Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

6.3. соотношения между суммарными, средними и маржинальными (предельными) величинами.

Задачи нахождения по одной из этих величин двух других. Формальный и графический анализ

Нахождение средней величины по суммарной. Формальный и графический анализ. Формально, эта задача решается с помощью опре-

F(x)

деления средней величины: AF(x) = ——; например, если tx) = ах -

fox3, то AF(x) = ^   ^х = а - Ьх-. Для графического решения этой

задачи (когда суммарная величина задана в виде графика) необходимо провести вектор, соединяющий начало координат с точкой графика функции, имеющей координаты (x,F(x)).

Тангенс угла наклона этого вектора, равный отношению противолежащего (углу Р) катета прямоугольного треугольника F(x) к Fix)

прилежащему г. tgp = ——, будет (по определению) численно равен

средней величине АГх) = tgp(x) при любом значении независимой переменной х, отличном от нуля.

 

У

Геометрическая интерпретация изменения средней величины. При изменении независимой переменной х угол наклона вектора b также изменяется. Увеличение этого угла с увеличением х свидетельствует о возрастании средней величины, а уменьшение - об убывании. В частности, для приведённого на рис. 6.2 графика средняя величина убывает, и её график изображен на рис. 6.3.

Нахождение суммарной величины по средней (обратная задача). Формально обратная задача решается так же, как и прямая, с помощью определения, из которого находим Дх) = х AF[x) (см.рис.З).

Если средняя величина задана в виде графика, представленного на рис. 6.4, то суммарную величину при данном значении независимой переменной х можно определить как площадь прямоугольника с вершинами в начале координат и точке графика средней величины, имеющей координаты (х, АДх)), и сторонами х и АГх). Определяя характер изменения площади, мы можем построить график суммарной величины. Однако, на практике, при качественном построении графиков, удобнее применить "метод подбора", т.е. подобрать такую функцию Fx), чтобы наклон прямой, соединяющей точки ее графика с началом координат, изменялся в соответствии с заданным характером изменения средней величины AF(x).

Нахождение маржинальной (предельной) величины по суммарной (для непрерывного случая). Формальный и графический анализ. Формально эта задача решается с помощью определения предельной величины MF(x) = F(x); например, если Дх) = ах -Ьх1, то MF(x) = (ах -Ьх}),= а - ЗЬх2. Для графического решения этой задачи (когда суммарная величина задана в виде графика) необходимо через точку графика суммарной величины, имеющую координаты (x,F(x)), провести касательную к графику. Тангенс угла наклона касательной к графику суммарной величины в произвольной точке х согласно геометрической интерпретации производной будет численно равен производной суммарной величины, а следовательно, являться предельной величиной MF(x) = F(x) = tgaK.icaTOibi)oh(x) (см. рис. 6.5).

Геометрическая интерпретация изменения маржинальной (предельной) величины. При изменении независимой переменной х угол наклона касательной б также изменяется. Увеличение этого угла с увеличением х свидетельствует о возрастании предельной величины, а уменьшение - об убывании. В частности, для приведённого ниже графика суммарной величины предельная величина убывает, и её фафик имеет вид:

 

 

і MF(x)

 

? х

Нахождение суммарной величины по маржинальной (предельной) (обратная задача). Формально обратная задача означает нахождение функции F(x), производная которой F(x) = MF(x) известна. Для решения этой задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. Функция F(x) называется первообразной для функции MF(x) и находится с помощью неопределенно-

Ьхг

го интеграла F{x) = MF(x)dx. Например, если МХ{х) = а - —, то

F(x) = ^MF(x)dx = J а ^х dx = ах - bx^ + С, где С - произвольная постоянная. Здесь мы воспользовались известной формулой интег-

рирования степенной функции xadx =                 + С (ос# -1). В боль-

J           а + 1

шинстве практических задач применение операции интегрирования часто можно заменить применением "метода подбора" - т.е. подобрать такую функцию F(x), что ее производная будет равна данной в задаче функции MF(x). Этот прием особенно удобно применять для степенных функций и многочленов, когда операция дифференцирования вызывает понижение степени на единицу, а операция интегрирования - повышение степени на единицу.

Если предельная величина задана в виде графика, то, согласно геометрической интерпретации неопределенного интеграла, площадь под графиком функции предельной величины в диапазоне изменения независимой переменной от нуля до х будет равна суммарной величине минус некоторая постоянная Сили F(x) = S(x) + С.

Если при х -» 0 площадь S(x) -* О, то константу можно найти как значение суммарной величины при х = 0. Например, при нахождении суммарного дохода R(Q) = pQ, чаще всего Л(0) = 0 и С = 0; при нахождении суммарных издержек C(Q) постоянная С= С(0) имеет смысл фиксированных (постоянных) издержек.

Соотношения между средними (AF) и маржинальными (предельными) (MF) величинами. Задача нахождения по одной из этих величин другой может быть сведена к одной из предыдущих задач, если, предварительно, мы найдём суммарную величину. Например, если дана средняя величина AF(x), то суммарная величина Fix) = х Ahx), а предельная MF(x) = F(x) = (х AF(x))' = AF(x) + х AF'(x). Аналогично, можно выразить среднюю величину через суммарную AF(x)

— і. J MF(x)dx. Первое из этих соотношений, а именно соотношение

MF{x) = AF{x) + х AF'(x), имеет простую интерпретацию. В точке экстремума функции AF(x) ее производная AFx) = 0, и, следовательно, предельная величина совпадает со средней в точке экстремума последней. Предположим, что независимая переменная может принимать только положительные значения (х > 0), тогда:

а) в области возрастания функции Ahx) её производная AF'(x) > 0, и MF(x) > AF(x) (предельная величина больше средней); б) в области убывания функции AF(x) её производная AFx) < 0 и MF(x) < AF(x) (предельная величина меньше средней). Таким образом, график предельной величины лежит выше графика средней величины в области возрастания последнего, ниже - в области убывания, и проходит через точку экстремума графика средней величины.

Примеры соотношения между графиками средних и предельных издержек (АС и MQ, а также между графиками среднего и предельного продуктов труда (APL и MPL), приведены ниже.

Дискретный случай. Если независимая переменная х может принимать только дискретные значения (например, объём выпуска автомобилей фирмой, количество нанимаемых ею рабочих и т.д.), то все полученные выше соотношения сохраняют свой вид при следующих условиях: а) производная функция F'(x) заменяется на отно-

шение —; б) интеграл jMF(x)dx заменяется на конечную сумму HMF(x); в) касательная к графику функции F(x) заменяется на

х

прямую линию, проходящую через две точки с координатами (х, Дх)) и (х+Дх, Дх+Дх)).

Соотношение между средними и предельными величинами в дискретном случае имеет простую интерпретацию. Представим себе уче-ника-"хорошиста", который получает одни четвёрки. Каждую последующую оценку можно интерпретировать как предельную оценку, а средний балл - как среднюю оценку. Если этот ученик решит стать "отличником" и будет получать в дальнейшем одни пятёрки (предельная оценка выше средней), то его средняя оценка будет постепенно повышаться. Если ученик, наоборот, разленится и превратится в "троечника", начав получать Одни тройки (предельная оценка станет меньше средней), то его средняя оценка будет понижаться.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |