Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

4.4. асимптоты кривой

Определение. Прямая, имеющая уравнение у = kx + Ь, называется наклонной асимптотой графика функции у = Дх) при х -»е»,

если Иш(Дх) - kx - b) = 0. Отсюда к = lim^, b = 1іш(Дх) - Ах).

Имеет место и обратное: из последних соотношений следует, что прямая у=кх+Ь является наклонной асимптотой графика функции у = Дх). По выведенным формулам вычисляются угловой коэффициент к и начальная ордината b двух асимптот у = kx + b отдельно при х -»-и» и при х -» -оо. Очевидно, что если к = 0, то уравнение асимптоты примет вид у = Ь.

Определение. Асимптота, определяемая уравнением у = Ь, называется горизонтальной асимптотой.

Определение. Прямая, имеющая уравнение х= а, называется вертикальной асимптотой, если ИтДх) = °°.

Для определения вертикальных асимптот следует отыскать те значения х, вблизи которых функция Дх) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода данной функции.

Xі + 1

Пример 9. Найти асимптоты графика функции Дх) =    _ 2 • хг + 1

Так как lim     — = ±оо, то прямая х = 2 является вертикальной

j-2 х - 2 асимптотой. Находим

..  Пх)    ..   х2 + 1 k=hmJ±J. = Ьт—— = 1,

b = Ит(дх) - kx) = limjf—Li - x = lim^-Ll =2

_c-.cn  jr-.cn І   X   -   і.          І           *—<"  X   — L

Итак, прямая, имеющая уравнение у = х + 2, является наклонной асимптотой графика данной функции при х -» ±оо. Таким образом, фафик данной функции имеет вертикальную асимптоту, имеющую уравнение х = 2, и наклонную асимптоту, имеющую уравнение у = х + 2 (см. рис. 4.9).

Общая схема исследования функций и построения графиков

С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика:

найти область определения функции;

исследовать функцию на четность и нечетность;

исследовать функцию на периодичность

исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;

найти критические точки первого рода;

найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

найти критические точки второго рода;

найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

найти асимптоты графика функции;

 

найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);

построить фафик функции.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |