Имя материала: Математическая экономика

Автор: Мицель Артур Александрович

Лабораторная работа №10 портфель облигаций

Поток платежей портфеля

Пусть имеется портфель из т видов облигаций без кредитного риска, цены которых в момент / = 0 равны соответственно Р, Pi, ...,Рт. По этим облигациям в моменты времени tt (/ = 1, 2, и) производятся платежи С/, где j = 1,2,..., т. Обозначим за Vj сумму, затраченную инвестором на приобретение облигацийу-го вида (/ = 1, 2,т). Тогда стоимость портфеля равна

т

V=2ZVj. У=1

Величина к - = Vj IPs - это количество облигаций /-го вида в портфеле.

Портфель облигаций обозначим за Yl(Vx,V2,...,Vm). Ожидаемый поток платежей от портфеля вычисляется по формуле

т

У=і

Таким образом, портфель П(^, V2,Vm ) в момент / = 0 можно рассматривать как одну облигацию без кредитного риска стоимостью V с потоком платежей Rx, R2, ...,R„ в моменты времени t, ti, ...,/„. По своим инвестиционным качествам портфель эквивалентен такой облигации.

Меры доходности портфеля

Для вычисления доходности портфеля T(yx,V2,...,Vm) используют

две характеристики:

средневзвешенную доходность портфеля гср;

внутреннюю ставку доходности гр.

Средневзвешенная доходность портфеля определяется путем усреднения доходностей по всем облигациям в портфеле:

т

'ср = £ xjdj .

Здесь Xj=Vj/V - доля облигаций /-го вида в портфеле (Ёху=1)>

j=i

dj - их внутренняя доходность. Недостатком этой характеристики является то, что она несет мало информации о потенциальной доходности портфеля.

Внутренняя ставка доходности гр - это процентная ставка, по которой приведенная стоимость потока платежей по портфелю R,R2, -.,Rn в моменты tx, t2,t„ равна его рыночной цене К в момент г = 0:

v=—

(l + rp)''                (l + rp)'"

Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и внутренняя доходность облигации. Она предполагает, что платежи по портфелю реинвестируются по ставке, равной гр, а сам портфель держится до погашения.

 

10.3. Дюрация и показатель выпуклости портфеля

Дюрацией Dp и показателем выпуклости Ср портфеля облигаций YI(yx,V2,...,Vm) называется дюрация и показатель выпуклости облигации, эквивалентной портфелю.

Тогда

1 "      R 1 » R

Dp = -T,ti—^-, cp = -2:^f + i)—і—,

V і=л  (l + r)'       V /=і +

где г — безрисковая (совпадает с внутренней нормой доходности) процентная ставка в момент г = 0.

10.4. Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций

1. Для дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций ЩУХ,V2,...,Vm) справедливы равенства

їй m

dр = Е XjDj ,  Ср = I xjc ,

j=i J        r =

где Xj =Vjl V— доля облигаций /-го вида в портфеле, Dj vlCj — дюрация и показатель выпуклости облигаций /-го вида.

120

Лабораторная работа № W

2. Если Dp и Ср- дюрация и показатель выпуклости портфеля П(^,Г2,...,Гт),то

Подпись:
3. Если число D таково, что

min{DyJ < D < max{D,-J.

то всегда можно сформировать портфель, дюрация которого равна D (портфель с заранее заданным значением дюрации).

4. Пусть в момент формирования портфеля г - 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны г. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину Дг, то относительное изменение цены портфеля

Подпись:

или

(ЮЛ)

(10.2)

Возможность оценить изменение цены портфеля по этим формулам следует из того, что портфель можно рассматривать как одну облигацию, дюрация которой равна Dp, а показатель выпуклости Ср.

Из равенста (10.1) и (10.2) следует, что дюрацию портфеля облигаций Dp можно рассматривать как меру процентного риска портфеля, а показатель выпуклости Ср показывает, насколько точно дюрация оценивает этот риск. Чем меньше Ср, тем лучше Dp оценивает чувствительность цены портфеля к изменению рыночных процентных ставок. В связи с этим можно сформулировать следующую задачу: сформировать портфель облигаций с заданным значением дюрации D и наименьшим показателем выпуклости. Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:

/= t-XjCj -»min;

їхЛ=Д

(10-3)

Xj >0, J=l,2         m.

Если заданное значение дюрации портфеля Dp удовлетворяет усло-

вию

min{Z)y} <Dp< max{£>,},

j j то задача линейного программирования (10.3) разрешима.

10.5. Стоимость инвестиции в портфель облигаций

Пусть Т лет - срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Так как портфель можно рассматривать как эквивалентную облигацию, то по аналогии с понятием инвестиции в облигацию можно ввести понятие инвестиции в портфель в момент t.

Если в момент формирования портфеля / = 0 безрисковая процентная ставка равна г и после покупки портфеля остается неизменной до окончания срока Т, то V(r, t) - планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t є [0, 7]. Если сразу после формирования портфеля процентная ставка изменилась и осталась на новом уровне F в течение всего инвестиционного периода, то V(T, t) — фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент / є [0, 7]. Стоимости V(r, t) и V(T, f) рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда

V(r,t)= 2 R,(1 + /•)'"'< + £ —^-г; (Ю.4)

i-it,ut    iV,>*(l + r)f

 

V(r,t)= Z Riil + r)'-'' + £ ,, (Ю.5)

i,ti<t     iVi>t (1 + r)'

где R,R2, ...,R„ в моменты t, t2, ...,t„ - ожидаемый поток платежей от портфеля.

Таким образом:

V(r,t) = Rt(r) + Pt(r);

vCr,i) = Rl(r) + Pt(r),

где R£r) и Rfcr ) - результат реинвестирования к моменту t доходов от портфеля под ставку /- или г соответственно; Р£г) иР^7)- планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент /.

V(r, і) и V(r, і) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда

V{r, 0 = V(r)(l + /•)'; V(r,t) = V(rXl + 7y.

где V{r) = V — цена покупки портфеля, V(r)- оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой процентной ставке сразу после t = 0.

10.6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля

Пусть Dp = Dp(r) - дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковая процентная ставка для всех сроков одинакова и равна г. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = Dp, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.

V(r,Dp)>V(r,Dp)

(10.6)

для любых значений F. Это следует из того, что портфель n(VltV2,...,Vm) эквивалентен одной облигации без кредитного риска,

поэтому иммунизирующее свойство дюрации облигации переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

Принцип формирования иммунизированного портфеля состоит в том, что для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом Т лет, необходимо решить систему:

m

Z XjDj = T,

m

(10.7)

Y.Xj =1,

 

xj>0, /=1,2,m. Если срок портфеля /"удовлетворяет неравенству

min{Oy} <Т< max{Dj},

то по свойству 3 дюрации портфеля система (9.7) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (9.7). совпадает с его инвестиционным горизонтом, DP=T и по формуле (9.6)

V{r,T)>V(r,T). 10.7. Варианты заданий

1. Имеются облигации трех видов с данными, приведенными в табл. 10.1.

Построить поток платежей от портфеля П(^,^,^).где ^-затраты на приобретение облигаций вида Bj,j = 1,2,3. Найти дюрацию и показатель выпуклости портфеля с параметрами Vl = V2=Vi^ 2000 (рыночную процентную ставку определить из условия задачи).

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.2.

124

Лабораторная работа № W

2. Дюрации пяти видов облигаций соответственно равны: 3; 3,5; 3,75; 4,2; 4.5 года, а их показатели вьглуклости - 10, 12. 15, 20 и 25 годам. Сформировать портфель из этих облигаций с дюрацией, равной 4 годам и наименьшим показателем выпуклости, если доли облигаций х} < 0,2, *і Ї 0,2, х3 > 0,2. Для полученного значения показателя выпуклости портфеля оценить относительное изменение цены портфеля при изменении рыночной процентной ставки с 9 до 8\% годовых.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.3.

3. Портфель составлен из облигаций трех видов. Купонные платежи гш облигациям производятся раз в год. Данные приведены в твбл. 10.4.

Определить средневзвешенную доходность портфеля ГТ(^,^2,^) для V — V2- F3 = 100000 стоимостью 300 тыс. д.е. и внутреннюю ставку доходности.

Решить аналогичную задачу, взяв данные ич тебл. 10.5.

4. Инвестор через два года должен осуществить за счет своего портфеля платеж I млн д.е. Инвестор рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов А1 и А2. параметры которых приведены в табл. 10.6.

Процентные ставки на рынке одинаковы для всех сроков и составляют 10 \% годовых. Считая, что сразу после формирования портфеля процентные ставки поднялись до 11 \% сформировать иммунизированный портфель, позволяющий инвестору через два года выполнить его обязательство.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.7.

5. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8\% годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций, параметры которых приведены в табл. 10.8.

Инвестор формирует портфель облигаций стоимостью 1000 д.е. с инвестиционным горизонтом 3 года. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9\% годовых сразу после формирования портфеля, 8 \% годовых — непосредственно после момента t = 1.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.9.

б. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10\% годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций со следующими параметрами, указанными в табл. 10.10.

Инвестор, располагая суммой 10 050 д.е.. желает сформировать портфель из указанных облигаций на 3 года. При покупке и продаже облигаций берутся комиссионные в размере 0.5 \%. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9\% годовых сразу после формирования портфеля, 8 \% годовых - непосредственно после момента / = 1.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.11.

7. Через 1,2 и 3 года инвестору предстоят выплаты соответственно в размерах 400, 600 и 1000 д.е. На рынке имеются облигации А1 и А2 со следующими параметрами (см. таблицу 10.12):

Таблица 10 12

Рыночная ставка для всех сроков равна 5\% годовых. Сформировать портфель наименьшей стоимости, позволяющий инвестору:

выполнить его обязательства;

выполнить его обязательства при условии, что часть платежа, поступающего от портфеля, используется для выполнения обязательства через год.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.13.

Подпись: ного долга была произведена сле-,4 млрд д.е., который должен быть

8. Реструктуризация государствен] дующим образом. Долг в сумме D = 1 выплачен 1 января 1995 года, преобразован в облигации, выпущенные под гарантии правительства. По этим облигациям государство начиная с 1 января 1995 года до 2007 года дважды в год выплачивает равные суммы. Для реструктуризации долга использовалась ставка (сложная) i" = 3 \% годовых. Какова сумма отдельного погасительного платежа?

Решить   аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.14.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |