Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 5.5. разложение функций в степенные ряды

1. Ряд Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию fix) разлагать в степенной ряд. Для этого надо ответить на два вопроса:

может ли эта функция на данном отрезке быть представлена в виде суммы некоторого степенного ряда?

если да, то как найти этот ряд?

В этом пункте мы дадим ответ на второй из поставленных вопросов; ответ на первый вопрос будет дан в следующем пункте.

Предположим, что данная функция fix) на некотором отрезке [-г, г] может быть разложена в степенной ряд

fix) = a0+axx + a2x2+a3xi+.... (5.48)

Найдем коэффициенты а0, а., а2, ау ... этого ряда.

Из предыдущего параграфа мы знаем, что степенной ряд (5.48) можно дифференцировать почленно любое число раз. Поэтому для любого х из интервала (-г, г) имеем

Дх) = ах + 2а^ + За3х1+ 4а4х3 +..., Я» =2-1а2+3-2а3х + 4-За4х2+... , f"[x) =3-2-1а3 + 4-3-2а4х+... ,

и т.д. Итак,

/(л,(х) = п(п-)...Ъ-2Ла+...

(в разложении /<л,(х) указан только свободный член). Полагая в этих равенствах, а также в разложении (5.48) х = 0, получаем АО) = а0, ДО) = ах, f') = 2Ла2, f"{0) = Ъ-2Ла, и т.д.; вообще, f (0) = пап. Отсюда имеем формулу

 

Определение. Пусть функция fix) определена в некоторой окрестности точки х = 0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд

т+тх+ш^...+/!?тХ'+... (5.49)

1!         2! п

называется рядом Маклорена для функции fix).

Ответ на поставленный выше вопрос 2 можно дать в виде следующей теоремы.

Теорема 5.16. Если функция fix) разлагается в некоторой окрестности точки х - 0 в степенной ряд, то этот ряд является ее рядом Маклорена.

Теорема 5.16 показывает, что разложение функции в степенной ряд однозначно. Следующий по важности вопрос: к какой функции сходится ее ряд Маклорена?

2. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена

Пусть Дх) - произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Для нее можно составить ряд Маклорена (5.49). Установим, при каких условиях сумма ряда (5.49) совпадает с функцией Дх). Ответ на этот вопрос дает формула Маклорена. В § 2.18 было показано, что для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена

т=/(0)+Шх+£Ш х Ї+.„А+КЛх),

1!         2!   , п

где остаточный член

 

RnW = -,         0<с<х. (5.50)

(и+1)!

Если обозначить через 5я(х) частичную сумму ряда Маклорена, то формулу Маклорена можно записать следующим образом:

дх)= ад + ед. (5.51)

Ясно, что вопрос о сходимости ряда Маклорена к функции Дх) сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при и —> оо. Во многих случаях проблема решается следующей теоремой.

Теорема 5.17 (достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена). Пусть функция fix) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-г, г). Если существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства

f{nx)\<M(n = 0,1,2,...), (5.52) то в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции fix).

Доказательство. Из формулы (5.51) следует, что достаточно доказать равенство lim А (х) = 0. Из условия теоремы и формулы (5.50) следует неравенство

 

1 "    1 (я+1)!

мер 5.9 § 5.2). По необходимому признаку сходимости Ит — = 0, откуда и предел остаточного члена тоже равен нулю, что заканчивает доказательство теоремы.

 

3. Разложение функции е*

Пусть fix) = ех. В любом интервале (-г, г) имеем |/(я)(*)1 = е'<е'.

В силу теоремы 5.17 отсюда следует, что функция е' равна сумме своего ряда Маклорена при х є (-г, г) а значит, и для любого х ввиду произвольности г Поскольку/™(0) = е°= 1 при любом п, то получаем разложение

х2   х3 х" е* =1 + х + — +—+...+—+..., (5.53) 2!   3! я!

справедливое для всех х.

 

4. Разложение функций sin х и cos х

 

Каждая из функций sin х, cos х удовлетворяет условиям теоремы 5.17 (при любом г): действительно, производная любого порядка от этих функций есть одна из функций ±sin х, ±cos х. Поэтому модуль производной любого порядка от этих функций не больше единицы. Таким образом, для любого х каждая функция sin х и cos х равна сумме своего ряда Маклорена.

Имеем

(sin х)' = cos х, (sin х)" = -sin х, (sin х)'" = -cos х, (sin x)(4) = sin X.

Отсюда видно, что последовательность производных функции sin х периодична с периодом 4. При х = 0 получаем

sin 0 = 0, sin'(O) = 1, sin"(0) = 0, sinx"'(0) = -1.

В общем случае все производные четного порядка равны нулю, а нечетного

8Іп(2я+,)(0) = (-іу

Отсюда ряд Маклорена для sin х:

Проинтегрируем почленно это равенство в пределах от 0 до х

(|х| < 1):

+....

(5.54)

sinx = x           +          ...+(-1)            

3!    5!  (2и + 1)!

Ряд для cos х получается почленным дифференцированием ряда (5.54):

-...+

(-1)"

+...,

 

2п+

(2л+ 1)!

(sinx) =(х) -

3!.

 

f_£L = 1п(1 + ,)|* =ln(l + x) =

J 1 + / 1

о

= І(1-/+/а-/3+...+(-1)"/"+...)* =

о

и + 1

f t2 t3 t* t = 'Л+т-т+-+<-1)Я-

V    2    3    4 n

откуда

(5.55)

 

cosx = 1- —+ -—...+(-1)" ——+.. 2!    4! (2л)!

Заметим, что в разложение функции sin х входят только нечетные степени х, соответственно у cos х только четные степени. Это согласуется с тем, что sin х - нечетная функция, a cos х - четная

 

5. Разложение функций 1п(1+х) и arctg х

При нахождении разложения функции cos х мы использовали свойство почленной дифференцируемости степенных рядов. Аналогично можно использовать и свойство почленной интегрируемости.

Рассмотрим ряд 1 + х + х2 + х3 +...+ х" + ... . Данный ряд выражает сумму геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем х. Известно, что при |х| < 1 данный ряд сходится и его

сумма равна   . Следовательно,

1-х

1-х

1 ■ = 1 + х + х2+х3+...+х"+...

(5.56)

 

Равенство (5.56) является разложением функции /(х) = -р— в степенной ряд при |х| < 1. Выполним замену переменной х = -/:

 

~— = -1 +12 -tl+...+{-)"t" +... .

xxx      ,   --.и x

= x--— + — - — +...+(-1) —-+.. 2     3     4 n+

Отсюда получаем разложение функции ln( 1 + х) в степенной ряд:

г2     г3     г4 ХЛ+1

1п(1 + х) = х- — + ^--х-+..л{-)п—+... . (5.57) v     '        2     3     4 и+1

Оно справедливо для |х| < 1. Можно показать, что оно остается верным и для х =1, т.е. выполняется равенство

 

1п2 = 1-- + --7+... , 2   3 4

о котором мы уже упоминали при рассмотрении знакочередующихся рядов.

Найдем теперь разложение функции arctg х. Для этого подставим в равенство (5.56) х = -г2 и проинтегрируем по / от 0 до х. Получим разложение

arctgx = x-y + y-...+(-l)n^+... , (5.58)

верное при |х| < 1. Так же, как для логарифма, можно показать, что оно остается верным и при х = ± 1. В частности, при х - 1

слева получаем arctg 1 = -j, так что имеем интересное числовое равенство

£ = 1-!+1-....

4       3 5 6. Разложение функции (1+х)а

Пусть ./00 = (1 +х)а, где а -произвольное число. Тогда имеем

/'(х) = а(1+хГ f"{x) = a(a-){+xT /"'(х) = а(а-1)(а-2)(1+хГ

 

fx) = а(а - 1)(а - 2)...(а - п + 1)(1 + х)™.

 

Полагая х = 0 во всех этих формулах, получим

Л0)=1, /'(0) = а,/"(0) = а(а-1), /"'(0) = а(я-1)(а-2),..„

fM(0) = a(a-l)(a-2)...(a-n+ 1). Подставляя выражения для производных в ряд Маклорена, полу-

чим

(1 + хУ = 1 + °х н- а{а -1) х2 + а(а ~1)(fl - 2)

1        1-2         1-2 3

| а(а-1)...(а-и + 1)^п |

(5.59)

Нетрудно проверить, что радиус сходимости степенного ряда в правой части равенства равен 1, так что ряд сходится при 1*1 < 1-

Для натуральных а = т правая часть равенства (5.59) превращается в многочлен, а само равенство (5.59) в формулу бинома Ньютона:

 

(1 + хГ = 1 + ^х + ^])х2 +

1 1-2

(последний член правой части получается при и = т и равен ф-1)...(и-и + 1)

ml хх).

Докажем, что равенство (5.59) выполняется в общем случае при |х| < 1.

Во-первых, проверим, что функция у = (1 + х)" удовлетворяет следующему уравнению

(1+х)у'=ау. (5.60)

Действительно,

у' = а{+хГ1 н(1+х)у' = а(1+х)а =ау.

Во-вторых, проверим, что равенство (5.60) выполняется и для степенного ряда, стоящего в правой части (5.59). Дифференцируя почленно, имеем

 

У         1! 2!

^ а(а-ГХо-2)...(о-я+1)д>,-і { (я-1)!

Отсюда

/, ч - . а(д-1)(а-2)ц2|

(1 + х)/ = я + —^Г~* +          ^          х +-

а(а-1) 2

+ ах + —         -дГ+...=

1!

= a + £(a_1 + 1)x + ^li>(a_2 + 2)x2+...= 1! 2!

С,   а     а(а-1) 2 Ї

I    1!        2! J

Мы видим, что и левая, и правая части равенства (5.59) удовлетворяют одному дифференциальному уравнению (5.60). Поскольку очевидно, что они удовлетворяют одному и тому же начальному условию ><0) = 1, то, по теореме единственности для дифференциальных уравнений, они равны.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |