Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

5.1. эластичность функции и ее геометрический смысл

Пусть величина у зависит от х, и эта зависимость описывается функцией у=Ях). Изменение независимой переменной х (Дх) приводит в силу функциональной зависимости к изменению переменной у (Ау). Встает вопрос, как измерить чувствительность зависимой переменной у к изменению х. Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой служит производная

у = иш^:

характеризующая скорость изменения функции с изменением аргумента х. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что он зависит от выбора единиц измерения.

Например, если мы рассмотрим функцию спроса на сахар (Q) от его цены (Р), то увидим, что значение производной при каждой цене Р (измеряемой в рублях)

Q =Um^

зависит от того, измеряется ли спрос на сахар в килограммах или в центнерах. В первом случае производная измеряется в кг/руб., во втором - в ц/руб., соответственно ее значение при одном и том же значении цены будет различным в зависимости от единиц измерения величины спроса. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных хну (Дх и Ау), а их относительных или процентных изменений.

Эластичностью функции y=f[x) называется предел отношения относительных изменений переменных у и X.

Если эластичность изменения переменной у при изменении переменной л: обозначить Е(у), то, используя определение производной, получаем

х У

х _ fix) _ fix) ш Mf У      У      fix)     Af .

X X

где Mf - маржинальное значение функции /в точке х (см. ниже гл. 6), Af - среднее значение функции в точке х. Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.

Т.е. эластичность может быть выражена в виде отношения предельной (Mf) и средней (Af) величин.

Подпись: вить в форме "логарифмической производной" Е (у)т          л          dy       л °х

Так как diny = — a dinx — —, У х

то эластичность можно предста-dlny

d x

Геометрическая интерпретация эластичности.

Подобно производной, эластичность имеет простую геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим убывающую вогнутую функцию y=j(x) (рис. 5.1)

 

Найдем эластичность этой функции в произвольной точке С с координатами (х,у). Для этого проведем касательную АВ к функции у = f[x) в точке С.

СХ

ИзААСХ  АХ= — .

tga

Т.к. производная функции у = Дх) в точке С равна tg(180 - а), то tga = -f(x).

Следовательно, АХ= _       = " yr^j.

Из подобия треугольников СВУн САХследует, что

С А     АХ ' АХ    '  Дх) '

св

Таким образом, Е (у) = - .

х LA

т.е. геометрически эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной отточки Сс координатами (х, Дх)) до ее пересечения с осями У и X, взятому, соответственно, со знаком "-".

В случае выпуклой и вогнутой возрастающих функций (рис. 5.2 и рис. 5.3) эластичность по абсолютной величине также будет равна СВ

отношению — , а знак эластичности будет определяться направле-

ниєм отрезков СВ и СА. Если точки А и Z? лежат по одну сторону от точки С на касательной, как на рисунках 5.2, 5.3, то в формуле надо выбрать знак "+". Если А и Z? лежат по разные стороны, от т. С, как на первом рисунке, то в формуле надо выбрать знак "-" (доказательство для двух последних рисунков вы можете провести самостоятельно).

Отметим также, что эластичность функции, изображенной на рис. 5.2, больше единицы (так как СВ > СА), а на рис. 5.3 - меньше единицы (так как СВ < СА).

Дискретный случай.

В дискретном случае, а также при приближенном определении

эластичности по дискретному набору данных, определение эластич-

ности уже не столь однозначно, как в непрерывном случае, пос-

кольку в относительном изменении 6х = — = —       не ясно, что

XX

брать в качестве х. первоначальное значение (х = xf), конечное зна-

х  +■ X

чение (х = х2) или среднее значение х =     — .

В зависимости от этого выбора различают: конечную (процентную) эластичность

/

среднюю (дуговую) эластичность

2(У2 - У,)

I

2(х2 - х{)

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при небольших относительных (процентных) изменениях величин хну.

Отметим, что для всех эластичностей используется один и тот же символ Ех{у), ибо из контекста бывает ясно, о какой эластичности идёт речь.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |