Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

Глава 7 функции нескольких переменных и их экстремумы 7.1. функции двух переменных и их множества (линии) уровня

В функции двух переменных независимых переменных две, а не одна как в случае функции одной переменной:

У ~АХ) - функция одной переменной х;

у = Дх,, *2) - функция двух переменных х, и хг

Переменные х, и х2 меняются независимо друг от друга.

Если независимых" переменных х,,...,х(1 п (штук), имеем функцию п переменных у=Дх,,...,х(1).

В экономических приложениях математики широко используются линейные и нелинейные функции двух переменных и п переменных.

Пример 1.1. Функции y=a0+aixl+a2x2, y=a0+alx,+...+aiixn - линейные функции двух и п переменных. Функции у=х,-+х, у=х,2+...+хя2, у=х,2-х22, y^cigXf'x^, у=а(/с1а>х2"< ... х/ y=min(xjbvx'2/b2), y=min(x,/ bi,xjbv...,xjbi) являются нелинейными.

График ' Г функции двух переменных определяется аналогично графику Г функции одной переменной.

Графиком функции /двух переменных х, и х2 называется множество точек (х,, х,, у) трехмерного пространства "таких, что у =Дх,, х2), т.е. множество" точек (х,, х„Лх,, х,)). Обычно в экономических приложениях х, > 0, х, > 0. График "/"функции двух переменных можно наглядно представить в виде двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Для функции трех и более переменных понятие графика Г определяется аналогично как множество точек (п + 1)-мерного пространства (х|; ... , хп, Дх,, ... , x(j)). Однако при п > 2 график Гуже не имеет наглядного геометрического представления (как это имеет место при п = 1 и п = 2) (компьютерная графика позволяет смотреть проекции).

Пример 1.2. Построим график Г функции у=х1'"х2'л при х,>0, х,>0 (эта функция представляет собой конкретный пример производственной функции Кобба-Дугласа (ПФ КД) , когда а=а2=Уг, а0=) (см. рис. 7.1).

Очевидно, при х>0, х2>0 фафик Гестъ коническая поверхность, образующие которой - лучи, выходящие из точки О, а направляющая есть линия Н (см. рис. 7.1). В вертикальной плоскости х,+х,= 1 линия Я имеет уравнение у=х['Л(1-хі)'Л.

Пример 1.3. Построить фафик Г функции у=хі\%х1'А при х,>0, х,>0 (здесь а=а2=Ул,а0=) (см. рис. 7.2).

 

У

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

Пример 1.4. Построить самостоятельно график /функции у=^,х2 при х,>0, х2>0 (здесь а=а=,а=).

В экономических приложениях широко используются понятия выпуклого множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных. Сначала приведём определение для случая, когда п=2.

Определение 1.1.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми своими точками содержит отрезок, их соединяющий (см. рис. 7.3а).

Множество, которое не является выпуклым, называется невыпуклым (см. рис. 7.36). Приведённое определение выглядит одинаково для случая двух переменных и для случая п (нескольких) переменных.

Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпуклое множество - это множество, которое не имеет вмятин и дыр. На рис. 7.3а изображено выпуклое множество, на рис. 7.36 представлено невыпуклое множество М, которое имеет одну вмятину и одну дыру.

Определение 1.2.

Функция Дх), определённая на выпуклом множестве М, называется выпуклой вниз (вогнутой вверх), если для любых двух точек х° и Xі из множества М и для любого числа t О < t < 1 справедливо HepaBeHCTBo^l-^+ttO^^^^+^x1)- Например, функцииJ[x)= =0^+0^+0^ Дх)=х,2+х22 выпуклы вниз на всём пространстве Е2.

График Г выпуклой вниз функции Дх) расположен ниже (точнее не выше) любой своей хорды (см. рис. 7.4).

 

У

|

 

|\_

(х'л*1)) т"

і

^.--П      1     /і /і    І      1    /і   / 1

і ЯР і і

iii 1

iii 1 iii 1 iii 1

0

^

 

 

«і

 

 

 

Определение 1.3.

Функция g(;c), определённая на выпуклом множестве М, называется выпуклой вверх (вогнутой вниз), если функция g(x)=-J[x), где функция J[x) выпукла вниз. Например, функции у=а^х{+агх2+аъ, y=ajcla'X2a' (0<а,+а2<1) выпуклы вверх.

Термины "выпуклый вниз" ("вогнутый вверх"), "выпуклый вверх" ("вогнутый вниз") применяются также к графикам соответствующих функций.

Для случая п>2 приведённые определения функции выпуклой вниз и выпуклой вверх переписываются с незначительными корректировками.

Множеством (чаще говорят - линией) уровня q (q - число, в экономических приложениях q>0) функции y=fxv х2) называется множество (совокупность) всех пар (х{, х2) такое, 4joJ[xr х2) - q, т.е. во всех точках (дг,, х2), принадлежащих множеству уровня q, частное значение функции у = J[xr х2) одно и то же и равно q. Множество уровня q функции у =ЛХГ х2) обозначается символом / На рис. 7.5 наглядно иллюстрируется это важное математическое понятие. Горизонтальная плоскость Р пересекается с графиком Г по плоской горизонтальной линии L , которая вся "зависает" над плоскостью Ох{х2 на высоте q. Проектируя Lq на плоскость Оххх2, получаем линию lq, которая и есть множество уровня q функции у =Дх,, х2). Специально отметим, что все точки линии Lq принадлежат графику Г.

Множество всех множеств (линий) уровня функции у = Дх,, х2) называется картой линий уровня функции у = Дх,, х2). По карте можно получить довольно точное представление о характере графика Г функции Дх,, х2). Фрагмент карты линий уровня функции у = =Дх., х2), график /"которой представлен на рис. 7.5, изображен на рис. 7.4.

График Г имеет вид "горки" (см. рис. 7.3), поэтому линия 1ц2 соответствует уровню qv который больше уровня q, т.е. q2 > q. Аналогично, qx < q. Таким образом, если график /"имеет вид "горки", то линии уровня / расположенной северо-восточнее линии уровня / (или /,), соответствует и больший уровень q2, т.е. q2>q (q2>ql). Верно и обратное (см. рис. 7.5).

Если линия /, (или линия / или линия Г,) выглядит так, как на рис. 6, то говорят, что эта линия выпукла к точке О.

7.2. Частные производные, градиент и дифференциал Определение 2.1.

Пусть у — Дх,, х2) - функция двух переменных. (Первая) производная функции Дх,, х2) по переменной х, при фиксированной второй переменной х2 называется (первой) частной производной функции Дх,, х2) по переменной х,, что символически записывается так:

дДх,,х2)          Эу(х,,хг) ду

-gj—, или       или просто w.

Аналогично определяется (первая) частная производная функции Дхр х2) по переменной х2:

dftxrx2)           dy(xvx2) ду

_____  или _____ или просто

Обратим внимание, что в символике частных производных ис-

пользуются круглые д, а не прямые d. В случае (первой) частной

дДх,,...,х,        х„)

производной  g-         по переменной х. функции Дхр ... ,х.,

... , xj п переменных роль постоянных играют все переменные X,, х_,, х+|, ... , хн, кроме переменной X..

Первая частная производная по переменной х, представляет собой, вообще говоря, новую функцию двух (нескольких) переменных. Если нет специальной оговорки, везде в данном учебном пособии предполагается, что частные производные принимают только конечные значения, т.е. речь идёт только о конечных частных производных.

Если в точке (х,°, х2°) значение (первой) частной производной функции Дх,,х2) по переменной х, (х2) положительно, т.е. если

 

дх,

dfl*i.*2) > 0 дх2

, то при малом росте переменной х (х)

относительнох,0 (х°) при фиксированной переменной х2° (х,°) значение у функции Дх,, х2) растет, т.е. из того, что (первая) частная производная по переменной х, (х2) положительная, следует свойство (локальной) монотонности функции Дх,,х2) по переменной х, (х2) (см. раздел 1).

ду ду

Пример 2.1. Имеем у = а0+ о,х, + а2х2, тогда -—- = в,, -— = а2.

ду

При нахождении частной производной -—- слагаемое а2х2 фиксировано, т.е. играет роль постоянной, как и слагаемое а0, поэтому производная по х, суммы ("хвоста") (а0+а2х2) равна нулю. Аналогично ду

поясняется ответ -j— = а2. Также по аналогии, в случае у — а0 + _,х, + ... + ах.+ ... + ахп имеем п штук (первых) частных производных

to=a„i= 1, п.

 

Пример 2.2. Производная степенной функции y=bgx одной dy

переменной х равна    = bfipc "<-'. (Первая) частная производная ду

функции a^^xf' по переменной х, равна g— = afipc^x"'

ду

Здесь роль Ь0 играет произведение а0х2"'. Аналогично =

 

Также по аналогии в случаеу=а(х1а>...х?..х°-имеем п штук (пер-

ду

вых) частных производных -j— = aflxf<... х°г/... х'\% і = 1, п.

 

Определение 2.2.

Упорядоченная пара (первых) частных производных

дх.

ЭДХрХ.,) ЭДх,,х2)

дх,

или

 

дх.

Эу(х,,х2) Эу(х,,х2)

дх,

функции у = Дх., X,)

двух переменных х, и х2 обозначается символом grad Дх,, х2) (или /(х., х2) или grad ><х,, х2)) и называется градиентом функции у — = Дх., х2) двух переменных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор, функции Дх.,...,х) п переменных - п-мер-

ный вектор grad /(х,,     хп) =

dfixl,...,xl)     dfixi      х„)

a*i дхп

 

Градиент grad Дх,°, х2°) функции Дх,, х2) в точке (х°, х2°) показывает направление самого быстрого роста функции дх,, х2) в точ-

ке (х,°, х°)

Задача 2.1. Для функции у=х,|/2х2|/2 двух переменных х. и х2 а) построить линию уровня / „, проходящую через точку (х°, х,0) =

= (4, 1);

 

б) найти градиент

dyixlxt) Эу(х,°,хг°) Эх,    ' дх2

 

в этой точке (4, 1);

в) построить этот градиент. Решение задачи 2.1

а) Сначала найдем уровень q°, который равен частному значению функции у=х^1'г в точке (4,1). Имеем: (/=(х|0)1''2(х20)|/2=4|/21|/2=2.. Построим на плоскости Ox,Xj линию   = lq2> уравнение которой имеет

4

вид: ^)=х,|/2х2|/2, или2=х1|/2х2|/2 или4=хгх2, или, наконец х1=—(см. рис. 7.7).

б) Имеем:

Эу(х, ,х2) дх.

= 1/2 х,-"2 ,

 

дх,

= 1/2 х,-"2 ху"2,

дх,

 

Ьу(х1х°2) Зу(1,4)

дх,

Эх,

dy(x°,x?) Эу(1,4)

cbc,

А/с. 7.7 = Уг      1» = Уг У2 = У», = У2 4'А ГА = 2/2 = 1.

 

Следовательно, gradу(х°, х2°) =

дуІЇУі) ду(х?,хи2) дх,    ' Зх2

в) Строим градиент grad у(х °,х2°)=(1/4,1) на плоскости Ох,х2, сначала выходящим из точки (0,0), а затем из точки (4,1) (см. рис. 7). Следует обратить внимание, что на рис. 7.7 grady(4,l) перпендикулярен (ортогонален) касательной К к линии (гиперболе) /, = / в точке (4,1), т.е. ортогонален линии /,, проходящей через точку (4,1). Этот частный факт есть иллюстрация общего случая: градиент grad уОс,0,*.,0) в точке (х°,х2°) всегда ортогонален линии /^уровня q0, проходящей через точку (х°,х2°).

Задача 2.2. Для функции у=х*х2А двух переменных дг, и х2: а) построить (дополнив рис.7) линию уровня /, проходящую через точку (х 'х,')=(4,2);

б)найти градиент

 

дх,

ду{хїЛ) ду(хї,х2])

дх,

в точке (4,2);

в)         построить этот градиент (дополнив рис. 7.7);

г)         убедиться, что q{>q=2 и что линия /, расположена "северо-

восточнее" линии / ;

д)         убедиться, что действительно, grad у(4,) показывает направ-

ление, в котором функция у=х*х2'Л растет.

Эту задачу предлагается решить самостоятельно.

Говорят, что уравнение q —Jixr х2) задает неявную функцию х2 = /i(x,) как функцию переменной х,, ибо в уравнении <? = Л*р х2) еще не выделена переменная х2, как это имеет место в случае уравнения х = /i(x,). Аналогично можно говорить о неявной функции х, = g{x2) как функции переменной х2.

Отметим, что если (первые) частные производные функцииДх,, х2) непрерывны в точке (хД х2°) и в близких к ней точках и если

для определенности —^— * 0, то неявная функция х2 = А(х,)

существует при всех х, близких к х,°. Однако далеко не всегда на основании аналитического выражен ияДх(, х2) можно выписать аналитическое выражение для функции х2 = /і(х,).

Если линии уровня функции y=J[xpx2) являются нисходящими, т.е. линиями типа тех, что изображены на рис. 7.6 или на рис. 7.7, то для уравнения q=Axt,x2) неявная функция х2=Л(х)) (или x=g(x2)) существует. Таким образом одна и та же нисходящая линия / (см. рис. 7.8) описывается уравнением q = Дх,, х2), еще не разрешенным относительно переменной х2 (или переменной х:), и уравнением х2 = h(x) (или уравнением х, = g(x2)), уже разрешенным относительно переменной х2 (переменной X,).

дДх,,х2) ЭДх,,х2) Если (первые) частные производные —^— и —^— непрерывны в точке (х,°, х2°) (см. рис. 7.8) и в близких к ней точках, то производную А'(х,°) можно выписать, не используя явной формулы х2 = А(х,), следующим образом:

Таким образом, tga (и, следовательно, наклон касательной К -см. рис. 7.8), равный А'(х,°), может быть найден как отношение (первых) частных производных функции Дх,, х2) в точке (х,°, х2°), взятое со знаком минус, т.е. без использования явного выражения А(х,). Выписанная формула называется производной неявной функции х2 = А(х,). Эта формула играет важную роль в микроэкономическом анализе (в теории потребительского поведения и в теории фирмы). Производная неявной функции х, = g(x2) выписывается аналогично (числитель и знаменатель меняются местами).

Пример 2.4. Пусть х|'Ах,'А=2 и (х1°,х2°)=(4,1). Имеем

ЭДх,,х2)         ЭДх,,х2)         0,5(х*Г(х20)'

—я      = Уг х ,'А х,'А , —к   = Уг х,'А х-'" , А'(4) =            а,  - ,

дхі       '     2       дхг    '    2                  0,5(x1°)I(x2°) т

„о

 

Определение 2.3.

По аналогии с (первым), дифференциалом dRx)=f(x)dx (или dy(x)=y(x)dx или dy=y'dx) функции у=Лх) одной переменной х выражение

дДх,,х2)          ду(х{,х2) ду

4,Дх,,х2) = -~^—-dx] (или dy(xvx2) = ——dxv или dy = д^йс,)

называется (первым) частным дифференциалом функции у =Дх,, х), соответствующим переменной хг

(Первый) частный дифференциал функции у = Дх,, х2), соответствующий переменной х2, имеет вид

ЭДх,,х2)         Эу(х,,х2) ду

dj(xvx2) =    дх^   dx2 (или d2y(xvx2)= —dx2, или dy = -Q^dx2)

Приведенные для однородных функций степени р двух и п переменных формулы имеют место, если (первые) частные производные существуют и непрерывны (эти условия для многих производственных функций и функции полезности выполняются). Эти формулы называются формулами Эйлера, и утверждение об их справедливости - теоремой Эйлера. Формулы Эйлера существенно используются в микроэкономическом анализе.

Пример 3.1. Линейная функция вида у = а^х, + а2х2 (она называется линейной формой) однородна первой степени, ибо й,(ОС,) + a2(tx2) = /(я.х, + я2х2).

Пример 3.2. Квадратичная форма, т.е. функция вида у = аих2 + 2я1гх,хг + а22х,2, однородна второй степени, ибо ям(£с,)2 + 2an(tx{)(tx2) + а22(Гх2У- = taux2 + 2с7,,х,х2 + а22х22).

7.4. Элементы теории экстремума Определение 4.1.

Двумерной 5-окрестностью точки (х,0,^0) (символика: Ц^хДх^)) называется множество точек (х,0,х2°), принадлежащих открытому кругу радиуса 5>0 с центром в точке (хДх,0), т.е.

U2(6,x,0,x2°) Ш) {{Хі,х2)іхгхУ+{х2-х°2)2<62} (см. рис. 7.9). Аналогично,

Ц (6дГ.• ■ ■ Л°) ^ {С*,-*2,■ ■ ■ Д„)I (*,"*Г)2 + • ■ ■ +<х„-хЇЇ<б2}.

Если при фиксированном числе 5>0 точка (х ,х2) е U2(5,x1°,x2°), то говорят, что точка (х,,х2) близка к точке (х, , х2°). Если точка (хрх2) і U2(5,x1°,x2°), то говорят, что точка (хрх2) далека от точки (хДх,0). Если точка (х°,х2й) принадлежит множеству М вместе со своей некоторой 5-окрестностью U2(5,x1°,x2l), т.е. со всеми своими близкими точками (х(,х2), она (точка"(х°,х2°) называется внутренней для множества М.

В случае, когда множество Месть неотрицательный ортант плоскости, т.е. М={(х,,х,)|х, >0, х2 >0}, то точки (хрх,) с координатами Х|>0, х2>0 - это внутренние точки неотрицательного ортанта. Точки (хрх,) неотрицательного ортанта, у которых хотя бы одна координата равна нулю, являются граничными точками неотрицательного ортанта.

Определение 4.2.

Точка (х,°, х2°) называется точкой локального максимума (минимума) функции"д"хр х2) двух переменных х и х2, если для всех точек (х(, х2) из области определения функции f, близких к точке (х°, х3°), справедливо неравенствоДхДх/) >Дхрх2) (J[x°,x2°) <д"хрх2)).

Если (хД х2°) - точка локального максимума (минимума) функции у = Дх,, х2), то около точки (х,°, х2°, Дх,0, х20)) трехмерного пространства график /функции у = Д*,, х2) имеет вид "шапочки" (перевернутой "шапочки") (см. рис. 7.10а и рис. 7.106).

Отметим, что вместо двух терминов (максимума и минимума) используют один термин экстремум.

 

У

У

с          ^

 

 

 

0

 

// ч      ! ! <Г          СФ# •(*,**г)

 

 

 

 

Рис. 7.10а

Рис. 7.10а

Определение 4.3.

Точка (хДх.,0) называется точкой глобального максимума (глобального минимума) функции y=J(xl,x2) двух переменных х, и х2, если для всех точек (хг>х2), для которых функция Дх х,) определена, справедливо неравенство ДхДх") >Дх ,х2) (ДхДх.,0) <Дх,,х2)).

Само частное значение Дх,0, х2°) называется глобальным максимумом (глобальным минимумом) функции у = Дх,, х2).

Если функция Дх,,х) выпукла вниз и имеет локальный минимум, то он является глобальным минимумом. Если функцияДх,,х2) выпукла вверх и имеет локальный максимум, то он является глобальным максимумом.

В экономической теории функция Дхр х2) обычно определена при х, > 0, х2 > 0 и она либо выпукла вверх, либо выпукла вниз, поэтому её локальный максимум (локальный минимум) является также и глобальным.

Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим образом.

Пусть функция у = Дх,, х2) в точке (х,°, х2°) имеет локальный экстремум (точка (х,°, х2°) - внутренняя для области определения функции y=J[xl,x2)), тогда

 

дх,       ' дхг

(существование (первых) частных производных в точке (х,°, х,°) предполагается).

Определение 4.4.

Точка (х,0, х2°) называется критической для функции у =Дх,, х2), если координаты х,° и х2° этой точки удовлетворяют системе уравне-

адх,,х2) адх,,х2) нии -ая- = °' -Щ- = °-

Поэтому точки локального экстремума функции у = Дх,, х2), лежащие внутри её области определения, следует искать только среди критических точек этой функции.

Критическая точка не обязана быть точкой (локального) экстремума, как показывает следующий пример.

ду ду

Пример 4.1. Для функции у=х2-х2 имеем     = 2х, = 0, =-2х2

= 0, откуда получаем критическую точку (0,0) (у(0,0)=0). Однако точка (0, 0) не есть ни точка максимума, ни минимума, ибо при (х,,0) у = х2 > 0, при (0, х2) у = -х2 < 0, а при (0, 0) у = 0. График функции у = х2 - х22 называется седловой поверхностью (см. рис. 7.11, на котором хорошо видно, что около трехмерной точки (0, 0, 0) поверхность сильно отличается по своему виду от "шапочки" и перевернутой "шапочки").

Определение 4.5.

Второй частной производной функции у =/(*,, хт) ДВУХ переменных называется (первая) частная производная от (первой) частной производной.

Таким образом имеем четыре вторых частных производных д2Лхгх2)   d2f(xt,x2)   д2Лху,х2) д2ЯхІУх2)

дхх

дх{дх2

дх2дх{

дхі

dx2dxt

d2jxvx2) д2Яхх,хг) Если смешанные вторые частные производные ,j— и ■

дхудх2

непрерывны, то они обязательно равны. В отличие от смешанных

2— принято называть

дх2

д2Лху,х2) д2Лхгх2)

вторые частные производные         2-

дхі

чистыми.

В случае функции Ддс   ... , хп) п переменных имеем п2 штук

d2f(xv...,xn) d2Axv...,xn)

вторых частных производных:

d2fix   *„) d2f(xv...,xn)

дх

дх

дх{дх2

дх,дхп

дгЯх{,...хп)   дгЛх{,..., Х„)

дхп-1д*п

П /1-І

b2Axv...,xn)

Если смешанные вторые частные производные —         

дх

а2М     *„)

-fa        О *■ Л 'і/=1>—,л) непрерывны, то они равны.

 

Пример 4.2. Пусть функция f[xvx2) есть квадратичная форма у=х2-

ду ду

4х{х2+х22. Здесь -оо <х<+оо (/=1,2). Тогда = 2xt - 4х2, = -4л:, + 2xv

Подпись: ■= 2,= _д_ дх2 дхх

ду_ дх,

Э(2г, - 4s2) дх.

 

дгу   _ д

дх{дх^ dxt

ду_ дх.

Э(- 4s, ♦ 2х2) дх.

 

-4,

 

а2? = _а_

дх2дх{ дхг

ду_ дх,

d(2xt - 4хг) дх.

 

= -4,

 

 

Ъх дХ2

 

дх.

д(- 4х, + 2х2)

= 2.

 

 

Достаточное условие локального экстремума формулируется следующим образом.

Пусть функция у=Дх{,х2) имеет критическую точку (х°,х2°) (т.е.

дх,

дЛх'Х) дЛх^х?)

Пусть —-г-     = —                 = 0).

a2M°,x2°)

дх2

>0),

I) Пусть

дх;

дгяхіх!)

> 0 (или

дх,

dyU, ,*2 ~~дхТ~ агдх,°.л2и)

дх

ид   U U

дгЛ*! ,*2 дх,дх2

 

> 0, тогда (х°,х°) - точка

локального минимума функции у=/[хгх2).

дх

mix?) ns

2) Пусть ——— < 0 (или ——— < 0),

dxt

 

 

Эх,

 

дхі

Ala*0 „о ЭД*1 ,*г

Эх,Эх2

> О, тогда (х,°, х2°) - точка

локального максимума функции у =Дх,, х2),

 

3) Пусть

 

дх'

Э2Дх,,х2) дх

д2Кх1х Эх,Эх2

 

< О, тогда в точке

(х°,х°) у функции у=Дхрх2) локального и, следовательно, глобального экстремума нет.

В приведённом достаточном условии предполагается, что точка (л:,0, х2°) - внутренняя для области определения функции Дхрх2) и что вторые частные производные функцииДхрх2) определены в точке (х,0, х2°) и во всех близких к ней точках (хрх2) и непрерывны в точкех°, х2°).

ду

Пример 4.3. Продолжим пример 4.2. Имеем -— = 2х, - 4х2 = О,

ду

-— = -4Х, + 2х, = 0, откуда получаем единственную критическую точку (0,0). Для этой точки (и любой другой точки (хрх2)) имеем

__

Эх,2

 

Эх,2

дгУ Эх,Эх2

= -12 < 0, т.е. в точке (0,0) локального и

глобального экстремума нет.

Задача 4.1. Исследовать на экстремум следующую квадратичную функцию двух переменных: у=х|2-2х1х2+2х22-х|-2х2. Эту задачу предлагается решить самостоятельно.

0,

дх,

Определения локального и глобального экстремума и необходимое условие локального экстремума функции у = Дхр ... , хп) я переменных хр ... , хи повторяются почти дословно. В частности, необходимое условие локального экстремума имеет вид ЭДх„...,*„) _п       ЭДх„-.*J

— 0. Однако обобщение достаточного

Эх.

условия локального экстремума для случая функции п переменных является сложным и поэтому здесь не приводится, а рекомендуется лишь для дополнительного чтения (см. Интрилигатор. М., с. 71-74).

В заключение этого раздела отметим, что более точными являются термины: безусловный локальный максимум (минимум), точка безусловного локального максимума (минимума), безусловный глобальный максимум (минимум), точка безусловного глобального максимума (минимума). Вместо термина безусловный используется менее удачный (недостаточно выразительный) термин абсолютный.

Пример 4.4. Прибыль PR(xrx2) вычисляется по следующей формуле PR(xl,x2)=pj{xl,x2)-pixl-p1x1, глеЛхгх2) - производственная функция фирмы, р0 - рыночная цена продукции, выпускаемой фирмой, />, и р2- соответственно рыночные цены первого и второго ресурсов (факторов производства). Выражение pj[xvx2) называется выручкой фирмы, ptxt+p2x2 - издержками производства фирмы, если для выпуска продукции фирма затрачивает первый и второй ресурсы в количествах jc, и х2 единиц. Задача ставится так. Определить комбинацию (х°,х2°) ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль. Для решения этой задачи следует найти критические точки функции PR(xl,x2), т.е. следует решить систему уравнений

ЭЩх,,х2) _    ЭДх,,х2) _     =0      dPR(xvx2)       аДх,,х2) _ р = п

dx,       0   dx,  '           дх2      0   дхг 2

Поскольку производственная функция у=Дх1,х1) обладает рядом специфических условий (в частности, если ее график напоминает горку - см. раздел 1), постольку часто критическая точка (х,°, х2°) является единственной и обязательно точкой (глобального) максимума прибыли у = PR(xr х2).

Вопросы к главе 7

Что называется графиком функции двух переменных? Приведите примеры (не менее двух) графиков.

Сформулируйте определение множества (линии) уровня функции двух переменных. Может ли множество уровня функции двух переменных не быть линией? Если может, приведите примеры. Могутли множества (линии) двух различных уровней иметь общие точки? Дайте обоснование ответа.

Как в терминах линий уровня описать подъем туриста на гору (холм)?

В чем отличие (первой) частной производной от (первой) производной?

Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и ее линией уровня.

Приведите формулу производной неявной функции.

Сформулируйте определение (первого) полного дифференциала.

Сформулируйте определение однородной функции степени р.

В чем суть теоремы Эйлера?

Сформулируйте определение локального и глобального экстремума функции двух и п переменных. Может ли глобальный экстремум не быть локальным?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |