Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

Глава 6 дифференциальные уравнения § 6.1. общие понятия и примеры

 

Различные вопросы математики, естествознания, экономики приводят к необходимости решения уравнений, содержащих в качестве неизвестной некоторую функцию у(х), наряду с которой в уравнении присутствуют и ее производные до некоторого порядка п. С одним из наиболее простых таких уравнений, уравнением вида y'=f(x), мы уже встречались в интегральном исчислении. Его решением является неопределенный интеграл от Дх). Приведем другие примеры таких уравнений:

у'+2у = х2;у"'+у' = 0;у"=ху.

 

Определение 6.1. Уравнение, связывающее независимую переменную х с неизвестной функцией у(х) и ее производными до некоторого порядка п включительно, называется дифференциальным уравнением п-го порядка.

Таким образом, приведенные выше уравнения являются примерами дифференциальных уравнений соответственно первого, третьего и второго порядков.

Любое дифференциальное уравнение может быть записано в виде

F(x, у, у ',...,/">) = О, (6.1)

где F - некоторая заданная функция, х - независимая переменная, у(х) - искомая функция, а у{х),..., у<пх) - ее производные.

 

Определение 6.2. Решением дифференциального уравнения (6.1) называется функция у(х), имеющая производные до п-го порядка включительно, и такая, что ее подстановка в уравнение (6.1) обращает его в тождество

Например, решением уравнения у' = 2у, как нетрудно проверить, является функция у = еъ. Легко видеть, что решением этого уравнения будет также любая функция вида

у(х) = Се2*, (6.2)

где С - произвольная константа. В дальнейшем мы покажем, что формулой (6.2) определяются все решения данного уравнения, или, как говорят, задается общее решение уравнения. Отметим, что в нашем случае общее решение зависит от произвольной константы С. Придавая ей определенные числовые значения, мы будем получать конкретные решения, или, как принято говорить, частные решения

Рассмотрим в качестве еще одного примера уравнение

у"=х. (6.3)

 

Имеем у' = — + С и далее

 

у'= ^- + Сх + С2, (6.4) 6

где С,, С2 - константы. Очевидно, что при любых значениях С, и С2 полученная функция у будет решением уравнения (6.3), т.е. формула (6.4) задает общее решение уравнения (6.3). Оно, как видно, зависит от двух произвольных констант С, и С2. Придавая им конкретные значения, мы получаем частные решения.

В дальнейшем понятия общего и частного решения будут уточнены. Однако одно очень важное обстоятельство мы можем отметить уже сейчас, исходя из рассмотренных выше примеров:

дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений;

общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения;

частные решения получаются из общего путем придания конкретных значений этим постоянным.

Отметим также, что процесс нахождения решения дифференциального уравнения принято называть интегрированием этого уравнения, а график решения - интегральной кривой данного уравнения.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |