Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 5.8. ряды из матриц

 

Рассмотрим М(к, I) - множество матриц размера к х / с действительными элементами.

 

с точностью до 10-4.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд

'           :1 + *5+х10+*15 + ....

1-х5

Областью сходимости этого ряда является интервал (-1, 1). Отрезок интегрирования входит в этот интервал, следовательно, данный ряд можно почленно интегрировать.

Интегрируя по отрезку [0, 0,5], получим 1°. Последовательности из матриц

 

Пусть для каждого натурального п дана матрица Ап є М(к, /). Последовательность Av А2, .-,А„, ■■■ или {Ап}, п є N, называют последовательностью матриц.

Ясно, что всякая последовательность матриц из М(к, I) порождает к ■ I обычных числовых последовательностей, которые получаются выписыванием элементов матриц Ап с фиксированными индексами / и j.

(     х6   хи   х16 ^

х +       +          +          +...

V      6     11     16 J

Уі         і і

=— +   г +       гг +     ГГ+-

о   2   6-2б   Н-211 16-216

Пример 5.26. Рассмотрим последовательность 2x2 мат-

риц

Так как уже третий член меньше, чем 10^, то попробуем взять в качестве приближенного значения интеграла сумму первых двух членов.

Оценим остаток R2:

R2 =—^-77 + — 11-2" 16-216

Для этого заменим первые множители, стоящие в знаменателях, на число 11. Тогда получим сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии

 

25

Таким образом, сумма первых двух членов дает значение интеграла с требуемой точностью. Окончательно получим

0,5

f           г = - + —^ = 0,5026.

Jl-x5    2 6-26

В заключение заметим, что разложение функций в степенные ряды используется также при решении дифференциальных уравнений, о чем речь пойдет в следующей главе.

, / = 1, 2,у = 1, 2.

(и)"

В развернутом виде имеем:

2

1

А„ -

,А2 =

2

1_ J_

V2 4>

' '.2

2,

Л / j Л

4

,...,[ —|     в первой строке и втором столбце,

так что получим четыре числовые последовательности: 1, 1,1, ...в первой строке и первом столбце,

 

2Чгі ' 2

 

2~'       ''"'(г") '"'80 ВТ0Р0И стРоке и первом столбце,

 

-i,       ,—,\^ >■•• во второй строке и во втором столбце.

 

722-|-19-г

Определение. Матрица А = (<зу) называется пределом последовательности матриц {AJ, п є N, если для каждой пары і и j выполняются равенства

а,. = lima*;', i = l,..., k,j = ,..., I.

Иными словами, сходимость должна быть поэлементной.

Пример 5.27. Найти предел последовательности матриц {А }, п є N, из предыдущего примера 5.26.

( 0

Очевидно, шпЛ = Л, где А =

"-»«     Ко о)

 

2°. Ряды из матриц. Определения и примеры

Определение. Рядом из матриц {Ап є М(к, /)}, и є N, называется выражение вида

Ах+А2+...+Ая+... (5.71)

Ряд из матриц - это непосредственное обобщение понятия числового ряда. Определение его сходимости копирует определение сходимости числового ряда (5.1). А именно, обозначим через

I, =Л„ £, =АХ + А2, (5.72)

частичные суммы ряда (5.71).

и-ая частичная сумма £п - это по сути просто набор из к ■ I частичных сумм обычных числовых рядов, которые получаются на фиксированном месте соответствующих матриц с индексами і и у, і = 1,..., к, j = 1,..., /.

Определение. Ряд (5 Л ) сходится, если последовательность {Ln} его частичных сумм сходится.

В случае сходимости ряда (5.71) обозначим предел частичных сумм через Е. Тогда имеем

L = limE„. (5-73)

Определение. Для сходящегося ряда матрица Е называется суммой ряда (5.71).

В этом случае сумму ряда записывают в виде символического

оо

равенства £ = у'ап .

П =

1_ 2

1_

w4

Пример 5.28. Найти сумму ряда из матриц

 

Ах + А2+...+ А„+..., где А„ =

Ясно, что в качестве частичной суммы 1п мы получим матрицу, элементами которой будут частичные суммы геометрических прогрессий со знаменателями, меньшими единицы. Поэтому данный ряд сходится и его суммой будет

(5.74)

Более интересные примеры возникают, если мы по аналогии с геометрической прогрессией рассмотрим ряд, составленный из степеней квадратной матрицы А размера к:

Е + А +А2+ ... +А" +

Такие ряды рассматривались в первой части данного учебника при изучении балансовых моделей, где предполагалось, что А > 0. Оказывается, что сходимость такого ряда эквивалентна продуктивности матрицы Леонтьева А. Чтобы дать исчерпывающий ответ на вопрос о сходимости ряда (5.74), нам предстоит рассмотреть степенные матричные ряды.

 

3°. Степенные матричные ряды

 

Определение. Пусть дана квадратная матрица А размера к и степенной ряд aQ+ ахх+а2х2+...+апхп+... Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой в степенном ряде переменной х на А:

оэ

а0 + ахА + а2А2 +...+апА" +...= ^апЛ" ■ (5.75)

Оказывается, что определение сходимости степенного матричного ряда (5.75) полностью сводится к вопросу о сходимости обычного степенного ряда. Напомним, что число Л называется собственным значением матрицы А, если найдется ненулевой собственный вектор х, для которого выполняется равенство

Ах = Л х.

Вместе с матричным степенным рядом (5.75) рассмотрим степенной ряд

ОЭ

aQ+a^ + a2A2+...+anr+..=Yja„A"- (5.76)

Теорема 5.19. Матричный степенной ряд (5.75) сходится тогда и только тогда, когда сходится степенной ряд (5.76) для каждого собственного значения Л матрицы А.

Доказательство. Пусть матричный ряд (5.75) сходится и Л - собственное значение матрицы А с собственным вектором

х. Обозначим В = ^апА" . Рассмотрим вектор Вх. Поскольку для

л=0

любого натурального п выполняется равенство А"х = Л "х, то справедливо равенство

 

Вх = ^а„Лпх. (5.77)

 

Отсюда следует сходимость ряда (5.76).

При доказательстве достаточности ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы А образуют базис пространства Rk. Заметим, что для проверки сходимости ряда (5.75) достаточно проверить, что для любого вектора х пространства Rk сходится ряд из векторов

а^+аЛх+а^х +...+аА"х+... . (5.78)

Если х - собственный вектор матрицы А, то ряд (5.78) сходится по условию. В общем случае вектор х представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд (5.78) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд (5.78), что заканчивает доказательство теоремы.

Следствие 1. Матрица Леонтьева А продуктивна тогда и только тогда, когда число Фробениуса матрицы А меньше единицы

 

Доказательство. Мы воспользуемся критерием продуктивности из главы 3 первой части данного учебника. А именно, неотрицательная матрица Л продуктивна тогда и только тогда, когда сходится матричный ряд (5.74):

Е + А + А2+...+ А"+... .

Согласно теореме 5.19 ряд (5.74) сходится, если для любого собственного значения Л матрицы А сходится числовой ряд

1 + Л+ Л2+...+ Л"+... ,

 

т.е. когда Л \<. Поскольку матрица А неотрицательна, то по теореме Перрона-Фробениуса максимальное по модулю собственное значение ЛА матрицы А действительно и неотрицательно. Поэтому условие сходимости матричного ряда (5.74) эквивалентно условию ЛА<, что и требовалось доказать.

Следствие 2 Для любой квадратной матрицы А сходится

ряд

 

еА =Е + А +—+...+—+... . (5.79) 2! п

Согласно теореме 5.19 достаточно проверить, что для любого собственного значения Л сходится ряд для обычной показательной функции

 

к   ,   ,   Л2 Л" 2! л!

а это хорошо известно.

Разложение в ряд (5.79) используется при решении систем линейных дифференциальных уравнений.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |