Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§1.5. два замечательных предела

 

1) Докажем равенство

(,5)

Этот предел обычно называют первым замечательным пределом.

Доказательство. Так как функция   - четная,

то достаточно показать, что предел при х -> 0 справа равен 1. На рис. 1.9 показан угол АОМ с радианной мерой х > О (АО = МО = 1). Из сравнения площадей треугольников QAM, ОАТ и сектора круга следуют неравенства:

1^1

-OA - МК <-ОА- AM <-ОА AT или sin х < х < tg х.

2 2

Деля на sin х, получим

1<-^-< 1

sinx cosjc или

,   sin л:

1 >       > cosjc.

х

При х —> 0 (справа), очевидно, имеем lim cos х = 1. Значит, пределы обеих функций 1 и cos х при х —> 0 (справа) равны 1. Отсюда по одному из положений о пределе функции (§1.4, п.2°, положение 5) получим требуемое равенство (1.5).

2) В дополнение к установленному ранее пределу

limfl + -l  =е    (1.6)

 

установим еще два равенства:

lim Г1 + — J  =е, limfl + —)  = е.      (1.7)

 

Очевидно, что равенство (1.6) есть как бы частный случай первого из равенств (1.7), когда х стремится к + оо , принимая только целые значения.

Доказательство. Сначала докажем первое из равенств (1.7). Пусть х - любое число. Найдем такое целое число п, чтобы выполнялись неравенства

п<х<п + \; (1.8)

число п называют обычно целой частью числа х и обозначают Е{х). Будем считать х > 1, тогда, очевидно, п > 0. Из (1.8) следует

1 + !>1 + 1>1 + _1 (19)

п        X        и+1        v '

Поскольку п + 1 > х > п, то из (1.9) следует

,л+1

или

 

где

 

/М>(і-Д)х >*(*),

Итак, после года хранения вклад станет А. + А0= 2 А0, т.е. удвоится. Можно однако, добиться большего эффекта, если по истечении 0,5 года закрыть счет и тут же открыть его снова на очередные полгода. В этом случае к концу первого полугодия вклад

1 .      . (. Г

станет равным А> + ~    -       + ~J> а к концу года будет рав-

Подпись: 1 +и + 1

При х —> -ню, очевидно, и также стремится к + оо , поэтому j[x) и g(x) будут иметь общий предел е. Согласно одному из свойств

предела функции (§ 1.4, п.2°, положение 5), предел функции ^ 1 + —j

при х —» +со также будет равен е, что требовалось получить. Докажем второе равенство (1.7). Пусть х = -1, где t > 0. Имеем

 

Теперь ясно, что при х —> -оо, т.е. когда ґ —» +оо, выражение в правой части будет иметь предел, равный

limfl + J-1    ■ limfl + -Q = e-l = e,

,->-КхЛ       t-)        ,->-kx>V t-V

что завершает доказательство второго равенства (1.7).

Любую из формул (1.7) называют вторым замечательным пределом.

ным

А0^ + —j = 2,25aq. Если операцию по закрытию и открытию счета производить чаще, то получим еще больший эффект: например, если эту операцию проводить в конце каждого месяца,

( iV2

то к концу года будем иметь + ~ 2»613Л„, а если открывать и закрывать счет каждый день, то конечная сумма со-

(    і V65

ставит       + "jgjj    = 2,715^ руб. Если представить себе (что,

конечно, является абстракцией), что операция открытия-закрытия производится непрерывно, то в итоге к концу года вклад составит

4)limfl + -l = Ао-е = 2,718. .Ад руб.

п-»« П/

Таким образом, при номинальной ставке 100\% эффективная ставка может составить 171,... \%, что существенно лучше.

1 +

л—>оо

Аналогичное рассуждение можно провести для случая, когда номинальная ставка банка будет р\% (вместо 100\%). Тогда (теоретически) возможная конечная сумма вклада будет

ЮОи

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |