Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

Глава 8  задачи с ограничениями 8.1. задачи на условный экстремум

В теории безусловного локального экстремума сравнивают частное значен иед"х °,х2°) функции у =Дх|,х2) в точке (х°,х2°) с частными значениями АХУ,Х2) этой функции во всех точках (х(,х2), близкихк точке (х,0^0) (см. главу 7, раздел 7.4). Другими словами, в теории локального безусловного экстремума на независимые переменные х, и х2 не накладываются никакие дополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные х, и х, удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям.

Рассмотрим теперь другую задачу.

Найти локальный максимум (или локальный минимум) функции у = д"х|5х2) при условии, что независимые переменные х, и х2 удовлетворяют ограничению g(x,,x2) = 0 в виде равенства, т.е.

д"х,,х2) -> max        (Дх,,х2) -> min) (1)

при условии

g(xvx2) = 0. (2)

Задача (1), (2) называется задачей на условный локальный максимум (минимум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные х, и х2 удовлетворяют условию (ограничению) (2). Вместо двух терминов (максимум и минимум) используется обобщенный термин экстремум. В задаче (1), (2) на условный экстремум функциюДх,,х2) принято называть целевой, ибо ее максимизация (или минимизация) часто есть формальное выражение какой-то цели (например, максимизации объема производства при фиксированных затратах). Функцию g называют функцией, задающей ограничение, или функцией связи.

Уравнение (2) есть уравнение нулевой линии (точнее множества) уровня функции g(xrx2), ибо g(xrx2)=x, где т=0. Поэтому задачу на условный локальный максимум (минимум) можно еще сформулировать так: среди точек нулевой линии уровня функции y=g(xrx2) найти точку (х,0,х2°), в которой частное значение ДхДх °) функции y=J[xvx2) больше "(или меньше) ее частных значений Дх|5х2) в ос

тальных точках (х ,х2) этой линии, близких к точке (х,°,х20) (см. рис. 8.1). Точка (хДх^) называется точкой условного локального максимума (минимума) функцииДх,,х2), само частное значение Дх,°,х2°) -условным локальным максимумом (минимумом) функции Дх,,х2) при наличии ограничения g(x,,x2)=0.

Проиллюстрируем задачу на условный максимум в трехмерном пространстве (см. рис. 8.2).

Точка (х,',х2*) - точка абсолютного локального максимума функции д"х:,х2), ибо точка (xf ,х'Дх,',х2')) - локальная (т.е. местная) "макушка" графика /^этой функции Дх,,х2). Точка (х,°, х2°) - точка условного локального максимума функции Дх,,х2), ибо точка (х,°, х2°, Дх,°,х20)) - самая высокая точка "тропинки" L, которая проходит через "перевал" графика Tf На рис. 8.2 четко видно, что точка (хДх/ДхДх.,0)) "макушкой" не является, т.е. точка (х,°,х20) условного локального максимума может не быть точкой безусловного локального максимума. Линия g(x,,x2)=0 есть проекция "тропинки" L на координатную плоскость Ох,х2.

Отметим, что если известен график Tf функции Дх,,х2) двух переменных х, и х2, то, глядя на него, можно сразу понять, есть ли точки абсолютного и условного локального экстремума или какие-то из них (а, возможно, все) отсутствуют.

В случае, если графика Tf нет, точки абсолютного локального экстремума отыскиваются с помощью формального анализа функции у = Дх,,х2), который был описан в главе 7.

Существует формальный метод отыскания точек условного локального экстремума, для использования которого также не требуется знания графика Tf функции у = f(xvx2) и графика уравнения g{x{,x2)=0. Этот метод (он называется методом Лагранжа) подробно описан в следующем разделе 2.

Если значение Дх,°,х20) функции Дх,,х2) больше (меньше) значений Дх,,х2) этой функции во всех точках (х,,х2) линии g(x|,x2)=0, то значение Дх,°,х2°) называется условным глобальным максимумом (минимумом) функцииДхрх3) при наличии ограничения g(x,,x2)-0, а точка (х,°,х2°) - точкой условного глобального максимума (минимума) функции Дх,,х2).

Точка условного глобального максимума (минимума) функции Дх.,х2) является точкой условного локального максимума (минимума) этой функции. Обратное, вообще говоря, неверно. На рис. 8.2 точка (х,°,х20) является точкой не только локального, но и глобального условного максимума функции Дх,,х2) при наличии ограничения g(x,,x2) = 0.

В случае функции Дх,, ...,хя) п независимых переменных х,, хя задача на условный максимум (минимум) формулируется так:

Ах,,     хп) -> max (Дх,,     хя) -> min) (3)

при условиях

. £ (x    хд) = О

•••••                 V (4)

gm(xK      хп) = 0 (обычно т<п).

Если частное значение Дх,0,хя°) сравниваются со значениями Дх., хя) в точках (х,, хя), удовлетворяющих уравнениям (4) и близких к точке (х,°, хя°), то имеем задачу на условный локальный экстремум (максимум или минимум) функции Дх,, хя).

Если значение Дх,°, хя°) сравнивается с значениями во"всех точках (х,, хя), удовлетворяющих уравнениям (4), то имеем задачу на условный глобальный экстремум (максимум или минимум) функции Дх,, хя).

Теория условного экстремума активно используется в микро- и макроэкономической теории. В задачах этой теории обычно локальный условный экстремум является также и глобальным условным экстремумом. Разберем конкретный пример.

Пример 1.1. Найти экстремум функции

у = х,2 + х22 (5)

при условии, что

*, + х2 - 1 = 0, (6)

т.е. решить задачу на условный экстремум.

Решение примера 1.1. Отметим прежде всего, что экстремум (экстремумы) функции (5) отыскиваются не на всей плоскости Ох,х2 (как это было в главе 7), а только на прямой (6).

Естественным является следующий способ решения задачи (5),(6) на условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную х2 через переменную х, и подставить полученное выражение х2 = 1 - х, в функцию (5). Тогда задача (5),(6) на условный экстремум функции (5) двух переменных сведется к задаче на безусловный экстремум функции у = 2х,2 - 2х, + 1 одной переменной х,.

Для решения задачи на безусловный экстремум найдем первую производную у'=4х,-2 функции у=2х,2-2х|+1 и приравняем первую производную к нулю: 4х,-2=0, откуда получим, что x^-Vz. При переходе (слева направо) переменной х, через точку х,0 первая производная у' меняет знак с минуса на плюс, поэтому критическая точка х,0 есть точка локального минимума функции y=2x2-2xt+. Очевидно, этот локальный минимум /=2(х *У-2х*+=ЛА является также глобальным (см. на рис. 8.3 линию Й, которая есть фафик функции y=2x2-2xl+). Других локальных и глобальных экстремумов функция у=2хд2-2х,+1 не имеет, ибо не существует точек, отличных от точки хД в которых бы производная у=Ах-2 обращалась в нуль.

Из полученного следует, что (х1°,х2)=(У2,Уг) - точка условного глобального минимума функции (5), сам условный минимум равен /=(xl0)2+(xl0)2=1/2.

На рис. 8.4 дана геометрическая иллюстрация решения задачи (5),(6). На линии L, по которой пересекаются вертикальная плоскость Q и график /^.функции (5), самой низкой точкой является точка Р0=(х^,х2°,у°)=(Уг,У2,Уг). На поверхности самой низкой является точка 0 = (0,0,0). Таким образом, на рис. 4 видно, что условный глобальный минимум функции (5), который равен Уг не совпадает с ее абсолютным (безусловным) минимумом, равным нулю. На рис. 4 также хорошо видно, что ни на линии L, ни на графике Гнет самых высоких точек, т.е. функция (5) не имеет условного глобального максимума и абсолютного глобального максимума.

Решение примера 1.1 подсказывает следующий естественный на первый взгляд способ решения задачи (1),(2). С помощью уравнения (2) сначала выразить переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную х2). Затем полученное выражение х2 = «(*,) подставить в функцию (1), которая после этого станет функциейд"х,,«(*,)) одной переменной х{, и эту функцию исследовать на (безусловный) экстремум. Из отсутствия точки (точек) экстремума у функции Дх,,«(*,)) следует отсутствие точки (точек) условного экстремума у функции (1). Если х,° - точка экстремума функции у = Дх,, «(*,)), то точка (х,°, х2°) = (х,0, «(х,0)) - точка условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2).

Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную х2 через переменную xt (или переменную х, через переменную х2) часто бывает сложно, а то и невозможно. По этой причине только что описанная простая идея сведения задачи на условный экстремум для функции (1) двух переменных к задаче на безусловный экстремум для функции Дх,, «(*,)) одной переменной не может быть использована в качестве основы универсального метода решения задачи (1),(2) на условный экстремум.

В конце XVIII века Лагранж предложил остроумный метод решения задачи (1), (2) на условный экстремум, в котором не следует прибегать к разрешению уравнения (2) относительно одной переменной при фиксированной другой переменной. В этом методе число независимых переменных не сокращается, а, наоборот, растет.

Метод Лагранжа позволяет решать не только задачи вида (1),(2), но более общие задачи вида (3),(4).

Метод Лагранжа описан в следующем разделе.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |