Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 5.6. степенные ряды с произвольным центром

 

1. Интервал сходимости

 

Выполнив в степенном ряде замену переменной х на х - х0, получаем степенные ряды с центром в х0. В общем случае они имеют вид:

а0+а,(х-х0) + а2(х-х0)2 + ... +а„(х -х0)" + ... . (5.61)

 

До этого мы систематически рассматривали случай, когда х0= 0. Общий случай ничем существенным не отличается от частного случая, все сводится к переносу начала в точку х = х- Чтобы это увидеть, выполним замену переменной Х=х -х0. После такой замены ряд (5.61) принимает вид

а0+а{Х + a3Xl+ ... + аяХп + - (5.62)

т.е. превращается в степенной ряд с центром х0= 0. Из предыдущего изложения следует, что ряд (5.62) имеет интервал сходимости (-R, R), т.е. сходится при Х < R и расходится при Х > R. Для ряда (5.61) это означает, что он сходится при х - xQ < R и расходится при |дг - jcJ > R. Следовательно, интервал сходимости ряда (5.61) есть (x0-R, х0+ R) (рис. 5.2).

 

            в          •           О >

Xq — r            дсо      xq + r

 

Рис. 5.2

Все свойства степенных рядов, которыми обладает ряд (5.62), переносятся на ряд (5.61) в интервале (х0- R, х0+ R). К ним относятся возможность почленного дифференцирования и интегрирования ряда (5.61).

 

2. Ряд Тейлора

 

Аналогично задаче о разложении функции в ряд по степеням х ставится и задача о разложении по степеням х - xQ.

Определение. Пусть функция fix) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд

ft   v   ГЫ,       ч   /"Ы,       ^2      /(л)(*о)/ Y

 

называется рядом Тейлора с центром х0 для функции fix).

Справедливо следующее утверждение, обобщающее теорему 5.16 § 5.5.

Теорема 5.18. Если функция разлагается в некоторой окрестности точки х0 в ряд по степеням х-х^ то он является ее рядом Тейлора с центром х0.

Доказательство. Положим X— х -х0и F(X) - fix). Если функция fix) в окрестности точки х0 разлагается в ряд (5.61), то функция F(X) в окрестности нуля разлагается в ряд (5.62). Тогда согласно теореме 5.16 § 5.5, последний ряд должен быть рядом Маклорена для F(X), т.е. имеет место разложение

 

1!         2! и!

Возвращаясь к переменной х, получим

/(,) = /Ы + ^(х-х0) + ^1(х-х0)2+... л!

что и требовалось доказать.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |