Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

4.1. возрастание и убывание функций.

Признаки возрастания и убывания функции

Рассмотрим вначале самый простой случай - постоянную (на некотором интервале) функцию. Из постоянства функции вытекает равенство нулю ее производной. В этом случае говорят, что равенство нулю производной на некотором интервале есть необходимое условие постоянства функции на этом интервале. Можно легко доказать, что и, наоборот, из равенства нулю производной функции на некотором интервале следует ее постоянство на этом интервале. В этом случае говорят, что постоянство функции на некотором интервале есть достаточное условие равенства нулю производной этой функции на том же интервале.

Перейдем теперь к рассмотрению возрастающих и убывающих функций. Их определения были даны в главе 3. Поэтому мы лишь сформулируем необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций на некотором интервале.

Необходимое условие возрастания функции. Если дифференцируемая функция у=Дх), х є (a;b), возрастает на интервале (а;Ь), то /(*„) > 0 для любого х0 є (a;b).

Из определения возрастающей функции имеем: для любых х0 є (a;b), х є (a;b) из x > x0 следует, чтоДх) > Дх0), аизх<х0следует, чтоДдс) <Дх0).

В обоих случаях

 

о

А*)-/(*о)

х-х.

т.е.Дхо)>0.

Необходимое условие убывания функции. Если дифференцируемая функция у=Дх), х є (a), убывает на интервале (а;Ь), то Дх0)<0 для любого х0 є (a;b).

Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Достаточные признаки монотонности функции вытекают из следующих двух утверждений, которые мы приводим без доказательства.

Достаточное условие возрастания функции. Если функция, у^Дх), х є (a,b), имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;Ь), то эта функция возрастает на интервале (а;Ь).

Достаточное условие убывания функции. Если функция у=Лх), х є (a), имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;Ь), то эта функция убывает на интервале (а;Ь).

Проиллюстрируем эти условия на рис. 4.1а, на котором приведена функция, возрастающая в интервалах -оо < х < х7 и х4 < х < +оо и убывающая в интервале х2 < х < х4.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |