Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

 

1. Вычисление значений показательной

функции

 

Для показательной функции справедливо разложение в ряд

х2   xі х"

ех = 1 + х +     +          +...+     +...(-оо<х<оо) (5.63)

2!    3! я!

При больших по модулю значениях* ряд (5.63) малопригоден для вычислений. В этих случаях обычно поступают так: представляют х в виде суммы

х = Е(х) + q,

где Е(х) - целая часть числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) и q - дробная его часть, 0 < q < 1. Тогда

Первый множитель находят с помощью умножения. Второй множитель вычисляют с помощью разложения (5.63). При 0<,х <1 этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R (х) оценивается следующим образом: "

хя+|

ОйЯя(х)<±— пп

Пример 5.21. Найти -Л с точностью до 10-5. Пользуемся формулой

где и0- 1, ик =—1~, (* = 1, 2,..., п). Слагаемые подсчитываем с

 

+*п{{ (5.б4)

 

ц*-1 2к

двумя запасными десятичными знаками. Последовательно имеем

«0=1,   и5 =-^ = 0,0002604,

«і = "Т" = 0,50000000,           и6 =    = 0,0000217,

*• 12

"2 =J = 0,1250000,      и7=^ = 0Д)00016,

"3 = "б"= °'0208333-   ^7 = 1,6487212.

и4 =    = 0,0026042,

О

Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим

77= 1,64872.

 

2. Вычисление значений логарифмической

функции

Непосредственное применение разложения логарифмической функции в степенной ряд

1п(1 + х) = х-^- + ^—^-+...+(-1)"^!!.+... . (5.65)

2     3     4        я+1      v '

затруднительно из-за ограничения —К дг <1 и медленной сходимости. Поэтому заменим х на -х и получим

 

X2     x3     ХА хл+1

1п(1-х) = -х-± — -—

2    3    4 я+1

In         = 2

1-х

Вычитая из первого равенства второе, находим

 

х3 х5

х + — + —+...

3 5

где |*| < 1.

Формула (5.66) очень удобна для вычисления логарифмов по двум причинам: 1) аргумент логарифмической функции для указанных значений х принимает произвольные положительные значения; 2) ряд (5.66) сходится довольно быстро. Оценим остаток ряда (5.66). Так как отношение последующего члена ряда к предыдущему равно

х2л+1  х2"-1    2и-1 2

-X

2п + 2п-   2п +

 

и потому меньше Xі, то остаток меньше, чем сумма геометри-

x2n+1

ческой прогрессии с первым членом 2              и знаменателем х2.

2я +1

Таким образом, выполняется неравенство

(5.67)

2х2л+1

(2л + 1)(1-х2)'

Пример 5.22. Найти In 5 с точностью до 10~*.

Чтобы ускорить сходимость ряда (5.66), представим число 5 в

виде произведения 5 = е ■ -, тогда in 5 = In е + In - = 1 + In -. Полагая

е ее

1+х   5 5-е

            = -, находим х =         « 0,29562514 (здесь предполагается, что

1-х   е 5+е

число е мы можем вычислять с требуемой точностью, как в п. 1). Из оценки (5.67) следует, что остаток приблизительно равен первому отброшенному члену. Будем вести все вычисления с двумя запасными знаками

 

и = 2х = 0,59125029, и4 = 2— = 0,00005638,

Xі х9

и2 = 2у = 0,01722395,           щ = 2— = 0,00000383,

 

щ = 2 — = 0,00090316,          и6 = 2 — = 0,00000027.

 

Требуемая точность достигнута. Складывая члены ряда, получим

In 5= 1,609438.

 

3. Вычисление значений синуса и косинуса

 

Для вычислений значений функций sin х и cos х используем разложения в ряд

Xі   Xі х2"*1 sinX = X--^ + —-■-+(-1)"^—J-+-- (-оо<Х<ао), (5.68)

 

х2   х4 х2п

cosx = l            +          ...+(-1)"            +... (-оо<х<оо).     (5 691

2!    4!  (2л)!    1 '

Ряды (5.68) и (5.69) при больших х сходятся медленно. Однако, учитывая периодичность функций sin х и cos х и формулы приведения тригонометрических функций, достаточно уметь вычислять

sin х и cos х для промежутка 0 < х < —. Так как в этом промежутке ряды (5.68) и (5.69) являются знакочередующимися с убывающими по модулю членами, то остаток ряда в обоих случаях не превышает модуля первого отброшенного члена.

Пример 5.23. Вычислить sin-j с точностью до 10~*.

Значение аргумента с двумя запасными знаками: х = 0,785398. Применяя (5.68), получим

и, = х = 0,785398,      «2 =        = -0,080746,

х2и      2

"з = - ТТ = °.°02490,   и4 = - -5-ї» = -0,000037.

4-5       4 6-7

Требуемая точность достигнута, поэтому

 

sm—= 0,7071. 4

Разумеется, можно было этот результат получить, используя

. я S значение sin—.равное —.

4 2

 

4. Приближенное нахождение интегралов

Пример 5.24. Вычислить интеграл

і

/= y^dx,

о

разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и используя семь членов этого разложения. Оценить погрешность. Имеем

1          г4     г6 X2"

 

Этот ряд сходится при любом х; проинтегрировав почленно первые семь членов, получим

 

Х    3 + 5-2!   7 3! + 9 4!   11-5! + 13 6!у

= 1_I+±-i-+J    L+_L (5.70)

3   10   42   216   1320   9360 v J

Оценим остаток ряда:

|Л71< — = —— < 1,5 10"5. 1 71   15-7! 75600

Учитывая это, вычислим сумму (5.70) с пятью знаками после запятой (с одним запасным знаком). Окончательно получим

і

/= je^dx = 0,7468.

о

Пример 5.25. Вычислить интеграл

 

Jl_ v

Ql-x5

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |