Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

Глава 10 производственные функции 10.1. понятие производственной функции одной переменной

Производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции

У=Лх) (1)

В формуле (1) х (х > 0) и у (у > 0) - числовые величины, т.е. у = Дх) есть функция одной переменной х. В связи с этим производственная функция (ПФ)/называется одноресурсной или однофак-торной ПФ, ее область определения - множество неотрицательных действительных чисел (т.е. х>0). Запись у =Дх) означает, что если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц, то продукция выпускается в количестве у = Дх) единиц. Символ / -знак функции - является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. Символ / связывает между собой независимую переменную х с зависимой переменной у. В микроэкономической теории принято считать, что у - это максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно, при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ - это статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика у =Дх, а), где а - вектор параметров ПФ.

Пример 1.1. Возьмем ПФ / в виде Дх) = ах6, где х - величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), Дх) - объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и Ь - параметры ПФ / Здесь а и b -положительные числа и число b < 1, вектор параметров есть двумерный вектор (а, Ь).

График Г производственной функции у — ах* изображен на рис. 10.1. На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса х объем выпуска у растет, однако при этом каждая дополни-

 

 

 

У і

, уахь

Ахх)

Г

 

 

AV1) г

 

—/ і        і І

0

 

Рис. 10.1

тельная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности. ПФ у = ах4 является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты - выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у = ах4, рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) - имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее хозяйственная система региона или страны) - имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные х,,..., хп которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных п равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

у = Ах) = Ах{, ... , хп).       ' (2)

В формуле (2) у (у > 0) - скалярная j ax - векторная величина, хр

хп - координаты вектора х, т.е. Дхр ... , хп) есть числовая функция нескольких (многих) переменных х,, ... , хп. В связи с этим ПФ Дхр ... , хя) называют многоресурсной или многофакторной ПФ. Более правильной является такая символика Дхр ... , хи, а), где а -вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу х, > 0, ... , хя > 0, следовательно, областью определения многофакторной ПФДхр ... , хя) является множество п-мерных векторов х, все координаты х,,..., хя которых неотрицательные числа.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ^Дх,, ... , хя) может связывать объем выпуска (в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала (измеренных обычно в натуральных единицах). ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х, (=А) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд(х2 (=_) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную ПФ д"х(, х2), или Y-J[K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трех-факторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ у =ЛХ1> х2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов: х,(0), х,(1), ... , х,(7); х2(0), х2(1), ... , х (Т); у(0), у(1),..., у(Т); y(t) =Ax,(t), x2(t)). Здесь /- номер года, t = 0, 1, ... , Т; t = 0 - базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1, 2, ... Т.

Пример 1.2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = OqX^'X/1, где а0, ava2 - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто о, и а2 таковы, что о, + а2 = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х, = А"равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), х2 - L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

У = aQK°>L°K

Графиком ПФ у = ajcfw* (о, + а2 = 1) в трехмерном пространстве является двумерная поверхность Г, эскиз которой представлен на рис. 10.2. График Г в рассматриваемом случае есть коническая поверхность, направляющей которой является, например, линия L, а образующими - лучи, выходящие из точки О. Пусть х2 = х2° > 0, тогда у = (а0(х2°)"')хи мы получаем вариант ПФ, аналогичный рассмотренному выше (см. рис. 10.1 и рис. 10.3). Линия G есть пересечение поверхности Г вертикальной плоскостью х2 = х,0. На рис. 10.3 представлен фрагмент рис. 10.2, относящийся к линии G. Поведение линии G отражает то обстоятельство, что с ростом затрат первого ресурса объем выпуска у растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса обеспечивает все меньший прирост выпуска у. Это обстоятельство можно прокомментировать следующим образом. Если число работников и их квалификация остаются неизменными, а число обслуживаемых ими станков (которое уже достаточно велико) увеличивается, например, в два раза, то это естественно не приведет к двойному росту объема выпуска. Отметим, что если о, + о2 < 1, то графиком ГПФКД является поверхность, которая напоминает выпуклую вверх "горку", крутизна которой падает, если точка (хр х2) перемещается на "северо-восток" по плоскости Oxtx2.

Пример 1.3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у = а0 + a,x, + or (двухфакторная) и у - aQ + ^х, + ... + ах (многофакторная). ЛГГФ принадлежит к классу так называемых адЪитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

у = Оо*/"*/'

этот переход имеет вид: in >>=1п я0+я,In x,+fl2ln х2.

Полагая In y=w. In x,=v, и In x=v2, получаем аддитивную ПФ

VV=ln flg+fl^Vj+flj-Vj.

Выполняя обратный переход, из аддитивной ПФ получим мультипликативную ПФ.

Если сумма показателей степени в ПФ Кобба-Дугласа у = a0Ka,La> равна единице (а, + а2 = 1), то ее можно записать в несколько другой форме:

-           —        ""ft I -Г"

Y    [ К

те- z-Чт

Y К

Дроби j = z и Т — к называются соответственно производитель-

ностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим

Z = а0№,

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофактор-ную ПФКД. В связи с тем, что 0 < а, < 1, из последней формулы следует, что производительность труда z растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

у

Отметим здесь, что дробь -р называется производительностью

К

капитала или капиталоотдачей, обратные дроби у и у называются

соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска. ПФ называется динамической, если:

время / фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

параметры ПФ и ее характеристика/зависят от времени /.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным временных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью Т0 лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность Т0 лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ

Т

следует проводить не более чем на — лет вперед (т.е. промежуток

Т

экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем лет).

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП ef", где параметр

6 О. О. Замков

(число) р(р> 0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

y(t) = е^Дх,(/), x2(t)) (/ = 0, I,..., Г).

Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = j{A{t)L{f), K(t)) или Y(t) = J[A(t) K(f), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример 1.4. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП y(t) — a0ef"x^t)°x2(f)

Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы функции Дх,, х2) называется спецификацией ПФ у — Дх,, х,).

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ у = Дх,, х2) на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ у =

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.

Выбор аналитической формы ПФ у = Дх,, х2) (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ. Отметим здесь, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

Пример 1.5. Приведем в качестве иллюстрации значения параметров о, и а2 макроэкономической ПФ Кобба-Дугласа Y = aQK"'L"' для экономики США, рассчитанные разными авторами для разных базовых временных промежутков (априори не предполагалось, что обязательно а, + а, = 1) (см.: Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974, с. 113):

 

 

Базовые временные промежутки (или годы)

Параметры

Авторы, проводившие исследования

°«

 

а, + а2

1899-1922 гг.

0,25

0,75

1,00

Дуглас

1904 г.

0,31

0,65

0,96

Дуглас

1914 г.

0,36

0,61

0,97

Дуглас

1919 г.

0,25

0,76

1,01

Дуглас

1869-1948 гг.

0,70

0,25

0,95

Валаванис

1900-1953 гг.

0,16

0,84

1,00

Клейн

1909-1949 гг.

0,35

0,65

1,00

Солоу

1921-1941 гг.

0,34

2,13

2.47

Тинтнер

1934-1959 гг.

0,41

0,91

1,32

Михалевский

1934-1956 гг.

0,26

0,74

1,00

Михалевский

 

Параметры разными авторами рассчитывались по разным методикам, поэтому пестрота картины не является неожиданной. Обращает на себя внимание, что у всех авторов наблюдается значительное превышение параметра а2 относительно параметра аг Также почти у всех авторов сумма а, + а2 оказалась близкой к единице.

На основании данных по экономике СССР (динамика национального дохода, численности занятых в материальном производстве и объемов основных фондов), опубликованных за 1960-1985 гг., были рассчитаны параметры МАПФКД без учета НТП и с учетом НТП. Без учета НТП ПФКД имеет вид Y= 1,022 А0"82^4618 (коэффициент детерминации R2 = 0,9969, статистика Дарбина-Уотсона DW= 0,81; упомянутые здесь термины математической статистики будут проанализированы в главах 15, 16). При подстановке фактических значений К и L за 1986 г. ошибка прогноза с помощью выписанной ПФКД составила 3\%, что свидетельствует о том, что точность прогноза на основе рассматриваемой ПФКД относительно невелика. С учетом НТП ПФКД имеет вид Y= 1,038 eP^fP^L0'2™ (коэффициент детерминации R2 = 0,9982, статистика Дарбина-Уотсона DW=l,63) (см.: Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988).

10.2. Формальные свойства производственных функций

Производственная функция Дх,, х2) как формальная конструкция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, т.е. определена при х, > 0, х2 > 0. ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ - своему) свойств:

Д0,0)=0;

1 ".Д0,х2)=Дх,,0)=0;

х(1)>х(0) (х(1) * х(0)) ^Дх(1))>Дх(0)) МО-Щк)^*), *=0,1));

ЭДх)

2". х > 0 =>       > 0 (/=1,2), х=(х„х2);

а2Дх)

х > 0 =>-тт- <0 (/=1,2), х=(х.,х,);

ОХу    1 '

3"х>0=>"аТ^^0х==(хрх2);

Д/х1,/х2)=/'Дх1,х2).

Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска. Свойство 1" означает, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет. Свойство 2" (первая частная производная

ПФ

дх.

положительна) означает, что с ростом затрат одного ре-

сурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет. Упорядоченная пара (х,,х2) чисел х, и х2 для краткости здесь и далее обозначается символом х, т.е. х=(х,,х2).

Свойство 3 (вторая частная производная ПФ

дгЯх) дх!

неположи-

тельна) означает, что с ростом затрат одного (/-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу /-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности). Свойство 3" означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3-3", то фафик ГПФ есть поверхность, расположенная в неотрицательном ортанте х, > 0, х2 > 0, у > 0 трехмерного пространства Oxix2y и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (х,, х2) уходит в плоскости Ох,х2 на "северо-восток".

Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени р > 0. При р > 1 с ростом масштаба производства в t раз (число t > 1), т.е. с переходом от вектора х к вектору Сс, объем выпуска возрастает в f (> /) раз, т.е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства. При р < 1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства. При р = 1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства - в английской терминологии constant returns to scale).

Для ПФКД у = ciqXf'Xf' (а, + а = 1) свойства 1-4 выполняются.

Для ЛПФ у=а0+а]хі+а2х2 (а0>6, а^>0, а2>0) свойства 1 и Г (при я0=0) и свойство 4 не выполняются.

Множество (линия) / уровня q = Дх,, х2) (0 < q- действительное число) ПФу =Дх,, х2) называется изоквантой ПФ. Иными словами, линия уровня q - это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна q.

Различные наборы (vt, v2) и (wv w2) затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте / (т.е. q = Ду|7 v2) = Дм>., w2)), дают один и тот же объем выпуска q. Изо-кванта есть линия, расположенная в неотрицательном ортанте {(х,, х2)| х, > 0, х2 > 0} двумерной плоскости Ох,х2.

Пример 2.1. На рис. 10.4 даны эскизы изоквант /д1 и / ПФКД. Отметим, что изокванта / расположенная "северо-восточнее" изо-кванты /,, соответствует большему объему выпуска (т.е. q2 > g,).Если объем используемого основного капитала неограниченно растет (т.е. х, = К-> +оо), то, как видно на рис. 10.4, затраты труда неограниченно убывают (т.е. х2 = L -> +0). Аналогично, как видно на рис. 10.4, если х2 = L -> +оо, то х = А"-» +0. На рис. 10.5 даны эскизы изоквант / и /2 (q2 > q,) ЛПФ.

 

 

 

 

 

 

Ч

 

*4

 

 

 

 

 

 

 

IN.     і . N      N N

 

v2

■ і ■

^■

"——A v2 —- V,

'      N N

і .      і N.

>        1    N N

I        I      N >

1         1 N

 

0

 

 

xx 0

 

 

 

 

Рис. 10.4

 

Рис. 10.5

 

При п—2 для любой ПФ, для которой справедливы все (или часть) свойств 1-4, изокванта (если она не является прямой) есть линия (не обязательно гладкая), которая выпукла к точке О, т.е. линия, которая похожа на изокванту / рис. 4. Если график ГПФ похож на выпуклую горку, то естественно, что ее изокванты есть линии, выпуклые к точке О.

10.3. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

Пусть у = Дх) = Дх,, х2) - ПФ. Дробь

 

*§■ 0=1,2)

 

называется средней производительностью /-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по /-му ресурсу (фак-

тору производства). Символика: А. = —.

Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД Y = a0Ka,L°> для

„ Y Y

средних произвол ительностеи - и7 основного капитала и труда

К. Lt

были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых х^А'и x2-L.

Пусть у =Дх) = Дх,, х2) - ПФ. Ее первая частная производная

 

называется предельной (маржинальной) производительностью /-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском

по /-му ресурсу (фактору производства). Символика: М, =

Обозначим символами Дх. и А,(Дх)) (A^X|,x2)=Ax,+Ax,,x2)^X|,x2);

А2Дх1,х2)=Дх1,х2+Ах2)-Дх,,х2)) соответственно, приращение переменной х. и соответствующее ей частное приращение ПФДх). При малых Дх имеем приближенное равенство

 

дх, А*/

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х(. /-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину

Щр (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин, т.е. АДх) и Дх.. Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экономического смысла ППФ С другими предельными величинами следует поступать аналогичным образом.

Задача 3.1. Для ПФКД у = вдХ/Чх/' найти в явном виде Av А^, Mt и М2.

Решение задачи. Имеем:

л = L = М = .-i », • A = 2- = Ш = •

а      x,            x,        а0*/    Х2 ' ' Л2      х2        х2       fl0*/ 'Х2 ' '

М, =      = а1/!,; М2 =      = я2-/!2;

Af, Af2

^- = a, < 1 => Mx < /1,; ^- = a2 < 1 => Л/. < AY

 

Для ПФ у = Дх) (не только для ПФКД) неравенства

М, </!, (/= 1,2)

(т.е. предельная производительность /-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.

Задача 3.2. Для ЛПФ у^а^+а^+а^ (я0>0, я,>0, a2>0) найти в явном виде Av Аг, Л/, и Mr Решение задачи. Имеем:

А =i = № = ^ + ai + afi.A = i = т=ал + afi + fl2>

I           j           і           "^1      ^       "^2          "^2       "^2       "^2 '

Л/,=-^ = о,, Л/2 = 1^--о2,

 

/4,        I           I'  А2   2 2

Пусть у = Дх) - ПФ, х = (х,,х2). Отношение предельной производительности М. /-го ресурса к его средней производительности у4.

называется (частной) эластичностью выпуска по /-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

dfix)

£< ~ 17 = fix) дх,

(/= 1,2).

Сумма Et + Е2 = Ех называется эластичностью производства. Поскольку при малом приращении Дх имеем приближенное равенство

dfix) дх,

 

X,

I

fix)

А,Л*) Лх)

I

Дх,

 

(крайнее правое выражение есть отношение двух относительных bjlx) ах,

величин        и —), постольку Е, (приближенно) показывает, на

сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты /-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Пояснение выражения Ер содержащего предельную величину dfix)

с помощью выражения, содержащего конечное приближение

ДА*)

этой предельной величины, является ключевым в понимании экономической сути частной эластичности выпуска по /-му ресурсу.

Задача 3.3. Выписать в явном виде для ПФКД выражения для Ev Е2и Ех.

Решение задачи. Имеем: Е=а  Е2 = а2,

Е* = £. + Е2 = а. + аг

Задача 3.4. Для ЛПФ y=aixi+a2x2 (о0=0) выписать в явном виде выражения для Ev £, и Ех. Решение задачи. Имеем:

*, dfix) _      а,*.         х2 ддх) аЛ

і    Дх) Эх,     а,х, + a^j'   2    Дх) дх2     а,х, + а^' £=£, + £,= 1.

Пусть j' = Дх) - ПФ, х = (хрх2). Предельной нормой замены (замещения) /-го ресурса (фактора производства)у'-м (аббревиатура: ПНЗФ и символика: R.) называется выражение

 

при постоянной у.

Обратим внимание на то, что / - номер заменяемого ресурса, у -номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) /-ого ресурса (фактора производства)у'-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Пусть выпуск у является постоянным (т.е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда первый полный дифференциал dy ПФ у =уТх) тождественно равен нулю:

 

(здесь dxr dx2 - дифференциалы переменных х,, х2), откуда, выражая первый дифференциал dxp получим (/*у):

дЛх) дх,

dXj = - -щА (/, у =1,2), (4) -дх-

откуда, поделив на dx., получим

дДх)

dx, дЛх)

dx, дх,

^ (/,у = 1,2). (5)

Эх,

На основании (3), (4) и (5) имеем:

ЭДх)

 

dxs

Отметим, что строгий вывод формулы (6) опирается в действительности на теорему о неявной функции, формулировка которой в настоящем пособии не приводится.

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство

Е хг

12      Е X ' с2 Л,

т.е. (предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если х, = К, х2 = L, то отношение Y ~ Т называется

капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичное -тей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

Пусть ПФ - двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Лх, и Ах2 имеем приближенное равенство

ах, Дх,

 

На основании (7) (предельная) норма замены ресурсов Rl2 (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у — а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу. См. рис. 10.6, на котором видно, что чем круче касательная к изокванте /(а) в точке

ах2

(х,, х2), тем больше выражение - и, следовательно, норма замены R]2 первого ресурса вторым.

Задача 3.5. Для ПФКД у = a^x^xf' выписать в явном виде выражения Rn и У?2|.

Решение задачи. Имеем:

ду

1

ду

дх,

1

дхг

 

„ - : ft,, —

ду_ Эх,

/

ду_ дх, а,х.

 

Задача 3.6. Для ПФ у=а0+а1х1+а2х2 выписать в явном виде выражения ft|2 и R2l.

Решение задачи. Имеем:

R,

ду_ дх,

I

ду_ дх, ду_ дх,

/

ду_ дх,

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |