Имя материала: Математика в экономике Часть 2

Автор: Солодовников А.С.

§1.7. бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция fix) называется бесконечно малой при х -» х0, если lim f(x) = 0, и бесконечно большой при

х-*ха

х -> х0,если

lim /(х) = ±оо.

х-*х0

Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 1.2. Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х -> х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х -» х0).

Дня доказательства следует воспользоваться общими правилами нахождения пределов (§1.4, п.2°, правила 1 и 2).

Теорема 1.3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть снова бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть fix) - бесконечно малая при х -> х0: lim f(x) = 0,ag(x)- ограниченная функция:

Х-¥Х0

< v4(const) при любом х. Запишем

о<|/(*).ф)<л|/(4

Первый и третий члены неравенства (т.е. О и Л|/(х)|) имеют при х -> х0 предел 0. По известному положению о пределе функции второй член, т.е. |/(х) • g(x)|, также имеет предел 0. Отсюда очевидным образом следует Hm /(x)g(x) = 0 •

х-+х0

/(*)

Особое значение имеет вопрос о поведении частного двух бесконечно малых (при х -> х0) функций. В общем случае о пределе такого частного ничего определенного сказать нельзя. Вот несколько примеров:

 

2          XSin —

lim— = 0, lim — = ±оо, lim   — не существует.

*->0 X       х->0х        *-+о х

Заметим, что исследование отношения двух бесконечно малых функций представляет чрезвычайную важность для всех приложений математического анализа, поскольку на рассмотрении предела такого отношения основывается важнейшее понятие математического анализа - понятие производной функции.

Между понятиями бесконечно малой и бесконечно большой функций существует очевидная связь: еслиДх) - бесконечно большая (при* -» х0), то —- бесконечно малая (при х -» х0). /(*)

При сравнении бесконечно малых функций часто используют термин «бесконечно малая более высокого порядка».

Определение. Пусть fix) и g(x) - две бесконечно малые функции прих -> х0. Мы говорим, что fix) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем g(x), если

lim/W = 0.

*-о g(X)

Например, при х -> 0 функция х2 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем х.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |