Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 6.4. некоторые простейшие методы интегрирования дифференциальных уравнений

 

1. С одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений мы уже познакомились в предыдущем параграфе, это -метод разделения переменных. В данном параграфе мы рассмотрим еще несколько методов, один из которых - метод вариации постоянных - применяется для решения так называемых линейных уравнений.

Определение 6.4. Дифференциальное уравнение вида ф)у'+Ах)у+ у{х) = 0 (6.24)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если а(х) * О, то уравнение (6.24) можно преобразовать следующим образом:

У'+ Р(Ф = Ах), (6-25)

 

Дифференциальное уравнение

у'+р(х)у = 0 (6.26)

назьтается линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (6.25).

Уравнение (6.26) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Из (6.26) следует

± = -р(х)ах. У

Интегрируя это уравнение, получим 1пу = -Р(х) + пС,

где Р(х) - произвольная первообразная для функции р(х), а С -положительная постоянная. Из последнего уравнения находим общее решение уравнения (6.26):

 

у = Се-р(х), (6.27)

где С - постоянная произвольного знака.

Теперь будем искать решение уравнения (6.25), положив в формуле (6.26) С = С(х), т.е. заменяя константу С на некоторую (искомую) функцию (отсюда и название метода - метод вариации

произвольной постоянной). Итак, полагаем у = С(х)е'Р(х). Отсюда получим

у = се-ям - Се-Юріх). (6.28)

Подставляя выражения для у и у' из (6.27) и (6.28) в (6.25), находим

Се-*й- Се-р^р(х) + р(х)Се-рЫ= fix). Отсюда получим, что

С=Ах)еЪ

Следовательно, С(х)= ^f(x)eP{x)dx. Подставив в (6.27) выражение для С(х), получим общее решение уравнения (6.25). Пример 6.3. Решить уравнение

 

х

Это линейное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

 

у' + 2^- = 0. х

Разделяя переменные, имеем

dy 2dx у x

С

Откуда 1п[у = -21п|дг| + In С, т.е. у = —-.

X

Полагая теперь С = С(х), находим

С'(х) 2С(х)

У       х2          xі "

Подставив выражение для у и у' в исходное уравнение, получим

СЧ£)_2С(х) + 2С(х) 2 х2       xі xі

Отсюда следует, что С(х) = 5х*. Значит, С(х) = Xs + С, (С, = const).

Таким образом, у(х) = * +С| или у(х) = х3 +

х х2

Одним из часто используемых методов интегрирования дифференциальных уравнений является отчасти известный нам из интегрального исчисления метод замены переменной (подстановки). Например, уравнение Вернути

 

заменой Z = ух~п приводится к линейному. Пример 6.4. Решить уравнение

 

У~У = у

Выполнив замену z = у5, получим z' = Ъу^у'. Умножив обе части исходного уравнения на Ъу2 (*0), с учетом выражений для z и z' находим

z' - 3z = Ъе6*.

Соответствующее линейное однородное уравнение z' - 3z = О имеет решение z - Се3*. Применяя метод вариации произвольной постоянной, получим

С'(х)еіх+ЗС(х)еь- ЗС(х)еіх = Зе6*, т.е. Cx)f=3eix, С{х) = еь + С,, где С,- произвольная постоянная.

Таким образом, z = е^+С^Ч Значит, у = ^е6х +С,е3*.

Метод замены применим и к так называемым однородным уравнениям первого порядка. Это дифференциальные уравнения вида

/-/(?)• <"»>

Подстановкой у{х) = хм(х) они приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Действительно, у' = и(х) + хи' (х). Ввиду этого уравнение (6.29) принимает вид

и + хи' = J{u).

Разделяя переменные, получим

du _dx f(u)-u    х '

Отсюда находим общий интеграл уравнения:

du

if [и]-и

После нахождения и(х) необходимо вернуться к функции у(х) = хи(х).

Замечание 1. Если существуют корни уравнения Ди) - и, ток найденным решениям добавляются стационарные постоянные решения и(х) = и* где м* - любой корень уравненияДи) = и.

Пример 6.5. Решить уравнение

7

MS-liJ ■ (6'30)

(6.31)

Это уравнение является однородным. Выполнив замену у(х) = хи(х), приходим к уравнению

2и-и2-

x

t du tax >2u-u2- Jx'

Разделяя переменные, получим при и * 1

du tax

или

1

M-l

= ln|x| + C,

 

M = (ln|x| + C)-,+l-

 

Кроме этого, у уравнения (6.31) имеется стационарное решение и(х) = 1. Таким образом, решением исходного уравнения (6.31) являются функции § 6.5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

1. в предыдущем параграфе мы научились решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка. в данном параграфе мы рассмотрим обобщение этого класса уравнений на случай уравнений более высоких порядков.

Определение 6.5. Дифференциальное уравнение п-го порядка называется линейным, если оно имеет вид

У") + a,(x)y"-')+ a2(x№"-V+...+ аП(х)у =/*), (6.32)

где <3|(х), а2(х),ап(х), fix) - непрерывные функции.

Имеет место следующая

Теорема 6.3 (существования и единственности). Пусть функции а{(х),an(x), fix) непрерывны на отрезке [а, Ь]. Тогда существует, причем единственное, решение у(х) уравнения (6.32), удовлетворяющее начальным условиям у(х0) = у0, у'(.х0) =yQ'...., У<п-]Чх0) = у0^гдех0е(а, Ь).

Примем эту теорему без доказательства. в то же время отметим, что если в теореме Коши утверждалось существование и единственность решения локального, т. е. решения в некоторой окрестности точки, то в данной теореме утверждается существование и единственность решения линейного уравнения на всем промежутке [а, Ь], т.е. утверждение теоремы носит глобальный характер.

Обозначим через L{y):

i(y)=y-) + fllWy-')+ ... +ая(х)у. (6.33)

Заметим, что выражение такого вида называется линейным дифференциальным оператором п-го порядка. Отметим свойство оператора L(y), необходимое нам в дальнейшем.

Лемма 6.1. Пустьу{(х) и у2(х) - произвольные функции, имеющие производные до п-го порядка включительно, ctuc^- произвольные константы, тогда

Цс^+с^) = с,Цу,) + c2L(y2). (6.34)

Справедливость этого утверждения легко установить непосредственной проверкой.

С учетом наших обозначений уравнение (6.32) может быть записано в виде

L(y) =fix). (6.35)

Уравнение

L(y) = 0 (6.36)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (6.35). в противоположность этому уравнению (6.35) (при fix)sO) называется неоднородным. Следующее утверждение связывает решения уравнений (6.35) и (6.36).

Теорема 6.4. Общее решение неоднородного уравнения (6.35) есть сумма частного решения у (х) этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения (6.36).

Доказательство. Покажем сперва, что сумма у (х) и произвольного решения у Ах) однородного уравнения также является решением уравнения (6.35). Действительно, в силу леммы имеем

Д у +у0) = Цу) + L(yQ) = fix) + О =fix),

что и требовалось доказать. Теперь нам остается доказать, что всякое решение у(х) неоднородного уравнения есть сумма у (х) и некоторого решения yQ(x) уравнения (6.36). Имеем

L(y-y) = L(y)-L(y) = fix)-fix) = 0.

Следовательно, j>0(jc) =у(х) - у (х) - решение уравнения (6.36), значит, у(х) -у0(х) + у (х), что и завершает наше доказательство.

Пример 6.6. Рассмотрим уравнение Самуэльсона

p'=k(d(p)-s(p)), (6.37)

моделирующее связь между изменением цены р и неудовлетворенным спросом d(p) - s(p) (здесь d(p) и s(p) - соответственно величины спроса и предложения при цене р, к>0). Предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями

d(p) = a-bp, s(p) = т + пр, (6.38)

где а, Ь, т,п- некоторые положительные числа. С учетом (6.38) уравнение (6.37) примет вид

р'= к(п - Ь)р ±к(а + т). (6.39)

Уравнение (6.39) является линейным дифференциальным уравнением. Найдем решение соответствующего ему однородного уравнения. Имеем

^- = k(n-b)dt; Р

lnp = k(n-b)t + In С;

p(t) = Ce^'. (6.40)

В качестве частного решения уравнения (6.39) можно использовать стационарное равновесное решение p(t) = р = const, где р- корень уравнения d(p) = s(p) (в этом случае обе части уравнения (6.37) будут равны нулю). Из (6.39) нетрудно найти, что

~р=тй (рис-6-12>-

 

Рис. 6.13

 

Если п = Ь, то pit) = const (рис. 6.14).

 

Таким образом, общее решение уравнения (6.39) имеет вид:

rfO-fpW"-*. (6.41) b + n

Из (6.41), в частности, вытекает, что если п > Ь, то с течением времени интегральные кривые будут отдаляться от состояния равновесия р (рис. 6.13).

Рис. 6.14

Если же п < Ь, то с течением времени интегральные кривые будут асимптотически приближаться к состоянию равновесия р (рис. 6.15).

Данную модель можно рассматривать как непрерывный аналог паутинной модели рынка.

3. Отметим одно важное свойство линейных уравнений, часто используемое при нахождении решений.

Теорема 6.5. Пусть ух(х) uyJx) - соответственно решения уравнений L(y) =/i(x) и L(y) =J2(x), тогда yt(x) + у2(х) есть решение уравнения

АУ) =/;(*)+/2оо.

Действительно, Цу1+у2) =L(yx) + L(y2) =/х(х) +/2(х), что и утверждалось в теореме.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |