Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

Глава 9 максимизация полезности. исследование модели потребительского спроса. компенсационные эффекты 9.1. функция полезности. задача потребительского выбора

В данной главе будут рассмотрены некоторые модели потребительского выбора. Будем считать, что потребитель располагает доходом /, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Точнее говоря, величина /- это не доход, а расход данного потребителя. Потребитель решает статическую задачу, то есть в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможности делать или расходовать сбережения. Цены благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора. Вначале мы рассмотрим модель с двумя видами благ. Такая модель удобна прежде всего возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели.

Рассмотрим потребительские наборы из двух благ. Потребительский набор (для краткости набор) - это вектор (х,,х2), координатах, которого равна количеству единиц первого блага, а координата х2 равна количеству единиц второго блага.

Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор A=(ava2) предпочтительнее набора B=(bt,b2), а набор В предпочтительнее набора С=(с,,с2), то набор А предпочтительнее набора С.

На множестве потребительских наборов (х,,х2) определена функция и(х{,хЛ (называемая функцией полезности потребителя), значение м(х,,х2) которой на потребительском наборе (хх,хЛ равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку и(хрх2) набора (х,,х2) принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (xt,x2). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то и(А)>и(В).

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам: 1) Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е.

то м(х(2,х) > и(х(',х2);

тг litv    v*i      і//1 v   v l

•|> 2

а„(х.,х,)

если X 2 > X,1

ам(х,,х2)

Г) Пусть

= и'> 0.

если х,2 > х ', то и(х , х"2) > и(х ,х"')

= ",'> о,

Эх,       "і Эх2 Из свойства Г) следует свойство 1).

Первые частные производные называются предельными полезнос-тями продуктов: и,' называется предельной полезностью первого продукта, и2 - предельная полезность второго продукта. Для предельных полезностей первого и второго продуктов используется также символика л/,й(х,,х2), М2и(хгх2).

2) Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности).

д2и

Т) Пусть -г

— и.

< 0,

__ дх;

= и.

< 0.

Из свойства 2') следует свойство 2).

3) Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно. Данное свойство не столь очевидно, как 1)-2), и справедливо не для всех благ: если блага могут полностью замещать друг друга в потреблении, свойство 3) не выполняется. Предположение 3) вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линий безразличия.

дги

> 0.

Э2и

3') ПУСТЬ ЭхЖ =

m-j       - дХ2дХ1

Из свойства 3') следует свойство 3).

В учебной и монографической литературе понятие предельной полезности толкуется неоднозначно. Помимо приведенного выше определения предельной полезности первого (второго) продукта в виде частной производной и,' (и2) первого порядка, под предельной полезностью первого (второго) продукта понимают отношение приращения функции полезности к приращению вызвавшего его количества этого продукта:

Mxu(xvx2)

«(x,+_x, ,х2)-и(х,,х2) Ах~,

М2и(х.,хг)=

u(xvx2+Ax2)-u(xvx2)

 

Наконец, предельной полезностью первого (второго) продукта называют разность

А/^СкрХ,) = и(х,+1,х2) - и(хрх2) (М2и(хрх2) = «(х^+І) - ы(хрх2))

или

М,и(х1Г)с2) = ы(х,,х2) - ы(х,-1,х2) (М2ы(х,,х2) = и(х,,х2) - и(х,,х2-1)).

Из контекста обычно бывает ясно, о каком конкретно толковании предельной полезности М)и(х,,х2) (М2ы(х,,х2)) идет речь.

Линия, соединяющая потребительские наборы (х,,х2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. На рис. 9.1 показан фрагмент карты линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Если линия безразличия /г3 расположена выше и правее ("северо-восточнее") линии безразличия /г2, то т3>т2. Верно и обратное. Иными словами чем "северо-восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует.

Условия 1)-3) означают, что линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат (к точке 0). Чтобы пояснить это, рассмотрим дифференциал (главную линейную часть приращения) функции и(хрх2). Если двигаться вдоль линии уровня, то приращение функции и(хрх2) равно нулю, и, следовательно, можно считать равной нулю и его главную линейную часть. Дифференциал функции полезности записывается следующим образом:

ахг и,'

і/и(хрх2)=и|і&|+и2ах2=0 => -j- = - -р < 0.

(1)

 

Итак, функция х2(х1), то есть зависимость х2 от х, вдоль кривой безразличия, является убывающей, поскольку производная ее отрицательна. Вторая производная функции х2(х,) выглядит следующим образом:

Подпись:

(2)

 

Ее положительность вытекает из свойств 1)-3); следовательно, кривые безразличия выпуклы вниз.

 

Рассмотрим фиксированную линию безразличия / Пусть потребительский набор (хгх2) є Л При выполнении ряда'естестве иных предположений (непрерывность первых частных производных и,', и2 и и2 ф 0) справедлива, как уже было показано, следующая формула:

 

Имеем приближенное равенство

ах, Дх, '=-tg4>=-tga=—1 dx1 Дх,

(4)

(см. рис. 9.2). Из (3) и (4) следует важное приближенное равенство

А*2, ' Дх, и'

(5)

Дх,

Отношение - д^- показывает, на сколько должен индивидуум

увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей (Это обстоя-

х2

 

 

хг+Ах2

'\

 

XI

~г ■" "V і і

 

 

!      ! a.«p

—и

0

Х

Xl

Рис. 9.2

тельство геометрически интерпретируется так: точки (х,,х), (х^Дх,, х2+Дх2) принадлежат одной и той же линии безразличия /г (см. рис.

Ах2

9.2).) Поэтому дробь - д^- принято называть нормой замены первого продукта вторым на потребительском наборе (х,,х2), а производив Ахг ную - -J— (которая равна предельному значению дроби - при

Дх,    0) - предельной нормой замены первого продукта вторым. Примером функции полезности может служить функция

«(x1,x2)=a|log(x,-x,)+fl2log(x2-x2), (6)

где а,>0, а2>0, х,>х,>0, х2>х,>0.

а,         аг        дги__ о,

Действительно, имеем и.'=—=->0, и'=—=- > 0, -ті- , -о

л,-л,        *     хг~хг        ох) (Х1-х1)

дги   _ °2

<0, тіс ,   -ч2<0, т.е. выполнены свойства Г) и 2") функции по-

ахг    х2 -х2)

лезности. Свойство 3') не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции ы(х,,х2) равны нулю.

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора (х,°,х2°), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. ptxt + PjX2 < I, где р, и р2- рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а / - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины />,,/>, и /заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

Подпись:
при условиях (7)

(7)

Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой (см. рис. 9.3). На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо-вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |