Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

12.3. примеры моделей экономической динамики

Рассмотрим теперь два примера моделей макроэкономической динамики, реализующих дискретный и непрерывный подходы. В обоих случаях модели носят весьма общий, абстрактный характер. В то же время их решение может быть найдено в явном виде, причем из него вытекают важные особенности для различных частных случаев соотношения их параметров. На этих моделях удобно продемонстрировать простейший аппарат дискретного и непрерывного динамического моделирования, проиллюстрировать важнейшие категории и проблемы макроэкономической динамики.

Паутинообразная модель

Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке, описываемом традиционными кривыми спроса и предложения (они показаны на рис. 12.2) при наличии запаздывания во времени (лага).

Пусть производители (например, зерновая ферма) определяют предложение товара в текущем периоде на основе цен, установив-

 

 

р

s

 

 

Q

шихся в предшествующем периоде, то есть Q(t) = Stipt_,). Таким образом, в функцию предложения вклинивается временной лаг продолжительностью в одну единицу времени. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.

Кривая спроса характеризует зависимость объема спроса на товар от цены товара в данном периоде, то есть Qu(t) = Dtip). Таким образом, динамику цены можно описать системой уравнений

Ш/=        Q,D=Dt{p), Q,D= Qt)

или одним уравнением

D,ip) = S,(PH). (7)

Из этого уравнения можно найти значение цены pt в текущий момент времени по известному значению р1Л в предшествующий момент времени. Схема решения очень проста:

Q0 -+Рп= L>4Q0) ->(?, = S(p0) ->/>, = Z>'(G,) -> Q2 = Sip,) -> ...

(где LJ] - обратная функция спроса).

В качестве частного случая рассмотрим паутинообразную модель, в которой функции спроса и предложения линейны:

S{p) = A +        D(p) = C- Ер, S(p) = Dip). (8)

Здесь B>0, так как функция предложения возрастающая; Е>0, так как функция спроса убывающая; С>А>0, то есть /J(0)>C(0)>0 (считаем, что при нулевой цене спрос превышает предложение). Уравнение, описывающее динамику такой системы, имеет вид

Dip) = SipJ, или С-Ер, = А + Вр1Л.

Найдем сначала равновесную цену р* и равновесный объем производства Q. Они должны удовлетворять уравнениям

Q = С - Ер = А + Вр

откуда

.    С - А       „.    ВС + АЕ

р = 7ГГЁ и Q = -ТТЁ-

Далее необходимо исследовать поведение цен и объемов производства в том случае, если начальная точка не совпадает с равновесной. Вначале эту задачу можно решить графически, получив рисунок типа "паутины", подтверждающий ее название. Задав некоторое первоначальное количество товара и цену, не совпадающие с точкой равновесия, будем последовательно наносить точки в соответствии с процедурой расчета по модели, соединяя их горизонтальными или вертикальными прямыми линиями. Из графического анализа можно получить следующие результаты. Если кривая предложения наклонена круче, чем кривая спроса, то равновесие на таком рынке будет устойчивым (см. рис. 12.3а). Если кривая спроса наклонена круче, чем кривая предложения, то равновесие на рынке будет неустойчивым (см. рис. 12.36). Наконец, при равном наклоне кривых спроса и предложения цены на рынке будут испытывать регулярные колебания с постоянной амплитудой (см. рис. 12.Зв).

Теперь перейдем к формальному анализу модели. Выражая pt через pt |, имеем следующее рекуррентное соотношение pt =

Є   А -     Последовательно применяя это соотношение, находим

В

С - А

 

Или в общем виде

С - А

 

 

Е Е

Выражение в скобках есть сумма геометрической профессии:

'і 1

1 - qn

SK = а{ (1 + q + q2 + ... + Г1)

а.

Если q\<, то Ііт5я =-            .

Для паутинообразной модели q = а

ь

-. Отсюда полу-

чаем выражение для цены pt в произвольный момент времени Ґ.

в

(- 1)'

(ю)

•Ро

1 - 1 - 1 )•

В

Е

С - А

1 +

Подпись: ВПодпись: С - А

р , то есть при

-> 0 и pt ->

Очевидно при    < 1

В + Е

более крутом наклоне кривой предложения, чем кривой спроса, равновесие является устойчивым. Если ^ >1, то есть более крутой

является кривая спроса, то

-> оо и процесс расходится (равно-

В

весие неустойчиво). При    =1, то есть при В = Е, значения р

чередуются вокруг равновесного значения.

Итак, определяющим моментом для устойчивости системы является менее сильная, сглаживающая реакция на изменения цены той функции, которая имеет временной лаг (здесь - функция предложения).

Q

В реальности при — > 1 бесконечно возрастающих колебаний, ь

конечно, не будет, так как при больших отклонениях от равновесия линейное приближение становится нереалистичным. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются нелинейные колебания большой, но конечной амплитуды, которые являются прообразом экономических циклов подъема и спада производства.

Самостоятельно предлагается рассмотреть следующую задачу: предположим, что временной лаг, равный 1, присутствует не в функции предложения, а функции спроса: St = А + Bp;, D = С - ЕріЛ; S = Dr Каким станет условие сходимости к равновесной точке? Изобразить этот процесс графически.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |