Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 4.5. формула ньютона — лейбница

 

До сих пор мы еще не знаем ответа на важный вопрос: для каких функций существует первообразная. Частичный ответ на этот вопрос будет дан ниже, в п. 1 данного параграфа. Затем мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между определенным интегралом и первообразной.

1. Интеграл с переменным верхним пределом

 

Если функция^ =/(х) интегрируема на отрезке [а,Ь],то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, и, следовательно, для

х

любого х е[а,Ь] существует интеграл jf(x)dx. Чтобы не смеши-

а

вать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования,

х

будем записывать его в виде

а

Определение. Для функции у = f(x интегрируемой

на отрезке[а,Ь], интеграл вида

 

где х <=[а,Ь], называется интегралом с переменным верхним пределом. х

Для каждого х е[а,Ь] рассмотрим функциюФ(д:) = f{t)dt.

а

Оказывается, эта функция является первообразной для у =/(х), что мы и докажем в следующей теореме.

Теорема 4.9. Если функция у = f(x) непрерывна на от-

X

резке [а,Ь],то функция Ф(*) =          дифференцируема в

а

любой внутренней точке этого отрезка, причем Ф'(лг) = f{x).

Иными словами, интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для непрерывной подынтегральной функции.

Доказательство. Будем искать производную функ-

X

ции Ф(х)=      пользуясь непосредственным определением

а

производной, а именно

Ф^)=ИтФ(л: + Ах>-Ф(').

V  ' Дх-»0

Для х e(a,b) выберем Дх столь малым, чтобы точка х + Дх ле-

х+Дс

жала внутри отрезка [а,Ь]; тогда Ф(х + Дх) = jf(t)dt. Имеем

а

Ф(х + Дх)-ф(х) =  j/(t)dt- )f(t)dt =

а а

х+Дх   х          х х+Дх

=          J/(/)*-J/(/)A= f{t)dt.

 

К последнему интегралу применим теорему о среднем предыдущего параграфа:

х+Ді

Ф(х + Дх)-Ф(х) = jf(t)dt = /(c)Ax,

X

где промежуточная точка с находится между х их + Дх, поэтому

=А4

Ф(х + Ах)-Ф(х) _ /(с)Дх

Дх Ах

Так как функция Дх) непрерывна ис-»х приДх->0, то Um /(с) = /(х). Поэтому

 

Дх-»0  Дх Дх-»0

 

что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекает, что функция fix), непрерывная на отрезке [а,Ь], имеет на этом отрезке первообразную, а именно функцию

«(*)=]/(')*•

а

Поэтому доказанная теорема называется теоремой о существовании первообразной для непрерывной функции.

250 2. Формула Ньютона - Лейбница

Теорема 4.10. Пусть функция у = fix) непрерывна на отрезке[а,Ь] и Fix) - первообразная для fix). Тогда

ь

" jf(t)dx = F(b)-F(a). (4.7)

а

Доказ а телъство . Поскольку функция /(х) непрерывна на отрезке [а,Ь], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке, а именно функцию Ф(х) из предыдущего пункта. Сначала проверим справедливость формулы (4.7)

для этой первообразной. Действительно, Ф(х) = jf(t)dt, подстав-

а

Ь

ляя х = Ь, получим Ф(й) = f(t)dt, а подставляя х = а, получим

а

а

Ф(а) = |/(г)Л = 0. Поэтому

а

Ь

|/(г)Л = Ф(б)-Ф(а).

а

Если Fix) - другая первообразная для функции fix), то выполняется равенство

Р(х) = Ф(х) + С.

Имеем

*

F(b) - F(a) = (ф(Ь) + С) - (Ф(а) + С) = Ф(б) -Ф(а) = f{x)dx,

а

что завершает доказательство формулы (4.7).

Разность Fib) - F(o) часто записывают в виде ^(*) а» и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид

 

|/(х)Л = ^=Ф(б)-Ф(4 (4.8)

а

Отметим еще раз, что мы доказали формулу (4.8) для случая, когда j{x) - непрерывная на [а, 6] функция. В действительности же эта формула справедлива для любой функции/х), имеющей первообразную функцию F(x).

Формулу (4.8), доказанную в теореме 4.10, обычно называют основной формулой интегрального исчисления. Она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

Отметим еще два варианта формул (4.7), (4.8).

ь

(4.10)

JF'(x)dx = F(b)-F(a), (4.9)

 

и

jdF(x)dx = F(b)-F(a).

 

Теперь нам не составит труда найти определенный интеграл из примера 4.24 предыдущего параграфа. Одной из первообраз-

1 4

J 4

ных функции у = х3 будет функция F(x) - —, поэтому по формуле Ньютона-Лейбница получим

 

1 1

= --0 = 0,25. 0 4

 

3. Свойства определенного интеграла

 

Из формулы Ньютона-Лейбница легко получаются остальные свойства определенного интеграла. При формулировке этих свойств предполагается, что функции непрерывны на рассматриваемых промежутках.

1. Интеграл от суммы двух функций/,(х) и/г(х) по отрезку [а,Ь] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку:

Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла следует, что если Fx(x) - первообразная для функции /L(*), а F2(x) - первообразная для функции /2(х), то первообразной для суммы функций/,(х) + /2(х) будет служить сумма первообразных Ft(x) + F2(x). Следовательно,

/(/> м+/>м)Ащ-№+fh=

а

= F](b)-F1{a) + F2(b)-F2(a)=)f](x)dx/jf2(x)ax.

а а

Аналогично доказывается следующее свойство.

2. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

ь ь

jV(x)d!x = k |/(x)dx, к - постоянная.

а а

С помощью этих двух свойств легко найти определенный интеграл от многочлена.

2

Пример 4.26. Вычислить j(6x2 - 4х + 5^ах.

Имеем

2          2          2 2

|(бх2 - 4х + S^dx = fa2dx + J- 4xdx + J5dx =

2          2          v'f

-і          -і          -і -і

-4Ц

+ 5^,= і

2          2          2          З I2      21

= 6^x2dx-4^xdx + 5^dx =

-і          -і -і

= 2(23 - (-1)3) - 2(22 - (- I)2) + 5(2 - (- 1)) = 27.

3. Интеграл от неотрицательной функции на отрезке [а, Ь] -неотрицательное число, т.е., если fix) > 0 на [а, Ь], то

ь

j/(x)dx>0. (4.11)

а

Действительно, еслиДх) > 0 на [а, Ь], то любая нижняя сумма Дарбу будет неотрицательной, тем более и значение интеграла.

Неравенство (4.11) имеет очевидный геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции, есть неотрицательное число.

Интегрирование неравенств. Если на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство fix) < g(x), то такое же неравенство выполняется и для интегралов:

ь ь

f(x)dx< jg(x)dx. (4.12)

а а

Действительно, если fix) < g(x), то g(x) - fix) > 0, тогда

Ь Ь

согласно свойству 3 имеем J(g(x)- f(x))dx > 0, т.е Jg(x)dx-

Ь          а а

- J/(x)<fr> 0, откуда следует искомое неравенство.

Геометрический смысл данного утверждения предоставляется выяснить читателю.

Оценка определенного интеграла. Пусть т - наименьшее, а М- наибольшее значения непрерывной функцииу = /(х) на отрезке [а, Ь]. Тогда выполняется двойное неравенство

ь

т(Ь-а)< jf(x)dx < М(Ь-а). (4.13)

а

Действительно, левая и правая части неравенства (4.13) - это, соответственно, нижняя и верхняя суммы Дарбу для разбиения, состоящего из единственного отрезка [а, Ь]. Поскольку интеграл -это число, разбивающее любые нижние и верхние суммы, то неравенство (4.13) становится очевидным.

4 dx

Пр им ер 4.27. Оценить определенный интеграл [—.

1          2 *

Функция у = — убывает на промежутке [2,4], поэтому М= 0,5,

X

т = 0,25. Используя неравенства (4.13), получим

 

0,5 = 0,25(4-2) < J— < 0,5 (4 - 2) = 1.

Взяв полусумму крайних значений, получим значение 0,75, тогда как точное значение интеграла, найденное по теореме Ньютона-Лейбница, равно

1п2«0,69.

 

4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:

 

(4.14)

judv = uv|* - Jvrfu.

а а

 

Действительно, по формуле (4.10) имеем

ь          ь ь

mv(* = jd(uv) = jvdu + judv.

 

Перенося первое слагаемое налево с противоположным знаком, получим искомую формулу (4.14).

и = In X, dx

= lnx ■

xdx =

dv = Xі dx

<**       f 2j xi

du = —,v =   x dx = —-

x          J 3

J 3 x

 

Пр им ер 4.28. Вычислить Jx2lnxdx.

 

Jx2ln

і і

 

3     9    9     9 9

 

Как и в случае неопределенного интеграла, успех в применении формулы (4.14) зависит от правильного выбора множителей и и dv.

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 4.11. Пусть функция у = j{x) непрерывна на отрезке [а, Ь], а функциях-^) определена на отрезке[а,р] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем (р(а) = а, <р(Р) = Ь ир[а,/3] = [а,Ь]. Тогда

ь Р

f(x) = JApitWOdt.     (4 15)

а а

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная для функции/(х), тогда F'(x) =f{x) и F(<p(t)y = F\<p{t)) <p'(t) = - f (<P(0) ■ <P'(t)- Заметим, что из условий теоремы следует, что

44

последняя функция интегрируема на отрезке [а, р]. Применяя формулу (4.9), получим Р ь /(<p(t)y(t)dt = F(<p(p)) - F(<p(aj) = F(b) - F(a) = f(x)dx,

a a

что завершает доказательство теоремы.

 

2

Пример 4.29. Вычислить JV4-x2dx.

 

Применим тригонометрическую замену переменной х - 2sin /, О < / < у. Легко проверить, что все условия теоремы 4.11 выполнены, так что можно применить формулу (4.15). Преобразуем подынтегральное выражение:

V4 - х2 = у/4 - 4sm21 = 2cos/, dx = Icostdt.

2                      "A "A

Получим jV4 - x1 dx = J2 cost ■ 2 costdt = 2 J(l + cos2t)dt =

Если воспользоваться геометрической интерпретацией определенного интеграла, то этот результат легко получить устно (рис. 4.9).

9f 4xdx

Пример 4.30. Вычислить   -т=         .

І V х - 1

Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной x = t2,dx = 2tdt, 2 < t < 3. При этом все условия теоремы 4.11 выполнены, так что получим:

 

) #- = р-** = 2 = 2 V /+1+-LV =

—+ / + ІПІ/-1І

I 2 11

JVT-i J t-i    j i-i      j t-i)

 

:(9 + 6+21n2)-(4 + 4 + 21nl) = 7 + 2ln2.

Отметим некоторое «преимущество» в применении формулы замены переменной по сравнению со случаем неопределенного интеграла, а именно: не надо возвращаться к первоначальной переменной.

о

„■ sin 2/ = 2 / +

2 256

= 2— - n. 2

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |