Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

9.2. решение задачи потребительского выбора и его свойства

Набор (хДх,0), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.

Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи (х,°,х20) сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности и(х15х2). Поскольку значение m(x,0,x20) было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Отметим, что свойство 1) должно присутствовать у любой функции полезности; свойства 2) и 3) могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться (рассмотрите это самостоятельно на примере функции м(х|,х2)=х|'Ах2'А. Последнее важно для иллюстрации того факта, что если функция полезности в задаче потребительского выбора не обладает свойствами 2) или 3), это вовсе не означает, что данная задача не может описывать реальное поведение потребителя.

Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз X.

Это равнозначно умножению на положительное число X обеих частей бюджетного ограничения ptx, + р2х2 < I, что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход / не входят в функцию полезности, задача остается той же, что и первоначально.

 

 

 

п 1

 

 

0;—

и

— ;0

Рг

 

Р

В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования - см. главу 8, раздел 3. Однако если на каком-то потребительском наборе (хрх2) бюджетное ограничение рхх^+р2х2 < I будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (xt°,x2), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. р^+р^к^І. Графически это означает, что решение (xt°,x2°) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 9.3), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями

 

координат, где весь доход тратится на один продукт:

 

Мы также будем считать, что в оптимальной точке (xt°,x2°) условия {х, > 0, х2 > 0} выполняются автоматически, вытекая из свойств функции и(х{,х2). Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения.

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение {х°,х2й) этих двух задач одно и то же)

u(xvx2) (max)

при условии

(8)

Л*і + Ргхг = 1

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа

L{xvxvX) = u{xvx2) + Х(р^ + р2х2 - /),

(9)

 

находим ее первые частные производные по переменным х,, х2 и и X приравниваем эти частные производные к нулю: ^"=", -X-pt=0,

 

^=м2 -Х-/» =0, ж=ріХі+р2х2-І=0.

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную X, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными xt и х2

и/ = Р± и2 рг'

 

Решение (хДх,0) этой системы есть "укороченная" критическая точка функции Лагранжа. Можно строго доказать, что "укороченная" критическая точка (х,0,*/) функции Лагранжа обязательно есть решение задачи потребительского выбора (за исключением так называемых угловых решений, которые здесь не рассматриваются). Подставив решение (хДх,0) в левую часть равенства

и,'(х,,х2) = р

u7(xvx2) Рг

получим, что в точке (х,°,х2°) локального рыночного равновесия и, (*, Д2)

индивидуума отношение —  ц ц предельных полезностей мДхДх^)

иг (х| ,х2)

и и2'(х",х2) продуктов равно отношению рыночных цен р{ и р2 на эти продукты:

«.'(х,0^0) р.

-!—!—-=— (10) и'(х,,х2) Рг

 

і, о Ik

и,'(х, ,х2)

В связи с тем, что отношение —  о оч равно предельной норме

U2 (Х( ,х2)

замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х,0,х2°), из (10) следует, что эта предельная норма равна

отношению рыночных цен — на продукты. Приведенный результат

Рг

играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (хДх,0) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности и(х х) с бюд-

жетной прямой рхх,+р2х=1(си. рис. 9.3). Это определяется тем, что

dx2 и,

отношение -jj—■ - - —7 показывает тангенс угла наклона линии уров-

 

ня функции полезности, а отношение   — представляет тангенс

угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора (или локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий. Из (5) и (10) следует, что

Дх" рх

 

т. е. отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений Ах2° и Ах,0 объемов продуктов в локальном рыночном равновесии (х,°,х2°) приближенно равно отношению рыночных цен р и р2 на продукты.

Равенство (11) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, т. е. набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.

Координаты х,0 и х2° решения (х(°,х2°) задачи потребительского выбора есть функции параметров pvp2 и /:

Х2° = Х2°(р,, р2, Г).

Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй продукты. Важным свойством функций спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инвариантны по отношению к пропорциональным изменениям цен и дохода.

хх°(арх, ар2, af) = хх°(рх, Pv ^ х°(арх, ар2, аГ) = х°(рх, р2, Г)

для любого числа а > 0. Это означает, что если все цены и доход изменятся в одно и то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй - безразлично) останется неизменной.

Пример задачи потребительского выбора

Решим одну простую задачу потребительского выбора с двумя благами. Пусть неизвестные количества этих благ равны х, и х2, а их рыночные цены рх и р2.

f/(x|,x2) = xlx2(max),

рххх+р2х2<1, (12) х, > 0, х2 > 0.

Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность равна нулю, если одно из них отсутствует), требования неотрицательности переменных будут выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача математического программирования превращается в классическую задачу на условный экстремум. Записав необходимые условия экстремума (согласно которым, отношения предельных полезностей благ должны равняться отношениям их рыночных цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений:

 

*2-Р>

- -, рххх + р2х2 = I.

 

Первое условие означает, что в рассматриваемой задаче количества денег, затрачиваемые на оба блага, должны быть одинаковыми, то есть х2р2=ххрх. Это вытекает из равенства "весов", или показателей степени у переменных х, и х2 в функции полезности. Итак, х2р2

+ ххрх =   и функции спроса приобретают вид

(13)

Итак, расход на каждое благо составляет половину общего дохода потребителя, и чтобы найти необходимое количество каждого блага, следует разделить расходуемую на него сумму на его цену.

Для этой простой модели мы могли бы найти решение без использования метода множителей Лагранжа, выражая х2 через xt из бюджетного ограничения, подставляя это выражение в функцию полезности (которая становится полиномом второй степени от одной переменной) и находя максимум полученной квадратичной функции. Проделайте это как самостоятельное упражнение, получив те же самые функции спроса. Для более сложных случаев, некоторые из которых будут рассмотрены в следующей главе, решить задачу элементарными методами сложно, и требуются методы дифференциального исчисления (например, тот же метод множителей Лагранжа) или математического программирования.

Случай потребительских наборов (де,, хн) из п продуктов принципиально не отличается от случая двух продуктов, но технически несколько сложнее. Этот случай здесь отдельно не рассматривается.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |