Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

3.5. первообразная и неопределенный интеграл

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция Дх), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка X, то это также некоторая функция Дх) на X, такая, что Дх) = F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция Дх), требуется найти функцию Дх) такую, что F'(x) = Дх) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение. Дифференцируемая функция Дх), определенная на некотором промежутке X, называется первообразной для функции Дх), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F(x) = Дх), или, что то же самое dF(x) = fix)dx.

Пример 4. Найти какую-либо первообразную для функции Дх) = = Зх2. Функция Дх) = Xі является первообразной для Дх) = Зх2, так как F(x) — (х3)'= Зх2 =Дх). Нетрудно заметить, что первообразная x3 не является единственной для функции Зх2. В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х3+5, х3-2 и вообще x3 + С, где С - произвольная постоянная, потому что (х3 + + Q '= Зх2. Приводим формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции Дх), определенных на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралом от функции Дх) на этом промежутке и обозначается символом j fix)dx (читается: "интеграл от эф от икс де икс"). Если F(x) является первообразной для функции Дх) на промежутке X, то согласно этому определению имеем jj[x)dx = F(x)+ С.

Определение. Функция Дх) называется подынтегральной функцией, Дх)ах - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, символ J - знаком неопределенного интеграла, С -постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции Дх) на некотором промежутке X, т.е. F(x) = Дх). Тогда по определению f Дх)ох = fx) + С. Непосредственно из равенств (1) и (5) следуют свойства:

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем: (|Дх)Лс)' = (F(x)+Q' = F(x) = Дх).

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. Имеем: d( J[x)dx) = (/ J[x)dx)'dx=jx)dx.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. Имеем: dF(x) - F(x)dx -jx)dx = F(x)+C. Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а = const ф 0, то J аДх)ох = a J J{x)dx.

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е. J (/(x)±g(x))dx = / J[x)dx ± g{x)dx.

ПРИЛОЖЕНИЕ Вспомогательные сведения

1.         Определение предела функции

Пусть функция у = Дх) определена в некоторой окрестности точки х0, быть может, за исключением самой точки х0.

Определение. Число А называется пределом функции Дх) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого є > 0 существует такое 5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условиям |х - xj < 5, х ф х0, имеет место неравенство |Дх) - А\< г.

Если А есть предел функции Дх) при х, стремящемся к Хц, то пишут ІітДх) = А или Дх) ~» А при х —> х0.

Приведем основные свойства пределов:

Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

Предел суммы (разности, произведения) равен сумме (разности, произведению) пределов.

2.         Определение непрерывности функции

Определение. Функция Дх) называется непрерывной в точке х =х0, если она определена в некоторой окрестности точки х0 (следовательно, и в самой точке х0), существует предел функции при х ~» х0 и он равен значению функции в этой точке:

 

1ітДх)=Дх/

 

Другими словами, функция Дх) непрерывна в точке х = х0, если для любого є > 0 существует такое 6 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условиям |х - xj < 5, имеет место неравенство |Дх) - Дх0)| < є.

Определение. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Вопросы к главе 3

Какие экономические задачи решаются с применением методов дифференциального исчисления?

Что представляет собой предельный анализ в экономике?

Для решения каких экономических задач недостаточно применения средних величин, а необходимо применение предельных?

Каков алгоритм нахождения производной произвольной функции?

Что такое дифференциал функции и в каких экономических задачах он используется?

Что такое определенный интеграл функции и в каких экономических задачах он используется?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |