Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

12.2. понятие динамического равновесия в экономике. простейшая модель равновесия

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил. Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия и опишем движение такой системы в непрерывном и дискретном случаях. В первом случае динамика системы описывается с помощью дифференциального уравнения, во втором - разностного уравнения.

Дифференциальное уравнение связывает изменения показателя (пусть наша система описывается одним показателем x(t), или просто х) со скоростью его движения х, или х. Будем считать, что скорость изменения показателя х пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения хе. Иными словами, чем дальше показатель отклонился от равновесного значения, тем быстрее он стремится вернуться к нему. Если в уравнении присутствует только первая производная х по времени, а сама связь линейна, то это линейное дифференциальное уравнение. Пусть оно имеет, например, следующий вид:

X = к(х - X),

где ^-коэффициент. В этом уравнении кхе - свободный член; без него уравнение х—кх называется однородным и его общее решение х — с Исходное неоднородное уравнение имеет частное решение х = хе (если величина х находится в состоянии равновесия), а общее его решение есть сумма любого частного решения и общего решения однородного уравнения, то естьх = х+с е*'. Учитывая, что при t = 0 величина х равна х(0), получаем с = х(0)-хе, и x(t) = x+(x(Q)-хе)е*'. Проверьте в качестве упражнения, что это решение удовлетворяет исходному уравнению. Если к < 0, то е*' -> 0 и равновесие устойчиво, то есть при отклонении величины x(t) от значения х она вновь стремится принять это значение. При к > 0 величина е*' -> оо и, соответственно, x(t) стремятся к бесконечности (если начальное состояние не совпадает с состоянием равновесия).

Система выходит к состоянию хе, как это показано на рисунке 12.1а. Ее поведение при к > О показано на рис. 12.16. Поведение динамических систем может также описываться, например, графиками рис. 12.1 в - 12.1г. Поведение в дискретном времени может быть описано с помощью разностного уравнения, связывающего величины х в соседние моменты времени, то есть xt и хм. Например,

 

» X

Хе^Х^^^у^^^Х^ Хе

X

! t

t

в дискретной ситуации, аналогичной уже описанной, может использоваться разностное уравнение xt = xt, + k(xti - х), решением которого (проверьте!) является xt = хе + (х(0) - х) (l+k)'. Это решение может быть найдено (аналогично непрерывному случаю) как сумма общего решения xt = с (1+к)' для однородного уравнения xt = (+k) xtи частного решения xt = хе для исходного разностного уравнения; с учетом xt = х(0) при t = 0. При к < 0 система в случае отклонения от хе будет двигаться в направлении хе, при к > 0 - уходить еще дальше от него. Равновесие устойчиво при -2<к<0 и неустойчиво при к>0 или к<-2 (при к<-1 показатель х каждый раз "перескакивает" равновесное значение хе, причем при к<-2 - слишком далеко, чтобы приблизиться в конце концов к хе).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |