Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 5.1. понятие числового ряда

1. Основные определения

Определение. Пусть дана числовая последовательность av а2, ау..., а^ ... . Выражение вида

00

ai+a2+ai+...+a„+...= Yia„ (5.1)

 

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа ах, а2,ап называются членами ряда, число аяс общим номером и называется общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

 

Sn=at +а2 +аг+...+а„

называются частичными суммами ряда (5.1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность

Slt S2, S3,..., S„,... . (5.2)

Определение. Ряд (5.1) называется сходящимся, если последовательность (5.2) его частичных сумм сходится к некоторому числу S. В этом случае число S называется суммой ряда (5.1). В противном случае ряд (5.1) называется расходящимся.

280

В случае сходимости ряда (5.1) его сумму записывают в виде символического равенства

S = a, +а2 +аг+...а„+... или S = У"а„.

я = |

Пр им.ер 5.1. Мы знакомы с рядами уже давно, по крайней мере с того времени, когда впервые познакомились с действительными числами. Числа е и л нам знакомы. Записи л = 3,14... и е = 2,1718... означают, что

л = 3 + — + —=-+■■■> 10 ю2

„    17 18

Є = 2 +            +          7 +       г +—г+... .

10   102   103 10*

По аналогии, любое десятичное разложение действительного числа представляет собой сходящийся числовой ряд, аналогичный указанным для чисел л и е, а частичные суммы Sn - это приближенные значения числа с заданной точностью.

 

Пример 5.2. Если в качестве последовательности {an, п - 1, 2, 3,...} мы рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом, равным Ь * 0 и знаменателем q, то получим ряд

b + bq + bq2+...+...bq"-[+..., (5.3) Частичная сумма 5„ этого ряда при q * 1 имеет вид

 

l-q       l-q l-q

Отсюда

b          bo" b

1)еслиЫ<1, то limS„ = lim    lim=     ,т.е.ряд(5.3)

л-*»       л-юо — q   л-*оо _ q    — g

сходится и его сумма 5 = *

l-q'

bll-q")

2) если Ы > 1, то 1іш5я = lim —              = °о, т.е. ряд (5.3) расхо-

дится;

3) если q = 1, то lim S„ = lim nb = оо, b * О, так что ряд расхо-дится. Если же q = -1, то ряд (5.3) принимает вид

Ь-Ь + Ь-Ь+... .

Частичные суммы этого ряда выглядят следующим образом:

Srb,S2=0,S}=b,S = 0, ... .

Поэтому предел частичных сумм не существует и ряд (5.3) расходится и в этом случае.

Мы видим, что ряд (5.3) сходится, когда q < 1 и расходится при q > 1. В случае q < 1 прогрессию называют бесконечно убывающей.

 

Прим ер 5.3. Приведем пример сходящегося ряда, отличного от геометрической прогрессии. Рассмотрим ряд

1    1 1

— +—+...+     +... .

1-2   2-3      п(п + 1)

т 111

1 ак как           =          , то для и -ои частичной суммы ряда

п(п+)    п п+

получаем выражение

* Hi-lUl-Ik.+fi--1

2)   2   У      п и+1

После раскрытия скобок все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, и в результате получаем

£я = 1  -■ Отсюда следует, что lim5_ = 1. Итак, ряд сходится

П + 1 л-*оо

и его сумма равна 1.

 

Свойства сходящихся рядов

1°. Если сходится ряд ах+а2+аЛ...+а+..., то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов.

Ограничимся случаем, когда отбрасываются первые к членов ряда (на самом деле можно рассмотреть общий случай, важно только, чтобы отбрасываемых членов было конечное число). Будем называть оставшийся ряд лж + аИ2 + ...остатком (или более точно k-и остатком) исходного ряда. Обозначим сумму первых к членов через ак, частичную сумму исходного ряда через Sn, частичную сумму остатка через Sn, тогда при п > к имеем

S=(c]+a2+...+al) + (ak+l+ak^+...+ая) = ак + Sn_k.

Из этого равенства следует, что если существует предел частичных сумм исходного ряда lim Sn, то существует и предел lim Sn

л—>оо л—»йо

и наоборот. В частности, выполняется равенство, связывающее суммы исходного ряда и остатка:

S = S + ак.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.

2°. Если ряд а, + а2 + а3+...+ ап+ ...сходится и его сумма равна S,ac- некоторое число, то сходится ряд caf + са2+ са3+...+ са + ... и его сумма равна cS.

Пусть 5л - частичная сумма исходного ряда, а аи - частичная сумма ряда са, + са2+ са}+...+ са + тогда очевидно, что an=cSn. Переходя к пределу при п —> оо, получаем

lim <т„ = lim cSn = с lim Sn - cS,

л —>00           л-юо П—>0o

т.е. последовательность частичных сумм {crn} сходится к числу cS. Пусть даны два ряда

+       03+...+ ап+... ,   (5.4)

&, + &,+ ЬЪ+..Л Ь + ... .        (5.5)

Составим из них новый ряд

(а, + 6,) + (а2 + Ъ2) + {а, + Ь3) +...+ (ал +    Ья) +... . (5.6)

Говорят, что ряд (5.6) получен почленным сложением (5.4) и (5.5). При этом выполняется следующее свойство.

3°. Если оба ряда (5.4) и (5.5) сходятся, а их суммы равны соответственно S и Т, то и ряд (5.6) сходится и его сумма Q равна

S+T.

Очевидно, что для любого п имеем Q= Sn+     где           Qn -

соответственно частичные суммы для (5.4), (5.5) и (5.6). Переходя к пределу при п -> оо, получаем, что существует предел lim Qn »Q = S+T.

 

4°. Если сходится ряд а,+ а2 + а3+ ... +а+..., то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

Например, сходится ряд

(a, + a2) + (ai+aA)+...+(a2n_] +а2п)+...,

полученный из исходного ряда группировкой членов по два. На самом деле группы могут состоять из произвольного числа членов, зависящего от п.

Назовем ряд, полученный из данного группировкой членов,

«группированным». Ясно, что k-ля частичная сумма Sk группированного ряда совпадает с некоторой и-ой частичной суммой данного ряда Sn для некоторого п > к:

S~k=S„. (5.7)

Поэтому, если к-*со, то и п—>оо. Тогда из равенства (5.7)

следует, что сумма группированного ряда S равна сумме S данного ряда.

 

3. Необходимый признак сходимости ряда

 

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Установим сначала необходимое условие сходимости.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального и имеем S„ = 5П., + а„, или

 

(5.8)

При п ->оо обе частичные суммы S„ и £„_, стремятся к пределу S, поэтому из равенства (5.8) следует, что lima„ =

л-»<ю

= limS„ - limS„ , =S-S = 0. 284

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. условие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.

Пр им ер 5.4. Исследовать на сходимость ряд

2 и

— + — +...+   +... .

3      и + 1

Имеем lima. = lim П = 1 * 0, поэтому данный ряд рас-ходится.

Пр и мер 5.5. Исследовать на сходимость ряд

,11111 1 + —+ — + - + - + -+... . 2   2   3   3 3

В этом случае предел общего члена ряда, очевидно, равен нулю, однако ряд расходится. Действительно, если бы данный ряд сходился, то сходился бы и ряд

1 + (2 + 2")+(з + 3 + 3

полученный из данного ряда группировкой членов. Но общий член последнего ряда равен 1 и для него не выполнен необходимый признак сходимости.

Имеется замечательный ряд, расходимость которого не так очевидна. Он называется гармоническим.

Пример 5.6. Исследовать на сходимость гармонический ряд

,111 1 1 + —+ - +—+...+—+... . 2   3   4 и

Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как lim а„ = lim — = 0. Если бы дан-ный ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели

lim(S2„ -S„) = lim S2n - lim Sn = S-S = 0. (5.9)

Но

с    с      1       1            111        1 11

я+1   п + 2       2п   2п   2п       2п     2п 2

т.е. S2n-Sn> 72, что противоречит равенству (5.9).

Тем не менее, гармонический ряд расходится очень медленно, что можно увидеть из следующих значений его частичных сумм:

St0= 2,929; 5100= 5,187; S]000= 7,485; SlOQO0= 9,788.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |