Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

8.2. метод лагранжа решения задачи на условный экстремум

Суть метода Лагранжа состоит в построении функции

Цх,,х2Д) = ./Ц,х2) + Ag(x,,x2) (7)

трех переменных х,,хД (называемой функцией Лагранжа) и, грубо говоря, в сведении задачи (1),(2) на условный экстремум в случае двух независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции Цхгх2,Х) трех независимых переменных xr х2, X. Ниже эта идея о сведений уточняется.

Функция Лагранжа Цх{,х2,Х) представляет собой сумму целевой функции (1) и функции ограничения (2), умноженной на новую независимую переменную X (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно в первой степени.

Необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) в аналитической форме имеет вид.

Пусть функции Дх,,х2), g(x|(x2) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным х, и х2; пусть (x^Xj0) - точка условного локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) и пустьgradgix^x®) ф 0.

Тогда существует единственное число Х° такое, что (трехмерная) точка (х,0,х20Д°) удовлетворяет следующей системе трех уравнений dL(x,,x2,X)_o  dL(x,,x2,X)=o   dL(x,,x2,X)=o ^ дх,        '      дх2        ' дХ

, ,         дЦх.,х X)

с тремя неизвестными х,, х2, X (отметим, что всегда      !—-— =

дХ

лЦ,*2))-

Другими словами, если (двумерная) точка (х,0,х2°) есть точка локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), то (трехмерная) точка (х,0,х2°Я0) - критическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек (условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) следует прежде всего найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений (8). Далее критические точки функции Лагранжа следует "укоротить", удалив из них последние координаты X. Затем каждую "укороченную" критическую точку необходимо проанализировать на предмет, является ли она в действительности точкой (условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) или не является.

Достаточное условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) здесь не приводится. При анализе "укороченной" критической точки обычно используют наглядные геометрические или содержательные (экономические) соображения.

Отметим, что в некоторых задачах на условный экстремум, которые появляются в экономической теории, обычно "укороченная" критическая точка функции Лагранжа является на самом деле точкой условного локального (в действительности и глобального) экстремума функции (1) при наличии ограничения (2).

Пример 1.1. (продолжение). Решим задачу (5),(6) на условный экстремум методом Лагранжа. Имеем

Дх-рХД) = х* + х22 + X(xt + х2 - 1),

откуда

= 2х, ♦ X = 0, 4_ = 2х2 ♦ X = 0,      = х, ♦ х2 - 1 = 0. (9)

дхх      дх2 д

Из первых двух уравнений вытекает, что -2х, = X = - 2х2, т.е. хх = — х„ откуда, используя третье уравнение, получаем, что хх"=х2°=/2.

Таким образом, система уравнений (9) имеет единственное решение, т.е. дает единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2,1/2,-1) (Я.0=-2х1°=-2 l/2=-1). "Укороченная" критическая точка

(х10,х2°)=(—,-) есть точка условного локального (также глобального) минимума функции (5) при наличии ограничения (6), ибо непосредственно проверяется, что при („, ,„2)^(jc,°_х20) и удовлетворяющей уравнению (6) справедливо неравенствоДх,,х2)>Дх:10гх;20)=1/2.

dL       dL_Q   dL_=0      dL__0 (10)

W,-- -дТ„ ' эх,  •■- д ■

В случае общей задачи (3),(4) на условный экстремум функция Лагранжа имеет вид Цх{,     хп, ,     XJ = Дх,,     хп) + Х&(хр

хя) + ... + Xj*^, xj, а система (8) переписывается в виде системы п + m уравнений с п + m неизвестными х,,    хп, Хх,     X .

Критическая (л + /и)-мерная точка (х,°, хп°, х"°, XJ) функции Лагранжа после операции "укорачивания" приобретает вид (х,°,     хя°) л-мерной точки.

Возвращаемся к случаю двух переменных х, и х2. Необходимое условие (в виде системы уравнений (8)) локального условного экстремума перепишем в развернутом виде:

ЭДх,,х2,Х) _ ЭДх,,д:2) ^ 3g(x,,x2) =р          ^n j

dxt       Эх, Эх,

ЭЦх,,х2,Х) _ ЭДх,,х2) ^ 3g(x,,x2) _п ^

дх2      дх2 дх2

Подпись: Эх,   ' дх2

ах

' эдх,д2) адх,д2)

дЦх,,хг,Х)      ,,, ^

Эх, Эх2

Поскольку grad Дх^х2) = dg(xvx2) dg(xltx2)

=gUpXj)=0. (И.З)

, grad g(xrx2) =

компактной векторной форме

grгiйДxl,x2) + >.grad jOc,,*,) = 0. (12)

Для критической точки (дсДдс^Д0) функции Лафанжа имеем

grad/*,0,*/) + ^grad^c,0,*/) = 0, (13)

т.е. в "укороченной" критической точке (х,0,^0) функции Лагранжа

grad/U,0,*/) = - ^gradU,0,*/), (14)

что эквивалентно тому, что в точке (х,0,^0) линии уровней Дх°,х2°) и 0 функций Дх ,х2) и g(xrx2) соответственно касаются (напомним, что gradix^x^yu).

Теперь приведем необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при наличии офаничения (2) в геометрической форме.

Пусть функции Дхгх2), g(xt,x2) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным и х2; пусть (x,°,x2°) - точка условного локального экстремума функции (1) при наличии офаничения (2) и пусть

gradДх«,х2й) ф 0, gradg(x?,x2°) *0.

Тогда градиенты gradДх^,х2й) и grad gix^xf), выходящие из точки (x,°,x20), обязательно расположены на одной прямой, что эквивалентно тому, что линии уровней функций Дх^х^ и g(xrx2), содержащие точку (х^х^), касаются в этой точке (см. рис.8.5).

Точка (х,°,х20) на рис. 8.5 - точка условного локального максимума, что очевидно на основании наглядных геометрических соображений, ибо т1<т0<т2 (grad Дх^х^) указывает направление наибыстрейшего возрастания функции в точке (х,0,* °)), поэтому

, уравнения (11.1) и (11.2) можно представить в

J[xl°,x2°):=:z>x=f{x],x2), если точка (x,,x2) принадлежит нулевому множеству уровня функции g(xrx2) и не совпадает с точкой (х(°,х20). В случае, представленном на рис.5, имеем Х°*>2. Рис. 8.5 близок к ситуации, типичной для экономической теории: градиент grad Дх°,х2°) целевой функцииДх(,х2) "смотрит" на северо-восток, градиент grad gix^x^) ограниченияg(xpx2) "смотрит" либо на юго-запад, либо на северо-восток; фрагмент карты линий уровня целевой функции/Ц jc2) похож на фрагмент типичной карты линий уровня, который встречается в экономической теории.

Необходимое условие (в том числе и геометрическое) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), вообще говоря, не является достаточным, т.е. в случае касания в точке (х,°,х2°) линий уровня функцийДх1;х2) и g(xvx2) (что эквивалентно расположению на одной прямой градиентов gradfixf,x2) и grad ^(х,0,^0), исходящих из точки (х,0,х20)), точка (х,°,х20) может и не быть точкой условного локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) (см. рис. 8.6).

Точка (х,0^0) на Рис- -"укороченная" критическая точка функции Лагранжа, которая не является точкой локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), что очевидно на основании наглядных геометрических соображений, ибо в точках (Х,х2), расположенных на линии g(xrx)=Q строго выше точки (х,°,х2°), справедливо неравенство Дх ,х2)<ДхАх2°) (т,<т0), а в точках (х ,х2), расположенных на линии gx.,xS—0 строго ниже точки (х^хА, справедливо неравенство Дх, ,х2)>Дх °,х2°) (т2>т0). Для рис. 8.6 Xі »-Уг.

Отметим, что фрагмент карты линий уровня целевой функции f[xrx2), представленный на рис. 8.6, не типичен для экономической теории.

Пример 1.1 (продолжение). Приведем аналог рис. 8.5 для задачи (5),(6) на условный экстремум (см. рис. 8.7).

 

х2

 

 

 

grad((x?)2+(^)2)=grad(^+^-l)

1,5

 

 

1-

 

 

f 0,5

 

 

0

0*5/     І       ,f> х

 

5 О. О. Замков

В случае рис. 8.7:

gradU10))2+(^)2)=(2x1^2^)=(2y2,2y2)=(ia),grad(x10+x20-l)=(l,l), Л.°=-1.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |