Имя материала: Математическая экономика

Автор: Мицель Артур Александрович

Лабораторная работа № 2 наращение и дисконтирование

Наращение простых процентов

Основные термины - единичный промежуток начисления и ставка процента. Ставку процента обозначаем за і. Фиксируем какую-нибудь сумму Р0. При наращении простых процентов по ставке і каждая следующая сумма больше предыдущей на долю і от начальной суммы Рф т.е. на iP0. К концу единичного промежутка начисления сумма Р0 возрастет на iP0 и станет £, = Р0 +iP0 - Р0(1 + /), к концу 2-го промежутка начисления эта сумма возрастет еще на iP0 и станет S2=Pl+iP0 = 7q(1 + 2/) и т.д. К концу и-го промежутка начисления наращенная сумма станет S„=P0(l + n-i). Таким образом, последовательность наращенных сумм P0,Sl,S2,...,Sn есть арифметическая прогрессия с начальным членом Р0 и разностью і Pq. Величина (1 + п-і) называется множителем наращения по простым процентам, а 5„ = Р0(1 + п ■ і) - наращенной суммой по схеме простых процентов.

Наращение сложных процентов

При наращении сложных процентов по ставке і каждая следующая сумма возрастает на долю / от предыдущей. Таким образом, к концу единичного промежутка начисления сумма Р0 возрастет на долю і и станет 5, =Р0 +іР = Р0(1 + ї), к концу 2-го промежутка начисления эта сумма возрастет еще на долю і от Pi и станет S2-Px + iPl = Р0 (1 + і) + іР0 (1 + і) = Р0 (1 + і)2 и т.д. К концу и-го промежутка начисления наращенная сумма станет Sn =Р0(1 + і)". Таким образом, последовательность наращенных сумм P0>Sl,S2,...,Sn есть геометрическая прогрессия с начальным членом Р0 и знаменателем прогрессии (1 + і). Множитель (1 + if называется множителем наращения по схеме сложных процентов, а величина S„ - Р0(1 + Ї)" называется наращенной суммой сложных процентов.

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. На практике часто при объявлении условий финансовой операции оговаривается годовая ставка процентов и указывается количество выплат процентов в год (например, может быть ежеквартальное начисление - четыре раза в год). В этом случае используют понятие номинальной ставки, обозначим ее символом j. Пусть количество выплат процентов в год равно т. Тогда начисление процентов осуществляется по ставке j / т, а общее количество интервалов выплат за и лет будет равно т • п. Наращенная сумма определяется по формуле

S = P0(l + ^-)m". т

Таким образом, номинальная ставка - это годовая ставка процентов при начислении процентов т раз в год.

Эффективная ставка — это годовая ставка процентов, начисляемых один раз в год, которая дает тот же финансовый результат, что и /и-ра-зовое начисление в год с использованием номинальной ставки j. Таким образом, по определению, должно выполняться равенство множителей наращения

а+о=а+—г,

т

где / -эффективная ставка. Отсюда получаем

/ = (1+^-)т-1. т

Замена в договоре номинальной ставки j при начислении процентов т раз в год на эффективную ставку по формуле не меняет финансовых обязательств сторон.

Дисконтирование по простой и сложной ставкам процентов

Зная сумму S, которая может быть получена через п лет при начислении процентов по годовой ставке /, определить первоначальную сумму Р.

Дня сложной ставки процентов получим

 

(1 + 0" 1

где        v = -

0 + 0"

- дисконтный множитель (множитель дисконтирования).

Если проценты начисляются m раз в год с использованием номинальной ставки j, то

Р =         -.             = S-wm",

m

где дисконтный множитель

1

wm"=-

(1+^-0"

тп

Величина Р называется современной или приведенной величиной суммы S. Дисконтирование имеет следующий экономический смысл. Платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент времени.

Разность S—Р называется дисконтом суммы S, обозначим эту величину символом D. Из предыдущих формул следует, что D = S(l-v"),

если проценты начисляются один раз в год, и D - 5(1 - wm"), если проценты начисляются m раз в год.

Для простой ставки процентов имеем

Р=-?—. (1+1-л)

Дисконтный множитель равен

1

V~ (1 + 1-Л)'

2.5. Дисконтирование и наращение по учетной ставке

Сформулируем задачу банковского дисконтирования. По заданной сумме S, которая будет выплачена через п периодов, требуется определить сумму займа Р в настоящий момент, при котором проценты за пользование ссудой выплачиваются заранее, в момент предоставления денег в долг t = 0. Для начисления и удержания процентов применяется учетная ставка d.

1) Простая ставка дисконтирования d.

Имеем: t = n — момент погашения суммы S„. Современная величина суммы S„ при банковском учете по простой ставке d равна

P0 = S„{-dn).

Это выражение означает, что в обмен на выплату суммы S„ через время и кредитор даст взаймы сумму S„(l-d-n) в начале этого срока. Формула справедлива, если срок долга п и учетная ставка d удовлетворяют условию п • d< 1. Дисконтирование по простой учетной ставке применяют, как правило, в случае краткосрочных сделок, когда 0 < л <1 . Наращенная сумма равна

^0

S =-

(l-dn)

2) Дисконтирование по сложной учетной ставке дает следующее выражение для современной величины:

P0 = S„(1-</)".

Выражение для наращенной величины S„ имеет вид

S = р°

" (1-е/)"'

При начислении процентов m раз в год по годовой ставке g формулы для современной величины и наращенной суммы приобретают вид

^=«,,0--)"". S„=—^         .

ТУХ       ^|            & yim

m

Влияние инфляции на ставку процента

Говорят, что инфляция (или темп инфляции) составляет долю а в год, если один и тот же набор товаров стоит в конце года в (1 + а) раз больше, чем в начале этого года. Можно также сказать, что в (1 + а) раз уменьшилась покупательная способность одной денежной единицы.

Ясно, что инфляция уменьшает реальную ставку процента. Это бу-| дет уже ставка процента с учетом инфляции. Действительно, одна де-і нежная единица возрастает за год в (1 + і) раз из-за наращения процентов, но ее покупательная способность уменьшается в (1+а) раз из-за инфляции. Таким образом, ее реальная ценность - покупательная способность - станет (1 +      + а), а годовая реальная ставка есть

1 + 1   , 1-а

г              1 =          .

1+а 1+а

Видно, что при малой инфляции (когда а мало) реальная процентная ставка меньше номинальной приблизительно на величину инфляции. Для того чтобы номинальная ставка і обеспечивала наращение реальной ценности денежных сумм на долю г в год при годовой инфляции а, темп инфляции должен удовлетворять уравнению: (і - а)/(1 + а) = г, откуда і = а + #-(1 + а).

Варианты заданий

1. В банк помещен депозит в размере А = 5 ООО руб. По этому депозиту в первом году будет начислено і = 10\%, во втором - h = 12\%, в треть-1 ем - із = 15\%, в четвертом и пятом - ц = і5 = 16\% годовых. Сколько будет | на счету в конце пятого года? Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке і = 13\%, чтобы обеспечить ту же сумму. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.1.

2. У вас просят в долг Р = 10 ООО руб. и обещают возвращать по А = 2000 руб. в течение N = 6 лет. У вас есть другой способ использования этих денег: положить их в банк под 7\% годовых и каждый год снимать по А = 2000 руб. Какая финансовая операция будет более выгодна для вас? Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.2.

3. У вас есть возможность проинвестировать проект стоимостью А = = 10 000 руб. Через год будет возвращено Р = 2000 руб., через два года - Рг = 4000 руб., через три года - Рз = 7000 руб. Альтернативный вариант - положить деньги в банк под і процентов годовых. При какой годовой процентной ставке выгоднее вложить деньги в инвестиционный проект? Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.3.

4. При какой ставке сложных процентов за 9 лет сумма увеличится в к раз, если к = 2?

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.4.

5. В день рождения внука бабушка положила в банк сумму А = $1000 под 3\% годовых. Какой будет сумма к семнадцатилетию внука? Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.5.

6. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции а = 12\% реальная ставка оказалась равной 6\%? Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.6.

7. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000д.е. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: тому, кому будут платить, или тому, кто будет платить?

8. На вклад начисляются сложные проценты 8 \% годовых. Проценты за 6-й год вклада (Nx = 6) составили /б= 117,546 д.е. Какова величина процентов за 3-й (N2=3) и 8-й (7Уз= 8) годы вклада? Какова сумма вклада к концу 8-го года?

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.7.

9. Сравнить темпы наращения суммы долга по простым процентным ставкам / и d, полагая их равными. Результат сравнения показать на рисунке в виде кривых наращения. Покажите на рисунке величину дохода кредитора, считая заданным срок долга. Для каждой из процентных ставок і і/і d сделать расчеты суммы погашаемого долга в следующей кредитной операции: ссуда в А = 10 тыс. д.е. выдана под ставку / = 12\% годовых с ежемесячным начислением простых процентов. Срок долга Ni = 0,5 года, N2 = 1 год, N3 = 1,5 года. Сравнить для ставок іи d доход кредитора за каждый месяц и весь срок долга. Соответствуют ли результаты расчетов построенным кривым? Какой можно сделать вывод?

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.8.

10. Используя выкладки из предыдущей задачи, сравнить скорости дисконтирования по простым ставкам / и d. Нарисовать дисконтные кривые. На рисунке показать величину дисконта, считая заданным срок долга. Сравнить результаты учета векселя с суммой гашения N=300 тыс. д.е. методами математического и банковского дисконтирования простыми процентами под / = 6\% годовых за Nj = 3 месяца до погашения. Каков ежемесячный доход кредитора в каждом случае и доход за весь срок? На какую сумму был бы учтен вексель каждым из методов за N2 = 0,5 года и N3 = 9 месяцев до погашения? Соответствуют ли результаты расчетов построенным кривым?

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 2.9.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |