Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

4.3. выпуклость графика функции.

Точки перегиба 4.3.1. Выпуклость графика функции

При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких - выпуклостью вниз. Прежде всего ныясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную.

Определение. График функции у = Дх), х є (a;b) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (а; 6), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной (см.рис.4.5). Сама функция Дх) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз).

Определение. График функции у = Дх), х є (a;b) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (а;Ь), если он расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной (см.рис.4.6). Сама функция Дх) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает. В самом деле, из рис. 4.5 видно, что с возрастанием аргумента х величина угла а, образованного касательной с положительным направлением оси Ох, убывает, принимая значения

3 О. О. Замков

эг эг

между -j и --j. При этом tgoc = /(х) также убывает, принимая

значения между +оо и -да.

Из рис. 4.6 аналогичным образом заключаем, что на интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная Дх) возрастает. Можно показать, что имеют место и обратные утверждения.

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (а;Ь) дважды дифференцируемая функция у = Дх), х є (a;b) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции является выпуклым вверх (вниз).

Допустим для определенности, что/"(х) < 0 для всех х є (a;b). Рассмотрим производную Дх) как функцию от х, а/'(х) - как ее первую производную. Тогда функция Дх) убывает на интервале (аЬ), а следовательно, по отмеченному выше график функции у = Дх) на этом интервале является выпуклым вверх. Аналогично, если Д(х) > 0 для всех х є (a), то график функции у = Дх) на интервале (а;Ь) является выпуклым вниз.

Исследовать на выпуклость график функции у = Дх) означает найти те интервалы из области ее определения, в которых вторая производная fx) сохраняет свой знак. Заметим, что /'(х) может менять свой знак лишь в точках, где Д(х)=0 или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

Пример 8. Исследовать на выпуклость график функции Дх)= х3 -Зх2 + 2х + 1. Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим критические точки второго рода/(х) = Зх2 - 6х + 2,/'(х) = 6х - 6, 6х - 6 = 0, т.е. х = 1. Итак, х = 1 - критическая точка второго рода. Методом пообных точек определяем знак/'(х) в каждом из

интервалов (-оо,1) и (1,+<ю). Так, прих = 0 є (-оо,1) имеем,/'(0) = -6 < 0, а при х = 2 є (1,+оо) имеем/'(2) = 6 > 0, итак, в точке х = I производная/*'(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на интервале (-оо,1) график данной функции обращен выпуклостью вверх, а на интервале (1,+оо) - выпуклостью вниз. (см. рис. 4.7).

4.3.2. Точки перегиба

Определение. Точка графика непрерывной функции Дх), в которой существует касательная и при переходе через которую график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба. Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше графика, а с другой - ниже, т.е. в точке перегиба касательная пересекает кривую (см. рис. 4.8).

 

У

 

х^

 

Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция у = Дх) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале {а;Ь) и точка (х0, Дх0)), где х0 є (a;b), является точкой перегиба графика функции Дх), то /'(х0) = 0.

Так как точка (х0>Дх)) является точкой перегиба, то слева и справа от х0 функция / (х) имеет разные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем /"(х0) = 0.

Достаточное условие существования точки перегиба. Если функция у = Дх), х є (a;b) дважды дифференцируема на интервале (а;Ь) и при переходе х через х0 є (a;b) вторая производная/'(х) меняет знак, то точка (х0, Дх0)) графика функции у = Дх)" с абсциссой х = х0 является точкой перегиба.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |