.13. Найти jbxdx.

In xdx =

и = пх, dv = dx _ dx х

dx x

'-, v= jdx = = lnxx- ix— = xlnx-

J x

Удобно все необходимые действия выполнять в одну строку, отделяя вспомогательные записи вертикальными чертами. Итак,

 

x + C.

Пример 4.14. Найти Jarcsinxrf* Имеем Jarcsin xdx =

xdx

и = arcsin дг, dv = dx dx

du =     , v = x

-I

1-х2

Иногда метод интегрирования по частям приходится комбинировать с методом замены переменной, как в случае интегрирования основных элементарных функций у = arcsin х и у = arctg х.

= arcsin x x

4^.

Для получившегося интеграла применим замену переменной

2 1

t = 1 - х , dt = -2xdx, откуда xdx = —dt. Поэтому

f ,X     = ——      = -4~t +C = —Jl-x1 + C. Окончательно имеем jarcsin xdx = x arcsin x + Vl-x2 +C.

Заметим, что поскольку С - произвольная постоянная, то получающиеся функции от С можно обозначать по-прежнему С.

Пример 4.15. Найти jx2-e'dx.

f           и = х2, dv = e'dx е

Г       =du = 2xdx,V= je'dx = e'=x2 <' ~ К =

= x2 ■ e*- 2 xe*dx =и = Х><Ь = еХ* =x*.e'-2(x.e*- je'dx) =

Иногда для вычисления интеграла метод интегрирования по частям приходится применять неоднократно.

 

u = x2, dv = e'dx du = 2xdx, v = je'dx = e

u = x, dv = e'dx du = dx, v = ex

= x2 e'-2xe' +2e'+C.

В заключение вычислим интеграл

- f А /я = J(xJ + l)n'

где и - натуральное число. При и = 1 мы имеем табличный интеграл Х(а = 1):

/, = arctg х + С.

Пусть л > 1. Представим 1 в числителе в виде 1 =х2+ 1 - дг2, так что интеграл /я представляется в виде разности двух интегралов:

г x2dx 7"-7«-.-J(x2+1)"-

хЛ

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям

и = х, dv =

(fa = Л, V = J-

(х2 + і)"      2(л-1)(х2 + 1)Л = (для нахождения v выполните замену t=x2 + l) =

г x2dx J(x" + ir =

 

15*

227

Подставляя найденный интеграл в формулу для / , получим

 

"    ""'   2(«-іХхЧі)"-' 2(и-1)7--

 

т.е. интеграл 1п выражается через интеграл такого же вида с индексом на 1 меньше. Ясно, что за конечное число шагов мы дойдем до интеграла /, и, следовательно, выразим /я в виде некоторой элементарной функции.

Формулы такого вида называются рекуррентными.

Если эта дробь неправильная, т.е. степень многочлена Р(х) не меньше степени многочлена Q(x), то можно выполнить деление с остатком и представить Л(х) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

 

Пример 4.17. Найти (—г~.

J х - 4

Рациональная функция R(x) = —2       - неправильная дробь,

х - 4

поэтому сначала мы должны выполнить деление с остатком:

Подпись:
Пример 4.16. Найти f А

Имеем /,=/,+   х _ _ 1 / _ 1 х

т.е. xі = (х2 - 4) • х + 4х, поэтому подынтегральную функцию

xі 4х

можно представить в виде —;         = х + —;          . Таким образом,

х -4        х -4

получим

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |