Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§ 6.6. линейные однородные уравнения. фундаментальный набор решений

 

В данном параграфе мы остановимся на свойствах частного и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения л-го порядка:

Цу) = 0. (6.42)

Лемма 6.2. Пусть ух(х),у2(х),ук{х) - решения уравнения (6.42), тогда ихлинейная комбинация Сух(х) + Су^х) +... + С,ук(х), где СХ,С2,Ск- произвольные константы, также является решением уравнения (6.42).

Действительно, на основании леммы 6.1 из предыдущего параграфа имеем:

ЦСхух + СЛ+...+ Ckyk)= CxL(yx) + C2L(y2)+...+ CJ4yk) = 0,

что и требовалось доказать.

Ранее мы уже отмечали, что общее решение дифференциального уравнения я-го порядка зависит от л произвольных констант. Из леммы 6.2 следует, что функция

Ядг)= Є>,(*) + С>2(*) +... С,ук(х) (6.43)

является решением уравнения (6.42). Естественно, возникает вопрос: при каких условиях формулой (6.43) определяется общее решение уравнения (6.42)? Чтобы разобраться в этом вопросе, введем несколько понятий, аналогичных понятиям из линейной алгебры.

Определение 6.6. Функции ух(х),у2(х), ук(х) называются линейно зависимыми, если одна из них может быть представлена в виде линейной комбинации остальных В противном случае, т.е когда ни одна из них не является линейной комбинацией остальных, они называются линейно независимыми.

Каким образом можно определить, являются ли данные функции линейно зависимыми или нет?

Один из способов связан с так называемым определителем Вронского. Пусть ух(х), ...,ук(х) - система, состоящая из к функций, тогда определитель Вронского этой системы имеет вид:

У Уг - Ук У   Уг     - У'к

(6.44)

уГ'уГ' - у(Г

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 6.6. Если функции ух, уклинейно зависимы, то их определитель Вронского тождественно равен нулю.

Доказательство. Пусть yv ..;Ук-линейно зависимы. Тогда одна из этих функций (для определенности положим, что ух) - является линейной комбинацией остальных. В этом случае первый столбец определителя Вронского будет представлять собой линейную комбинацию остальных столбцов. Следовательно, определитель тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Теорема 6.7. Еслиух(х), ...,ук(х)-линейно независимые решения уравнения (6.42), то их определитель Вронского ни при одном значении х не обращается в нуль.

Доказательство теоремы проведем от противного. Пусть существует точка х0, в которой определитель Вронского равен нулю. Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

Cxyx(x0) + C2y2(x0)+...+Ckyk(x0) = 0 С1у[(х0) + С2у'2(х0)+...+Ску'к(х0) = 0

(6.45)

С^'Чхо) + C2yJik-lx0)+...+Chykik-,x0) = 0

относительно искомых неизвестных чисел Ср С2,Ск. Определителем этой системы является определитель Вронского в точке х0. Так как по предположению он равен нулю, то система имеет

ненулевое решение С,, Cj,Cj. Рассмотрим функцию

= С,ух(х) + Сгу2(х) + ...+ Скук{х

которая в силу леммы 1 является решением уравнения (6.42). При этом <р{х)* 0, так как в противном случае функция yt,...,yk были бы линейно зависимы: одну из них, имеющую ненулевой коэффициент, можно было бы выразить в виде линейной комбинации остальных. С другой стороны равенства (6.45) означают, что

<р (*о) = 0, <р '(*„) = 0,<р <*-■>(*„) = 0. (6.46)

Но этим же начальным условиям удовлетворяет и другое решение уравнения (6.42), а именно у(х) = 0. Это противоречит единственности решения задачи Коши для уравнения (6.42). Следовательно, W{yv ,,.,ук)*0 для всех х. Теорема доказана.

Определение 6.7. Систему функций ух(х), ...,уя (х), состоящую из п линейно независимых решений уравнения (6.42), будем называть фундаментальним набором решений этого уравнения.

Основываясь на выше доказанных утверждениях, мы можем доказать основную теорему теории линейных однородных дифференциальных уравнений.

 

Теорема 6.8 (об общем решении линейного однородного уравнения). Пусть у,(х),уп (х) - фундаментальный набор решений уравнения (6.42), тогда общее решение этого уравнения задается формулой:

y~Cft+ ...+ Су, (6.47)

Доказательство. То, что функция у{х), определяемая формулой (6.47), является решением уравнения (6.42), следует из леммы 6,2. Покажем теперь, что любое решение <р(х) уравнения (6.42) представимо в виде линейной комбинации функций yt, —,у„. Зафиксируем некоторую точку х0. Введем следующие обозначения:

*>(*<>)- У» <Р'(х0)-у0,.... ^Xx0)-y0W

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

<у, (х0) + С2у2 (*„)+: • .+С„у„ (х0) = у0 Сху[(х0) + С2у2(х0)+...+С„у'„(х0) = у'о

,(п-]х0) = уГ1)

(6.48)

С1Уі(п-1х0) + С2у21п-х0)+...+СПуІ

Определителем этой системы является определитель Вронского для функций у,, ...,улв точке х0. Ввиду линейной независимости этих функций данный определитель не равен нулю. Следовательно, у системы (6.48) существует решение (С,,С2,...СЯ).

Тогда функция у(х) = С]у](х) + С2у2(х) + ...+ Спу„(х), как это вытекает из (6.48), удовлетворяет тем же начальным условиям. В силу единственности решения задачи Коши имеем <р(х) - у(х), т.е. (р(х) есть линейная комбинация функций yv уп. Теорема доказана.

Пример 6.7. Для уравненияу - 4у =0 функцииух(х) = е2* и у2(х) = е'ъ является частными решениями. Эти решения линейно независимы, так как их определитель Вронского

= -4

л*

2е2х -2е-2х

W{yx,y2) =

не равен нулю. Значит, ух, у2 образуют фундаментальный набор и общее решение уравнения имеет вид:

у = Схеъ + С2е~ъ.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |