Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 4.7. несобственные интегралы

 

Вводя понятие определенного интеграла, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. В противном случае множество сумм Дарбу не будет ограниченным. Однако возможны случаи, когда одно или оба этих условия не выполняются. В таком случае соответствующие интегралы называются несобственными. Мы будем различать два случая: промежуток интегрирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена.

 

1. Несобственные интегралы с бесконечными

пределами интегрирования

 

Начнем со случая, когда промежутком интегрирования является луч [а, +оо).

Определение.Пусть функцияу= f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [ a, b] (Ь > а), т.е. существует опре-

ь

деленный интеграл 1(b) = jf(x)dx. Тогда за несобственный ин-

а

теграл jf(x)dx принимают предел функции 1(b), когда Ь стремится к бесконечности

+00 Ь

f{x)dx=vm [f{x)dx. (4.25)

a a Ь

Если предел lim f/(x)dx существует и конечен, то говорят,

что несобственный интеграл сходится.

Если предел в правой части (4.25) не существует, то несобственный интеграл расходится.

По аналогии с определением (4.25) можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом, а именно,

4 4

jf(x)dx = Шп jf(x)dx. (4.26)

-оо а

Наконец, можно рассмотреть несобственный интеграл с бес-конечными нижним и верхним пределами J/(x)dx. Для этого

-оо

возьмем произвольную точку с. Она разобьет числовую ось на два луча (-оо, с] и (с, +оо]. Если существуют несобственные ин-

тегралы jf(x)dx и ^f(x)dx, то говорят, что существует и не-

-00 <~

00

собственный интеграл ^f(x)dx. В этом случае полагают

-ОО .

00        с +оо

jf(x)dx = f(x)dx + f{x)dx. (4.27)

-00       - 00 С

Нетрудно показать, что правая часть формулы (4.27) не зависит от выбора промежуточной точки с.

Геометрический смысл несобственного интеграла

Пусть дана неотрицательная функция у = fix), непрерывная на луче  [а, +оо). Для каждого Ъ > а определенный интег-

рал jf(x)dx дает площадь криволинейной трапеции аАВЬ. 268

Мысленно перемещая отрезок ВЬ направо, мы получим в качестве значения несобственного интеграла jf(x)dx площадь «гре-

а

ах_

2 "

угольника» аА<х> (рис. 4.16).

Пример 4.36. Найти несобственный интеграл j-

і х

По определению имеем

Й-= lim x-2dx = \m--  =limf-- + ll = l. Таким образом, несобственный интеграл сходится и равен 1.

 

"cdx

Пример 4.37. Найти несобственный интеграл J~J^' Имеем

 

f-=L= lim [x~2dx=lim2jx~  = Iim(2v£-2) = со.

1 vx     , ,

В данном случае несобственный интеграл расходится (предел равен бесконечности).

Пример 4.38. Найти несобственный интеграл jcos2xdx.

_ п В данном случае

Подпись: = lim|cos2;u£t = lim co?,2xdx - lim

sin2jc

sin 26

ь->оо 2

 

и интеграл расходится, поскольку данный предел не существует.

О

а

Ь х

Рис. 4.17

(4.28)

Пример 4.39. Рассмотрим ситуацию, когда денежный поток не прекращается никогда, например, в случае эксплуатации земельного участка. Если г - непрерывная процентная ставка, а R(t) - соответствующая рента, то нахождение дисконтированной стоимости земельного участка приводит к формуле, включающей несобственный интеграл

 

П = JR(t)e"dt.

6,25 (млн руб.).

П= se-°-

 

Пусть R(t) = 5е~°-7' (млн руб./год) - рента, получаемая от земельного участка, г= 10\% - процентная ставка. Определим его дисконтированную стоимость по формуле (4.28):

.-0.8'

■0,8

0,8

7'-Є-0'"Л=5|в-°-,,Л:

о

Интересно сравнить эту величину со стоимостью участка в данный момент времени, которая равна /?(0) = 5 (млн руб.).

Определение. Пусть функция у = fix) »« ограничена на отрезке [а, Ъ], однако интегрируема на любом меньшем отрезке [а Ь-є], гдеє>0. Тогда, если существует конечный

Ь-е

предел J^0 j/(*)<fr> то его принимают за несобственный интеграл jf(x)dx от неограниченной функции fix).

а

Таким образом,

* Ь-є

J/M*=Ao I'M*- <4-29>

а а

В этом случае говорят, что несобственный интеграл (4.29) сходится. Если предел не существует или бесконечен, то (4.29) расходится.

Аналогично, если х = а - особая точка, то несобственный интеграл определяют так:

ь ь

1#8А )>(*)*• (4-3°)

2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

 

Пусть функция у -fix) определена на промежутке [а, Ь). Точку х = Ъ будем называть особой, если функция Дд:) не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке [а, Ь) (рис. 4.17).

Если же х — с - единственная внутренняя особая точка на отрезке [а, Ь], то полагают

Ь          с Ь

f(x)dx = f(x)dx + f{x)dx,    (4.31)

а          а с

при условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся.

Если особых точек на отрезке [а, Ь] несколько, то отрезок разбивают таким образом, чтобы в каждом отрезке разбиение было не более одной особой точки, и используется определение (4.31).

Пусть F(x) - первообразная для функции j(x). Положим F(a + 0) = Xvm^ F(a + є), F(b - 0) = ^limo F(b - e) (если эти пределы существуют). Тогда аналогом формулы Ньютона-Лейбница для сходящихся интегралов, у которых особыми точками являются только х = а и х = Ь, будет следующая формула:

ь

Jf(x)dx = Fib - 0) - F{a + 0). (4.32)

a

 

В случае непрерывной функции Fix) получим формулу, по форме полностью совпадающую с формулой Ньютона-Лейбница:

ь

f(x)dx = Fib)-F(a). (4.33)

 

'rdx

Пример 4.40. Найти интеграл |~7=-

 

Подынтегральная функция /(*) = имеет единственную особую точку х = 0 на отрезке интегрирования [0, 1]. Первообразной

для этой функции будет F(x) = 2-Ух, которая непрерывна на этом отрезке. По формуле (4.33) имеем:

 

Подынтегральная функция /(*) = — имеет на промежутке интегрирования [0, 1] единственную особую точку х = 0. Первообразной для нее будет F(x) = lnx. Поэтому имеем

 

rdx       cdx І,

— = lim   —= lim lnx ' = lim (lnl-ln£y=- lim ln£' = +oo.

J X      £-*0+q J X      £->0+0      1       c-»0+0 £-»0+0 0 с

Таким образом, данный несобственный интеграл расходится к +оо.

Имеется тесная связь между несобственными интегралами с бесконечными пределами и интегралами от неограниченных функций. Покажем это на предыдущем примере. Выполним замену переменной

1       1    , dt

/ = —, х = -, dx = —-. х       / t2

Верхний предел интегрирования не изменится, а нижний предел интегрирования будет равен +оо, поскольку Hm — = +а>. Таким образом,

11        +о0 +со

J x " J    t2 " J7" JT"

 

Поэтому последний несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом также расходится.

і

= 2-0 = 2.

о

Таким образом, данный несобственный интеграл сходится и ра-

вєн 2.. * § 4.8. Приближенное вычисление определенных интегралов

 

В том случае, когда первообразная подынтегральной функции известна, например, является элементарной функцией, определенный интеграл вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница. Однако часто возникает ситуация, когда первообразная либо не выражается в виде элементарной функции, либо выражение для первообразной выглядит слишком сложно. В этом случае применяют приближенные формулы вычисления определенных интегралов.

Мы познакомимся с двумя из них - формулой прямоугольников и формулой трапеций.

Основная идея получения этих формул состоит в замене подынтегральной функции на функцию более простого вида, например, многочлен, интеграл от которого находят непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница.

 

Jf(x)dx * /(*,) ■ 2h + f(x,) ■ 2h+.. .+/(дг2и_,) - 2h =

a

= 2h(f(xx) + f(xi)+...+f(x2n_l)).

 

 

(4.34)

 

1. Формула прямоугольников

Здесь h - длина отрезка разбиения, A = ^^> абсциссы x2k_v 1 < к < n вычисляют последовательно:

 

и

Пусть требуется вычислить определенный интеграл J/(x)dx,

а

< X

<X

<*2п=Ь.

<X2k <...<X

2k-2

2k-

2n-2

2n-l

где fx) - интегрируемая функция на отрезке [а, Ь]. Разобьем отрезок интегрирования на 2л равных частей:

 

а = хп < х, <х-> <...< х

На каждом отрезке [х2*-2> *2jJ' как на основании cd, построим прямоугольник высоты Ax2k- i) cCDd (рис. 4.18). Площадь криволинейной трапеции аАВЬ заменим на сумму площадей всех таких прямоугольников. Таким образом, определенный интеграл приближенно равен следующей сумме:

а   хх хг

Хіл-2     Ъ X х2я-1

х2к-2 х2к х1к-

Рис. 4.18

 

В

О

xx=a + h, x2k+x=x2k_x+2h, к = 1,2,...,я-1.

 

Формулу (4.34) называют формулой прямоугольников.

Пример 4.42. Вычислить с точностью до ІО-3 определенный интеграл je~*2dx, используя формулу прямоугольников.

Полагаем f(x) = е-*2, а = -1, Ь = 1, T0I*a h = -■ Расчетные формулы выглядят следующим образом:

х, = а + A; s0 = 0; 1 < і < п,     = х, + 2А; s, =     + /(*,); Sn = 2hs„. Результаты вычислений приведены в следующей таблице.

 

и

2

4

8

16

32

64

128

S

п

2

1,558

1,509

1,497

1,495

1,494

1,494

Как видно из таблицы, точное значение интеграла с заданной точностью получается уже на шестом шаге.

Доказано, что погрешность применения формулы (4.34) не больше чем

(Ь-аУ „

 

где М - максимум значений второй производной на данном отрезке. Обычно вычисления заканчивают, когда модуль разности S2-Sn становится меньше заданной точности.

2. Формула Симлсона

 

Для получения приближенной формулы вычисления определенного интеграла более высокой точности, нежели формула прямоугольников, будем вписывать вместо прямолинейных отрезков куски парабол.

 

Лемма 1. Через любые точки A/,(jc,, yt), М2(х2, у2), A/3(jc3, уъ), с различными абсциссами можно провести единственную

параболу:

у = ах2 +Ьх + с.

(4.35)

 

Доказательство. Дня нахождения неизвестных коэффициентов а, Ъ, с подставим в уравнение (4.35) координаты данных точек MvM2,My Получим систему уравнений:

Доказательство. В этом случае система (4.35) приоб-ретает вид

ах1 + bx,+c = yl ах + Ьхг + с = уг ах] + Ьх3+с = у}

ХІ   X, 1

Д =

 

Определитель этой системы

 

= (*2-*.X*3-*zX*3-*.)

1

 

не равен нулю, поскольку все числа х{,х2, х3 по условию различны. Поэтому эта система имеет единственное решение, что и требовалось доказать.

(4.36)

Лемма 2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = ах2 + Ьх + с, проходящей через точки М,(-А, у{), М2(0,у2), М3(Л,^3), (рис. 4.19), выражается формулой

 

^-{Уі+4уг+у3).

ah1 -bh + c = y{ ah1 + bh + c = y3

 

откуда lah2 + 2c = yt+ yy Поэтому

 

s= j(ax2 +bx + c)dx = ${ахг +c)dx+b xdx = 2){ax1 +c)dx =

-h         -h         -A 0

= 2^ay + erj  = |(2oAJ +6c) = ^(y, +4y2 +y3).

 

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции у -J(x) и разобьем отрезок интегрирования [а, Ь] на 2п равных частей точками

а = х0 <х, <хг <...<хи <xIt+l <хг„„г <..<хи.г <*,„., <хи =6. Через каждые три точки

МаМу Л/2,..., Ми Ми^ MUtlми.1м1я.іми

проведем параболу (лемма 1). В результате получим и криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами. По лемме 2 площадь каждой такой частичной криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [х2к, JCj^j], равна:

f b-a

J  f(x)dx~*-j—(y2k + 4y2k+i +y2k+2),

*2k

гдеук =Axk), 0 < к < In. Складывая почленно эти приближенные равенства, получим приближенную формулу

4 л-1

J/(X)<& й -^-^(Угк +*У2п-2 +У2к+2) а к=0

или в развернутом виде

* Ъ-а

f(x)dx»^(y0+y2n+2(y2+..^y2n,x) + A(y^..^y2n_^. (4.37)

а

Формула (4.37) называется формулой Симпсона. В формуле Сим-псона значения функции J[x) в нечетных точках разбиения Хр х2п_х имеют коэффициент 4, в четных точках х2, х2п_2 коэффициент 2, в граничных точках - коэффициент 1.

Можно показать, что погрешность формулы (4.37) не больше

чем

(Ъ-а)' М 2880л4 '

где М- наибольшее значение модуля четвертой производной данной функции на отрезке [а, Ь].

Пример 4.43. Вычислить приближенно определенный интеграл из примера 4.42, используя формулу Симпсона.

Чтобы сравнить результаты вычислений по формулам прямоугольников и Симпсона, будем брать одинаковые разбиения отрезка [-1,1], причем число п подбирать таким образом, чтобы наиболее трудоемкая часть вычислений - нахождение значений функции - была одинаковой. Результаты вычислений приведены в следующей таблице.

Сравним эффективность вычислений для этих двух методов. Мы видим, что формула Симпсона дает три верных знака после запятой при разбиении отрезка на 4 интервала. При использовании формулы прямоугольников понадобилось 64. Мы получим 5 верных знаков после запятой при 2и = 16!

Таким образом, формула Симпсона дает значительный выигрыш в точности при незначительном усложнении вычислительной схемы и примерно том же объеме вычислений.

В заключение отметим, что в некоторых случаях (очень дорогие или труднодоступные значения функции) применяют другие вычислительные схемы Гаусса и Чебышева, которые за счет тщательного выбора значений функции позволяют находить приближенно значения определенных интегралов еще более экономным способом.

 

2п

4

8

16

32

s2n

1,49436

1,49371

1,49365

1,49365

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |