Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

9.3. общая модель потребительского выбора

В предыдущем разделе рассмотрена типовая модель потребительского выбора с двумя товарами и ее решение с помощью метода множителей Лагранжа. Сейчас мы рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом товаров и целевой функцией общего вида, а затем перейдем к некоторым конкретным задачам, включая анализ компенсированного изменения цен.

Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя м(хр х2, ... , хн), где х. - количество /-го блага, вектор цен {р) = (/>,, р2, pt) и доход /. Записав бюджетное ограничение и ограничения на неотрицательность, получаем задачу

и(х) -» max

(14)

при условиях

рх<1, х>0 (здесьx=(xl,...,xi),p= (pl,...,pl),px=p,xl+...+pjcK).

Будем, как и ранее, считать, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.

Функция Лагранжа Цх,Х) = и(х) + (рх - Г).

Необходимые условия экстремума - равенство нулю частных производных:

Lt' =    + Xpj = 0 для всех / от единицы до п и Lx'=px - 1=0.

Отсюда вытекает, что для всех i,j в точке х° локального рыночного равновесия выполняется равенство

 

которое получается после перенесения вторых слагаемых необходимых условий в правую часть и делением /-го равенства на у-ое. Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ равно отношению их рыночных цен. Равенство (15) можно переписать и в другой форме:

 

(16)

Последнее означает, что дополнительная полезность, приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в точке оптимума одинакова по всем видам благ. Если бы это было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции пол-

и; и/

езности) потребителя. Если для некоторых і J — > — то некото-

рое количество денег можно было бы перераспределить от /-го блага кУ'-му, увеличив уровень благосостояния.

9.3.1. Модель Р.Стоуна

Выведем теперь функцию спроса для конкретной функции потребительского предпочтения, называемой функцией Р.Стоуна. Эта функция имеет вид:

Л

"(*) = П (х~а)"' -> max.

(17)

 

Здесь а. - минимально необходимое количество /-го блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора. Для того чтобы набор {а.} мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход/был больше Ира. - количества денег, необ-

ходимого для покупки этого набора. Коэффициенты степени а>0 характеризуют относительную "ценность" благ для потребителя. Добавив к целевой функции (17) бюджетные ограничения

Е pjai < I, хх > 0,..., хя > 0, получим задачу, называемую моделью Р.Стоуна. Приравняв нулю частные производные функции Лагран-

а,м(х)

жа по переменным х, получаем для всех / от 1 до л: ——+л/7,=0, откуда

х = а - Ц—. (18)

р.        v '

К этим условиям добавляется равенство Е рх-1=0, выполнение

которого эквивалентно равенству нулю частной производной функции Лагранжа по переменной X. Умножив каждое /-е условие на Xpt и просуммировав их по /, имеем

 

Е аи(х),.+ XL рх. - Х2~2 pa. = 0. (19)

 

Поскольку в точке оптимума бюджетное ограничение выполня-

V         , п          и{х)      1 ~ 5>ft

ется как равенство, заменим 2-, pxj на /. Получим —^— " —     .

Отсюда имеем функцию спроса:

х, = а, + -Ц      (20)

лЕ«,-

і

Эту функцию легко проинтерпретировать и запомнить следующим образом. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага а.. Затем рассчитывается сумма денег, остающаяся после этого, которая распределяется пропорционально "весам" важности а.. Разделив количество денег на цену рр получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество /-го блага и добавляем его к а..

Модель Стоуна имеет различные частные случаи: например, ког-

/

да все а. = 0, а все а. равны между собой, получаем х. = — (то есть

доход делится на п равных частей и спрос на і-й товар рассчитывается как частное отделения полученной суммы денег на его цену).

В данном случае мы видим, что спрос растет при росте дохода с эластичностью, равной единице, и уменьшается с ростом цены с эластичностью, равной минус единице. Тем самым каждый товар в этой модели является нормальным и ценным. Кроме того, спрос растет до бесконечности при бесконечном росте дохода - в этом смысле каждый товар является "предметом роскоши".

Для того чтобы описать более разнообразные формы поведения спроса на различные товары, модель должна включать другие, более сложные виды целевой функции предпочтения. Например, при функции предпочтения

фс|,х2)=х|вх2*-в(х1 + Ь - а)"

(где a, b - параметры) функция спроса имеет вид al

xi = / + bp (типичная функция спроса для предметов первой /(/ + Ріф - о))

необходимости) и х2 =         J + ьр   (типичная функция спроса

для предметов роскоши).

9.3.2. Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации

 

Если функция спроса имеет вид х. = — (или, при не равных /а,

между собой а., х = ——), то спрос на /-й товар не зависит от

j

цены на любой у'-й товар. Вообще говоря, перекрестные функции спроса от цен характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость. Если при росте цены на товар /, при снижении спроса на і-іл товар, растет спрос на товар у - эти товары взаимозаменяемы. Наоборот, если спрос нау'-й товар также падает, - они взаимодополняемы. Заметим, что реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены /-го блага:у'-е благо может заменять /-е в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния. Практически компенсированное изменение цены изображается следующим образом (рис. 9.4).

Пусть цена первого блага повысилась с рхх до р2, тогда бюджетная прямая из положения 1 перейдет в положение 2. Точка А на линии безразличия /.,, касающейся первоначального бюджетного ограничения, будет заменена новой точкой оптимума В, где новая линия безразличия /д касается новой бюджетной прямой. Если мы хотим компенсировать потребителю потерю благосостояния, то увеличим его доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3 (параллельная линии 2) коснулась в некоторой точке С прежней линии безразличия 1Л. Направленный отрезок А С показывает "эффект замены" при росте цены, то есть изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостояния. Направленный отрезок СВ отражает "эффект дохода", то есть изменение потребительского спроса при сохранении соотношения цен благ и изменении уровня дохода. Общий результат роста цены (при отсутствии компенсации) выражается направленным отрезком АВ.

Для формального анализа компенсационных эффектов рассмотрим вначале две задачи.

Пусть целевая функция потребителя (ЦФП) зависит от двух благ, х, и х,, следующим образом: м(хрх2) = х,-х, -> max. Пусть цены благ равны, соответственно, 10 и 2, а доход потребителя - 60. Тогда,

„ , 60-60 согласно полученной формуле функции спроса, *і=2~їо=3' x2=J2=

15; и—45. Пусть теперь меняется с 2 до 7. Каков необходимый размер компенсации? Чтобы приобрести прежний оптимальный на

бор, потребителю необходимо дополнительно (7-2)15 = 75 денежных единиц. Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 75. Пусть потребитель получает дополнительно количество денег М. Тогда при новых ценах его спрос на

первое и второе блага будет равен: дс, =

60 + м       60 + М „

__; х2 = ___ Целе-

Подпись: (60 + М)г

, и это выражение должно

вая функция х -дс, будет равна

12 ~-,"~* г 10-7-4 равняться начальному м*=45. Отсюда М <* 52,25, что существенно меньше, чем 75.

Теперь решим задачу в более общем виде. Пусть по-прежнему и(хх,х2) = хх хг, цены благ равны рх и р2, а доход /. Очевидно,

 

хггр; dP~~2pf Ті~гР; Щ-°

Пусть теперь цена рх выросла в г раз (z > 1), и при этом потребитель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода

обозначим через 7, спрос - хх и х2. Очевидно, *, = т—і *2 = Jz- и

/           г          -           - _ х

условие компенсации ,   „ - -т—-, откуда      •/ ; *і—р

ZZPi Ц>і

'2 -Г

4zpj)2     '        ' ■    ■ 2vz.

Итак, спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится в fz раз (а не в z раз, как без нее), а спрос на второй товар в УГ раз вырастет. В случае роста цены второго товара ситуация будет

полностью симметричной. Таким образом,

дх,

dpj

> 0 при / = 1,

j = 2 или j = 1, / = 2. Индекс сотр означает, что перекрестная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода. Условие компенсации снимает "эффект дохода", оставляя лишь"эффект замены", что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценивать эти характеристики. Блага / и j называются взаимозаменяемы-

ми, если

дх.

> 0 и

дх:

дРі

> 0 (эти два условия равносиль-

 

ны), и взаимодополняемыми, если

дх,

dpj

< 0 и

дх,

дРі

< 0.

Рассчитаем теперь эти частные производные для рассматриваемой задачи, когда рх растет в z раз. В этом случае приращение

_с,=—Ax^Jzx^-x,; Ap=zpx-pv Отсюда 4г

Подпись: v/T)
Подпись: **' " v£~-(z-l)дхх дрх

Jt,(l

= lim

coni/t Р

= lim

г-1

 

2*

 

4ff

 

dx2

 

1)

lim-

.. хг(}/Г = hm—-

p|V/T(Z-1)       ptJz(Jz  * 1)     2P* 4№

Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости благ в рассматриваемой задаче.

9.3.3. Уравнение Слуцкого

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е.Слуцким в 1915 году. Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса. Мы не будем выводить уравнение Слуцкого, лишь приведем его в используемых здесь обозначениях, сделав некоторые комментарии:

(21)

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель х. приводит их к одной размерности). Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода. Для ценных товаров вели-

чина __>{>, т.е. спрос растет при росте дохода. В этом случае,

д!

дх,

dpj

дх<

: если спрос растет,

согласно уравнению Слуцкого, < то он растет больше при наличии компенсации, если падает - то в

меньшей степени. Может оказаться и так, что     < О, но

dpj

 

сотр

>0,

то есть товары і и j взаимозаменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации. Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих / и j (запишите его для последнего случая самостоятельно). Из обычно постулируемых свойств функции полезности потребителя Г)-2') вытека-

ет, что

< О (на графике это обусловлено выпуклостью

линий уровня функции полезности). Если, в таком случае, вдруг

оказывается, что -щ^ > О (спрос на товар растет при росте цены -

такие товары называются товарами Гиффина), то отсюда вытекает, Эх.

что —-1 < 0 - то есть это обязательно малоценный (худший) товар.

01

Обычно приводимый в качестве примера товара Гиффина картофель удовлетворяет этому условию, в то же время золото, например, не может ему удовлетворять. Таким образом, рост спроса на золото при росте его цены, наблюдавшийся одно время в СССР, нужно объяснить другими причинами, - главным образом, скрытой инфляцией и узостью сферы вложения свободных средств населения в тот период.

Выпишем и проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи потребительского выбора с функцией полезности и(х1,х2)=х1х2. Как было получено,

дх,

дх,

1

1

дх.

^=0;

дРх 2р2' 3/ 2Pi' Э/>, Отсюда

дхх

О.

дх2

-tpj>v

 

I

2р]

I

1

2/>,

/

=-^,и0= 2р]

2р2

2/>,

=0.

Итак, в обоих случаях уравнения Слуцкого (при i=jw при / ф/) здесь выполнены. Уравнение Слуцкого может быть использовано

для нахождения

дх,

dPJ

, то есть для расчета эффекта замены и

оценки взаимозаменяемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются значительно легче (как это было показано выше).

Рассмотрим теперь более подробно эластичности функции спро-

дх, х,

са. Эластичность спроса по цене равна е.. = -гг '■ —, эластичность

dPj Pj*

Подпись: ар,

спроса по доходу е.=— : ^. Для функции х. = a-=J-

dl I

эластич-

ность еи — -1; et] = 0 (/' ф j); еП = 1 (как это было показано выше).

• Как уже говорилось, если в функции спроса x=xij)vp2,..., рп,Г) все цены и доход увеличить в одно и то же количество раз X, то спрос х. не изменится. Таким образом, xfX.p^F) = А.°х.(/?,7) = xjlj),!), то есть, функция спроса является однородной нулевой степени. Отсюда, согласно уравнению Эйлера должно выполняться равенство

дх.

РҐ

ЭХ;

I = О

(22)

разделив которое на хр получим равенство ^ еи + ец = 0, то есть

j

нулю должна равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.

В качестве иллюстрации покажем, что если в задаче потребительского выбора всего два товара, то они обязательно являются взаи-

мозаменяемыми. Для этого воспользуемся тем, что

дХ;

< 0, и

положительностью частных производных функции полезности. Предположим, что выросла цена 1-го товара рг Поскольку

дх, ~b~pt

 

< 0, спрос на этот товар при условии компенсации падает.

Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в которой обоих товаров меньше, чем в начальной. Следовательно, в этой точке значение функции полезности и(хгх2) должно быть также меньше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному). Следовательно, спрос на второй товар

при условии компенсации должен вырасти (т.е. является взаимозаменяемым с первым товаром.

дх2 ~д~Рі

 

> 0), и он

 

Вопросы и задачи к главе 9

Что означает отношение предпочтения?

Каким свойствам должна удовлетворять функция полезности?

Каков экономический смысл свойств функции полезности?

Приведите пример функции полезности.

Сформулируйте задачу потребительского выбора.

Выпишите необходимые условия решения задачи потребительского выбора.

Приведите геометрическую интерпретацию решения задачи потребительского выбора.

Что такое функции спроса? В чем состоит условие их однородности нулевой степени, его экономический смысл?

Почему в точке оптимума задачи потребительского выбора бюджетное ограничение выполняется как равенство?

Изобразите графически линии уровня ЦФП и бюджетное ограничение так, чтобы ограничения х > 0 стали существенными для решения задачи потребительского выбора.

В точке оптимума полезности приращения благ, приходящиеся на одну затрачиваемую денежную единицу, равны между собой. Поясните.

Какие параметры потребительских предпочтений задаются эк-зогенно в модели Стоуна?

Запишите формулу для суммы денег, затрачиваемой для приобретения /-го товара в решении модели Стоуна.

Зависит ли сумма денег, расходуемая на товар / в решении модели Стоуна, от цены товара j (/ * j):

а)         при а = 0?

б)         при cij > 0?

Ведут ли себя товары в модели Стоуна как предметы первой необходимости или предметы роскоши с точки зрения зависимости спроса на них от дохода?

В чем состоит воздействие на спрос эффекта замены и эффекта дохода при изменении цены одного из благ? Изобразите графически семейства линий уровня ЦФП и бюджетное ограничение, когда эффекты замены и дохода воздействуют на спрос на некоторый товар:

а)         в одном направлении;

б)         в разных направлениях.

Равнозначно ли воздействие на потребительский спрос увеличение дохода в к раз и сокращение в к раз всех цен? Сделайте выводы для рассматриваемой модели и для реальности и сопоставьте их.

18. Предположим, что функция спроса на товар х, зависит от его

цены рх и дохода потребителя / следующим образом: \%—Ї. Ис-

Р

дрх

дх,Л

пользуя уравнение Слуцкого, рассчитайте

' J CWIIfJ

Могут ли все эластичности спроса на товар / по доходу и по ценам быть неотрицательными?

Запишите какую-нибудь функцию спроса, для которой спрос на /-й товар эластичен как по цене, так и по доходу, то есть е.. < -1, а е.. > 1.

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ рх = 10, р2 = 2 и доходе /= 60, со следующими функциями предпочтения:

 

и = хх х, -> max;

и = ххУг х2\% -> max;

и = (х.-у (х-З)* max;

и - 5(4 - х,)2 + (20 - х2)2 -> min.

Для каждой задачи изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |