Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

6.4. функции суммарного, среднего и предельного дохода и издержек

В качестве примера применения соотношений между предельными, средними и суммарными величинами рассмотрим экономические показатели, характеризующие работу фирмы: Q - объем выпуска, р - цена, Л = p(Q)і Q - доход (выручка), С - издержки, П = R - С - прибыль - для двух типов рыночной структуры: совершенной конкуренции и монополии.

Совершенная конкуренция. В этом случае цена на продукцию фирмы не зависит от объёма производства данной фирмы, а определяется рынком и постоянна. Ценаp(Q) = р и, следовательно, R(q) = pQ. Доход является линейной функцией объёма выпуска. Для типичной функции издержек (растущих быстрее чем доход при малых объёмах выпуска) графики дохода, издержек и прибыли показаны на рис. 10.

По ним можно построить графики средних и предельных величин. Так как MR = (pQ)' = р = Щ =AR, то графики среднего и

предельного дохода имеют вид прямой, параллельной оси Q. График средних издержек совпадает с графиком среднего дохода при

4 О. О. Замков

Рис. 6.10

Рис. 6.11

объёмах выпуска Q2 и QA (так как в этих точках значения функций C(Q) и R(Q) совпадают), лежит выше него при Q < (?, и Q > Q(из

С(Q) > R(Q)

 

Q

AC{Q) = ^>m)

Q

MC(Q)) и ниже - при Q < Q

< Q4. В точке, лежащей чуть ниже Qv средние издержки минимальны. Эту точку можно найти, проводя из начала координат прямую, касающуюся графика C(Q). График предельных издержек можно построить, анализируя изменение наклона касательной к графику C(Q). В точках Q и (?3 касательная к графику C(Q) параллельна графику дохода R(Q). Следовательно, в этих точках предельные издержки совпадают с предельным доходом и имеет место минимум прибыли (максимум убытков) в точке и максимум прибыли в точке Q3 (ГГ = R' - С- MR - МС= 0, ибо, как видно из рис. 6.10, прибыль положительна при объёме выпуска Q2 < Q < (?4 и отрицательна при Q < Q и Q > Q4). Величину прибыли при оптимальном объёме выпуска (Q3) можно найти как площадь заштрихованного прямоугольника по графикам средних издержек и среднего дохода. (Вершины прямоугольника находятся в точках с координатами: (((?,, />М<23, ЛС(<23)), (0, ЛС((2з)), (0,/>).)

Монополия. В случае монополии фирма сама выбирает цену, исходя из кривой спроса p(Q) на её продукцию. Поскольку p(Q) -убывающая функция, р (Q)<0. При той же функции издержек, что и в предыдущем случае, графики суммарных, средних и предельных показателей показаны на рис. 6.12, 6.13. При этом графики суммарных, средних и предельных издержек имеют тот же вид, что и предыдущем случае.

График среднего дохода AR = ^ = p(Q) совпадает с графиком функции спроса и пересекает график средних издержек в точках Q2 и Q4 (где R(Q) = C(Q)). График предельного дохода лежит

ниже графика среднего дохода при любых объёмах выпуска, так как MR = R'(Q) = (p(Q) Q)' = p(Q) + Qp(Q) = AR + Qp'(Q) < AR, (поскольку p'(Q) < 0), и пересекает фафик предельных издержек в точках б, и Qy в которых касательные к графикам дохода и издержек имеют одинаковый наклон. При этих объёмах выпуска прибыль, как и в предыдущем случае, принимает минимальное и максимальное значения соответственно. Это обусловлено тем, что необходимое условие максимума прибыли по-прежнему записывается как П' = R' - С= MR - МС= 0, и в оптимальной точке предельный доход обязательно равен предельным издержкам. Аналогично предыдущему случаю, прибыль на графиках средних и предельных величин также можно определить как площадь заштрихованного прямоугольника, построенного между графиками среднего дохода и средних издержек (вершины прямоугольника находятся в точках:

(<23,/щ<23)), (QVAC(QJ), (0,лс«23)), (0,лл«23)))-

Итак, при определении оптимального объема производства фирмы, если известны ее функции суммарного дохода и издержек R(Q) и C(Q) (предполагается, что эти функции дифференцируемы), средние и предельные показатели могут быть использованы следующим образом.

Вначале находятся точки, в которых величина предельного дохода равна величине предельных издержек: MR(Q)=MC(Q). Если таких точек нет, то фирме либо невыгодно производить вообще (при R(Q)<C(Q)), либо выгодно сколь угодно наращивать объем производства (при R(Q)>C(Q)).

В найденных точках может достигаться максимум прибыли, максимум убытка, минимум прибыли, минимум убытка, либо ничего из перечисленного. Поэтому далее среди этих точек находятся те, в которых функция прибыли П((?)= R(Q)-с(Q) достигает максимума (ее производная меняет знак с плюса на минус). Это точки максимума прибыли или минимума убытка. Наконец, нужно выбрать точки (точку), где величина прибыли положительна. Признаком этого может быть превышение среднего дохода над средними издержками: AR(Q)>MR(Q). Если такая точка найдена, то она является точкой (локального) максимума прибыли фирмы.

Вопросы к главе 6

Что такое абсолютные и относительные величины в экономике? Приведите примеры.

Что такое суммарная величина? Приведите примеры суммарных величин в экономике.

Приведите примеры графического представления суммарных величин в экономике.

Дайте определение средней величины. Приведите примеры средних величин в экономике.

Приведите примеры графического представления средних величин в экономике.

Что такое предельная величина? Приведите примеры предельных величин в экономике. Каково различие в определениях средней величины в дискретном и в непрерывном случаях? Приведите практические примеры.

Приведите примеры графического представления предельных величин в экономике.

Суммарные издержки имеют вид C(Q) = 2Q- 3Q2 + Q3. Найдите средние и предельные издержки.

Пусть график суммарного дохода представляет из себя возрастающую функцию. Что Вы можете сказать о графиках предельного и среднего дохода? Какая дополнительная информация Вам потребуется?

Пусть график среднего дохода представляет из себя убывающую функцию. Что Вы можете сказать о графиках суммарного и предельного дохода? Какая дополнительная информация Вам потребуется?

П. Каково соотношение между средними и предельными издержками, если и те и другие возрастают? Достаточно ли этой информации для ответа на вопрос?

Что можно сказать о зависимости дохода предприятия от объема производства, если известно, что при любом объеме производства предельный доход совпадает со средним?

Что можно сказать о зависимости прибыли предприятия от объема производства, если известно, что при любом объеме производства, большем некоторого значения Q0, предельный доход меньше предельных издержек?

14.       Какими двумя способами Вы могли бы определить прибыль

фирмы по известным графикам предельных и средних издержек

и дохода?

15.       Как использовать суммарные, средние и предельные величины

для определения оптимального объема производства фирмы?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |