Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 4.3. интегрирование некоторых классов функций

В предыдущих параграфах речь шла об общих приемах интегрирования. Далее мы рассмотрим интегрирование конкретных классов функций.

f4^U хах + f^ = il + 21nUJ-4| + C J х - 4    J        J x

 

(Для нахождения интеграла от второго слагаемого выполним замену переменной / = х2 - 4).

Таким образом, можно считать, что рациональная функция R(x) представлена в виде правильной дроби. В курсе алгебры доказывается

1. Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим интеграл вида JR(x)dx, где R{x) - это рациональная функция, т.е. функция, которую можно записать в виде отно-

шения двух многочленов: Rx) = —г-г.

0х)

 

Теорема 4.5. Всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида

 

A         A         Mx + N           Mx + N

х-а' (х-а)"'' хг+рХ + Я' (х*+рх + ду

 

где А, М, N, а, р, q- действительные числа.

С х +4

Пример 4.18. Найти —;        dx.

J х -4х

Разложим знаменатель подынтегральной рациональной функции на множители: х3 - 4х = х(х2 - 4х) = х(х - 2)(х + 2). Согласно теореме 4.5 правильная дробь должна разлагаться в сумму простейших дробей

х2+4    А     В С Xі -4х~ х   х-2   х + 2'

Найдем коэффициенты^, В, С. Воспользуемся для этого приемом, который называют методом неопределенных коэффициентов. А именно, приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители:

xі + 4 = А(х - 2х + 2) + Вх(х + 2) + Сх(х - 2).

Заметим, что у каждого слагаемого в правой части отсутствует в точности один сомножитель, так что при подстановке корней знаменателя все слагаемые правой части, кроме одного, обратятся в нуль:

jc = 0: 4 = Л(-2)-2,Л = -1; х = 2: 8 = 5-2-4, 5=1; х = -2: 8 = С(-2)(-4); С=1.

Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид:

х2+4    -1     1 1

—;       =          +          - +        -,

х3-4х    х    х-2   х + 2

так что интеграл представляется в виде суммы интегралов, которые легко находятся

f * +* dx = - [— + f-^r+ f-^r= -ln|x| + ln|x-2| + ln|x + 2| + C. J х -4х        J x    і x-2   J х + 2

t xі + 4x + 4

Пример 4.19. Найти —;        5-—dx.

Jx -2х +х

Разложим знаменатель на множители

хъ-2х2 + х = х(х2 -2х+і) = ф-і)2.

Согласно теореме 4.5 подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей:

 

х2 + 4х + 4 _ А     В С х(х-1)2  ~ х + х~1 + (х-1)2'

 

Так же, как в примере 4.18, приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители

X2 + 4х + 4 = А(х - if + Вх(х -1) + Сх.

Подставим по очереди корни знаменателя х = 0и х = 1 и найдем

х = 0: 4 = А, А = 4;

х = \: 1 + 4 + 4 = С, С = 9.

 

Для нахождения В корней не хватает! Однако, поскольку многочлены в левой и правой частях равенства равны тождественно, то у них равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при х2, получим

1 = А + В,

откуда В = -3. Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид

х2+4х + 4 _ 4    -3 9 х(х-1)2  ~ х + х~1 + (х-1)2'

 

так что интеграл равен сумме интегралов

 

J х(х-1)2          J х     Ь-1 J(x_i)2

= 41n|x|-31n|x-l|-^T + C

Рациональная дробь 1                - правильная и ее разложение

x(xJ + l)J на простейшие дроби имеет вид

1        А   Вх + С   Рх + Е х(х* + 1у = х+ хг+1+(х>+іУ

Сравнивая числители дробей в обеих частях равенства, получим

 

1 = а{х2 + if + (Вх + С)л(х2 +1) + (Dx + Е)х.

В этом случае у нас имеется только один действительный корень х = 0, этого достаточно для нахождения только одного коэффициента А:

= А,А = .

Для нахождения остальных коэффициентов раскроем скобки в правой части равенства и запишем ее в виде многочлена четвертой степени:

 

= (А + В)хА +Схг+(2А + В + 0)х2+(С + Е)х + А.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получим систему уравнений для нахождения неопределенных коэфициентов

 

х4:А+В = 0; *3:С = 0; х2йА + В + Г> = 0;

х1:С + Е = 0; х°:А = .

 

Отсюда сразу находим Л = 1; £ = -1; С = 0; Z) = -1; £ = 0. Искомое разложение имеет вид

1        1    -х -х х(хг + ї)2 "* + *2+1 + (хг + 1)2'

Следовательно,

г    dx  rdx    f xdx     r xdx

 

Второй и третий интеграл справа находим одинаковой заменой / = х2+ ,dt = 2xdx, и окончательно получим

 

Jx(xJ + l)J     4 '   2 "V      >  2(хг + 1)

 

2. Интегрирование тригонометрических

функций

Универсальная тригонометрическая подстановка С помощью такой замены переменной интегралы вида |^(sinx, cosx)d!x,

где R - некоторая рациональная функция, приводят к интегралу от рациональной функции, и, следовательно, к ним можно применить методы, рассмотренные в предыдущем пункте.

А именно, воспользуемся формулами, выражающими синус и косинус через тангенс половинного аргумента

2tg| 1-tg'f

sinx =  —,cosx =         —, -я<х<я.

l + tg2± 1-Htg2|

Если мы положим / = tg^-, то выражая х через /, получим

2dt

 

і 2dt

 

 

х = 2arctg t, dx = j^jt-Поэтому

J*(sinx, cosx)ix = f*(j^7F' TTP")

Таким образом, задача свелась к интегрированию рациональной функции. Разумеется, после нахождения интеграла справа нужно

            ...xmATI V   TP-   ППТТҐШГИТЬ  / = tE— .

вернуться к переменной х, т.е. положить t - tg 2.

J8-4sinx + 7cosx Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

|"о        = Г       1          2<* _ Г

8-4

J8-4sinx + 7cosx    \_АЛ_^п-іг Т+7"= JT^eT+lI"

/-4-І

/-5;

1 + /2+?ї + /2

+ С= Inf

+ С.

ґ    2Л 1

/-4 + 1

/-3

= It—ті—=2--ь

J(/-4)i-J 2

Здесь мы воспользовались табличным интегралом XI. Под-ставляя / = tg-, окончательно получим

+c.

cosx

«1-3,

 

f          

J8-4sinx + 7

Иногда, исходя из вида подынтегральной функции, проще воспользоваться другой заменой.

 

Пример 4.22. Найти fcos х&

J sin X

Выполним замену переменной / = sin х. Числитель подынтегрального выражения можно представить следующим образом

cos3 xdx = cos2 х ■ cosxdbc = (1 - sin2 x)d(sinx) = (1 -11 )dt.

Поэтому имеем

 

Возвращаясь к переменной х, получим

 

Пример 4.23. Найти І—і      ~.         '—r~~-

r       r   Jsin x-4sinxcosx + 5cos x

Имеем

г          dx        Г          dx       

J sin2 x-4sinxcosx + 5cos2 x    J cos2 x(tg2x-4tgx+5)

= Г dM Jtg2x-4tgx + 5'

Теперь ясно, что удобно выполнить замену переменной Г = tg X. Интеграл примет вид

J/2-4/ + 5   J(/-2)2 + l   V '

Таким образом,

f—       r-r-^     z—— = arctg(tg x - 2) + C.

Jsin x-4sinxcosx+5cos x

 

3. Использование справочников и математических процессоров. Неберущиеся интегралы

 

Из предыдущего ясно, что нахождение неопределенных интегралов - задача, существенно более сложная по сравнению с дифференцированием. Ее решение можно облегчить, применяя математические справочники и компьютерные программы, например, Mathcad. В эту программу встроен символьный процессор, который позволяет, в частности, находить производные и первообразные функций. Ниже приведены примеры нахождения первообразных с помощью этой программы. Здесь слева указаны данные функции, а справа их первообразные, найденные с помощью Mathcad:

1 + x

ft        1          ri|       - Г V5 1 + 3x1

arcs ml

(l + x)-Vl + x-xJ

Подпись: 1
Подпись: sm* 3sin3x

cos3 X , 1 ■7—dx = -T— sin X

-2

Задача нахождения первообразной элементарной функции - это вторая знаменитая математическая проблема, которая оказалась неразрешимой принципиально (первой была задача решения алгебраических уравнений в радикалах). Оказалось, что очень многие элементарные функции не интегрируемы, т.е. первообразные таких функций не являются элементарными функциями. Таковы,

например, функции е~*2, —^—,       и т.д. Однако, как мы увидим

ІПХ X

в следующей главе, такие первообразные существуют и играют значительную роль в математике и ее приложениях. Свойства этих функций хорошо изучены, существуют подробные таблицы их значений, можно рассмотреть их графики и т.п.

Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.

 

§ 4.4. Определенный интеграл

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Пусть дана непрерывная неотрицательная функция у =J[x) на отрезке [а, Ь]. Криволинейной трапецией называется фигура аАВЬ на плоскости Оху , ограниченная вертикальными прямыми х = а и х = Ь, осью Ох и графиком функции у =fix) (рис. 4.1).

Как найти площадь этой трапеции? Напомним, что при вычислении площади круга в школьном курсе математики поступают следующим образом. Рассматривают вписанные и описанные правильные многоугольники с увеличивающимся числом сторон и вычисляют их площадь, и затем принимают за площадь круга предел площадей этих многоугольников. По сути этот метод, используемый еще со времен Архимеда и известный как «метод исчерпывания», применим и в данной ситуации.

Разобьем отрезок [а, Ь] на мелкие части точками деления а = х0 < дс, < х. <... < х . < х = Ъ. Затем найдем на каждом отрезке разбиения [хк, х1+,/наименьшее значение функции у =J[x), обозначим его тк и построим прямоугольник с основанием [хк, xk+J и высотой тк. Его площадь

Sk =тк (хк* -хк)~тк • Д**-

Объединение всех таких прямоугольников даст ступенчатую фигуру, «вписанную» в криволинейную трапецию аАВЬ, обозначим ее площадь sr где Т обозначает выбранное разбиение отрезка [а, Ь] (рис. 4.2).

Ясно, что S - площадь криволинейной трапеции аАВЬ - будет не меньше площади вписанной ступенчатой фигуры sT для любого разбиения Т:

sT < S.

Если на каждом отрезке разбиения Т выбрать наибольшее значение Мк функции у-J[x), то поступая аналогичным образом, получим ступенчатую фигуру, описанную вокруг криволинейной трапеции аАВЬ; площадь этой фигуры обозначим ST (рис. 4.3).

Очевидно, что для любого разбиения Т отрезка [а, 6] выполняется двойное неравенство

sT <S<ST.

Интуитивно ясно, что если разбиения Т сделать достаточно мелкими, то площади вписанной и описанной ступенчатой фигур будут мало различаться, поэтому естественно за площадь криволинейной трапеции S принять число, которое не меньше площади любой вписанной ступенчатой фигуры и не больше площади любой описанной ступенчатой фигуры. В рассматриваемом случае такое число должно быть единственным.

Понятно также, что искомая площадь S приближенно равна площади вписанной или описанной ступенчатой фигуры: S ~sT или S ~Sr причем точность равенства увеличивается с измельчением разбиения Т. На практике отрезок [а, Ь] разбивают на п равных частей, вместо обозначения sT используют sw соответственно, вместо ST - Бя. Разность Sn - sn определяет точность. Чем больше и, тем выше точность; проще всего число точек удваивать и проверять на каждом шагу: достигнута ли искомая точность. Точное равенство получится, если в приближенном равенстве перейти к пределу.

S = lim sn или S = lim S„

 

Пример 4.24. С точностью до 0,01 вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кубической параболой у = Xі, осью Ох и прямыми х = 0 и х = 1 (рис. 4.4).

 

т.д.

Т1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

0,063

0,141

0,191

0,22

0,235

0,242

0,246

0,248

0,249

0,25

s„

0,563

0,391

0,316

0,282

0,266

0,258

0,254

0,252

0,251

0,25

Последнее табличное значение является точным. Ясно, что такой способ нахождения площади криволинейной трапеции сопряжен с большим объемом вычислений. Ниже эту задачу мы решим с минимальными вычислениями, однако только после того, как будут изложены необходимые теоретические сведения.

Пример 4.25. Пусть зависимость объема продаж данного

товара от времени задана функцией q = —^т-(0 < / < 5) (рис. 4.5).

1 + Г

Тогда общий объем продаж Q равен площади заштрихованной фигуры, т.е. опять площади криволинейной трапеции, и мы можем применить тот же метод исчерпывания для приближенного нахождения Q.

 

2. Понятие определенного интеграла

 

Два примера, рассмотренные в предыдущем пункте, показывают, что решение таких и многих аналогичных им задач приводит к построению нижних и верхних сумм, соответственно sT и ST, для подходящего разбиения Т данного отрезка, и нахождению числа, разделяющего множества {sT} и {ST}. Рассмотрим данную задачу в общем виде.

Итак, пусть на отрезке [а, Ь] дана ограниченная функция У =/(х)- Рассмотрим разбиение Г отрезка [а, Ь] точками деления

а = х0 < х, < х2 <...< лгя_і < хп = Ь,

на каждом отрезке разбиения [хк,хк+]] найдем нижнюю и верхнюю грани значений функции у = f(x), соответственно, тк и Мк,

и составим две суммы: нижнюю сумму Дарбу sT = ^mk ■ Ахк

п-1

и верхнюю сумму Дарбу ST =         • Ахк. На рис. 4.2, 4.3 этим

суммам соответствуют площади вписанной и описанной ступенчатых фигур.

Эти суммы обладают следующими свойствами:

1 °. Для любого разбиения Г выполняется неравенство sT < ST, т.е. для данного разбиения нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы.

Это следует из того, что для любого к справедливо неравенство т.<Мк.

2°. Если разбиение Т2 получается из разбиения Г, добавлением нескольких новых точек, то sT] < sTl и ST{ > ST2, т.е при измельчении разбиения нижние суммы Дарбу могут только увеличиваться, а верхние суммы только уменьшаться.

Иде, доказаны™ -"SmES^^S?"^

и фигуры сСДхж.

3°. Для любых разбиений Т{ и Т2 выполняется неравенство

 

или любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы.

Для доказательства составим разбиение отрезка 7", которое включает все точки деления как разбиения 7",, так и Тг Тогда по свойству 2° имеем sTl <sT, по свойству l°sT < ST и применяя еще раз свойство 2°, получим Sr й STi. Таким образом, имеем

 

что завершает доказательство.

Из свойства 3° следует, что множество нижних сумм Дарбу X находится на числовой оси левее множества верхних сумм Дарбу К, поэтому существует хотя бы одно число /, разделяющее множествами У, т.е. для любого разбиения Г отрезка [а, Ь] выполняется двойное неравенство

sT = £m4 • Дх, <, 1 <        • Дх, = ST.

k=Q *=0

Определение. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, Ь], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [а, Ь]. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции у = f(x) по отрезку [а, Ъ] и обозначают следующим образом

ь

I = f(x)dx.

а

Знак определенного интеграла читается «интегралом от а до Ь», числа а и Ъ называют нижним и верхним пределами интегрирования. Обозначения были введены немецким ученым Г. Лейбницем, который вместе с И. Ньютоном был создателем дифференциального и интегрального исчислений. Лейбниц ввел знак интеграла Г в виде вытянутой буквы S, которая обозначает знак суммирования. Самым замечательным результатом интегрального исчисления является формула Ньютона-Лейбница, которая

устанавливает связь между определенным интегралом J/(x) dx и

неопределенным интегралом J/(*) dx, что делает оправданным употребление знака интеграла в обоих случаях.

Мы определили |/(*) dx интеграл для случая, когда а < Ь.

а

Ь а

Если а > Ь, положим J f(x) dx = - Jf{x) dx, что можно считать

а Ь

естественным, поскольку при изменении направления каждая разность hxk = xk+l - xk меняет знак. Тогда поменяют знак и суммы

jf(x)dx.

Дарбу и, следовательно, разделяющее их число, т.е. интеграл

ь

а

Так как при а - Ъ все Ахк обращаются в нуль, то положим

а

//(*)<& = 0.

а

Из рассуждений п. 1° следует

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл дает площадь криволинейной трапеции,

ограниченной вертикальными прямымих = а,х = Ъ при а <Ь, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции у = /(*).

Об экономических приложениях определенного интеграла мы поговорим позже, однако некоторый типичный случай мы уже рассмотрели в примере 4.25.

Приведем теперь пример, показывающий, что существуют не-интегрируемые ограниченные функции. В качестве такой функции рассмотрим функцию Дирихле у = Щх), которая определена на отрезке [0,1] следующим образом

{

0, если х иррационально; 1, если л: рационально.

Каково бы ни было разбиение Т, в любом отрезке разбиения Iхк >хк+\] обязательно содержатся как рациональные, так и иррациональные точки, поэтому для любого отрезкаАхк:тк =0

и Мк =1. Тогда все нижние суммы Дарбу        '     = 0,посколь-

и-1

ку все тк - 0, и все верхние суммы Дарбу ^ Мк ■ Ахк = 1, так

 

как^М* ДхА =J]lAxt =1 - длина отрезка [0, 1]. Таким

образом, множество нижних сумм состоит из одного числа X = {0} и множество верхних сумм состоит из одного числа У = {1}, так что любое число из отрезка [0, 1] разделяет множества X и Y. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке [0,1].

Сформулируем критерий интегрируемости ограниченной функции.

Теорема (критерий интегрируемости). Для того чтобы функция у = f(x), определенная и ограниченная на отрезке[а,Ь], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0существовало разбиение Т такое, что ST-sT<£.

Доказательство. Достаточность очевидна: положим є„=~-, л = 1,2,..., получим систему стягивающихся отрезков

Ur; S2. ], которая сходится к единственной точке /, которая и будет единственным разделяющим числом.

Пусть, наоборот, известно, что разделяющее число единственно. Тогда для любого є > 0 в интервал (/- є/2; I+el 2) длины є попадут точки как из {sT}, так и из {ST}. Поэтому найдутся разбиения Г, и Т2 такие, что

STi -sri <є.

Возьмем в качестве Г разбиение, которое включает точки из Г,

и из Т2. Тогда по свойству 2 сумм Дарбу имеем ST < ST и sT > sTi.

Отсюда ST-sT< є, что завершает доказательство теоремы. Поскольку

п-1       п-1 п-1

*=0      *=0 *=0

условие ST-sT< є можно записать следующим образом:

^(Мк-тк)Ахк<£. (4.3)

Разность Мк - тк будем обозначать а>к и называть колебанием функции на отрезке [хк,]. Неравенство (4.3) можно переписать следующим образом:

я-і

*£сокАхк<є. (4.4)

 

3. Интегрируемость непрерывной функции

В предыдущем пункте мы ввели понятие интегрируемой функции и установили критерий интегрируемости. Теперь покажем, что всякая функция, непрерывная на отрезке [а,Ь], интегрируема на этом отрезке, т.е. что существует определенный интеграл

)f(x)dx.

а

Теорема 4.6. Функция, непрерывная на отрезке[а,Ь], интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Возьмем произвольное є > 0. По свойству равномерной непрерывности (см. приложение 3 главы 1) найдется такое разбиение Т отрезка [а,Ь, что для всех отрез-

ков разбиения будет выполняться неравенство шк < -—-. Тогда

 

я-1 я-1

 

Согласно неравенству (4.4) это и означает интегрируемость функции на отрезке [а,Ь].

 

4. Аддитивность определенного интеграла

Теорема 4.7. Пусть функция у -fix) интегрируема на отрезках[а,с] и[Ь,с], а<с<Ь. Тогда она интегрируема на от-резке[а,Ь], и выполняется равенство

b          с b

J/(x) dx = {/(*) dx + f{x) dx. (4.5)

а          а с

Доказательство. Возьмем произвольное є > 0. По условию, функция у - fix) интегрируема на отрезке [а,с]. В силу критерия интегрируемости существует разбиение Г, отрезка [а,с]

такое, что ST> -sT) <—. Аналогично для отрезка [с,Ь] найдется

разбиение Т2 такое, что STj -sTi <—. Разбиение Г, и Т2 в совокупности образуют разбиение Г отрезка [а, Ь], причем

ST-sT=(STi +ST^-(sri +sn) = (STi -sn) +

Таким образом, для разбиения Т отрезка [а, Ь] выполнено условие критерия интегрируемости, а это и означает, что функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

с Ь

Из неравенств sT) < jf(x)dx < ST{ и sTi < jf(x)dx < ST2

следует, что   " c

с b

sr = sn + sT2 < f(x)flx + f(x)ix < ST2 + ST2 = ST.

 

с b

Поэтому число Jf{x) dx + jf(x) dx разделяет множество нижних

а с

и верхних сумм Дарбу для разбиений отрезка [а,Ь], включающих точку с. Из свойств 2 сумм Дарбу следует, что тем более оно разделяет множество нижних и верхних сумм Дарбу для всех разбиений отрезка [а,Ь]. Поскольку такое число единственно, то оно ь

равно jf(x)dx, что завершает проверку равенства (4.5) и дока-зательство теоремы.

так что и в этом случае выполняется равенство (4.5). Аналогично рассматривается и случай, когда с < а.

Равенство (4.5) имеет наглядный геометрический смысл, оно выражает свойство аддитивности площади плоской фигуры. Так площадь S криволинейной трапеции аАВЪ на рис. 4.7 равна сумме площадей 5, трапеции аАСс и S2 трапеции сСВЬ.

с          Ь Ь

Но5, = J/(*)&, S2 = J/M"** и5=        чт0 еще Раз

ас о

подтверждает равенство (4.5).

 

5. Теорема о среднем для определенного

интеграла

Теорема 4.8. Пусть дана функция у =/(х), непрерывная на отрезке[а,Ь]. Тогда на этом отрезке найдется точка с, такая, что выполняется равенство

ь

f(x)dx = f(c-a). (4.6)

В случае, когда Ь<с, имеем

/А*)*- )f(x)dx+ )f(x)dx = ]f{x)dXt

 

Число f(c) =       J/(x) dx называют средним значением фун-

а

кции f(x) на отрезке [а,Ь].

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, ft], то она интегрируема на этом отрезке. Пусть т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [а, Ь]. Выражение т(Ь - а) и М{Ь - а) являются нижней и верхней суммой Дарбу для разбиения, состоящего только из одного отрезка, а именно, из самого отрезка [а,*]. Посколь-

ь

ку J f(x) dx разделяет эти суммы, то выполняется двойное нера-

а

венство

ь

т{Ь~а)<.f(x)dx £ М(Ъ- а).

Поделив все части неравенства на Ь - а > 0, получим

ь

 

а

Ь

Число    — ^f(x)dx находится между наименьшим и наиболь-

а

шим значениями непрерьшной функции. По теореме о промежуточном значении (см. свойство 2 § 1.10) это значение достигается в некоторой точке с на отрезке [а,Ь-

 

-^)f(x)dx = f(c),

а

откуда получим равенство (4.6), что требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы виден из рис. 4.8. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой f{c)

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |