Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

12.4. модели макроэкономической динамики

 

Модель Харрода-Домара

В качестве примера модели с непрерывным временем рассмотрим модель макроэкономической динамики (простейший ее вариант - модель Харрода-Домара). Модель описывает динамику дохода Y(t), который рассматривается как сумма потребления C(t) и инвестиций I(t). Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основная предпосылка модели роста - формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям: I{t) =

В-^-, где В - коэффициент капиталоемкости прироста дохода, или приростной капиталоемкости (соответственно, обратная ему величина 4 называется приростной капиталоотдачей). Тем самым в мо-в

дель фактически включаются следующие предпосылки:

инвестиционный лаг равен нулю: инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала. Формально это означает, что AK(t) = 1(f), где AK(t) - непрерывная функция прироста капитала во времени;

выбытие капитала отсутствует;

производственная функция в модели линейна; это вытекает из пропорциональности прироста дохода приросту капитала:

dY(t) = ±d(K(t))dt. Линейная производственная функция Y(t) = aL(t) + bK(t) + с,

где b = 4, обладает этим свойством в том случае, если либо о=0,

о

либо £(/)=const. Тем самым следующая предпосылка такова:

затраты труда постоянны во времени либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом;

модель не учитывает технического прогресса. Перечисленные предпосылки, конечно, существенно огрубляют

описание динамики реальных макроэкономических процессов, делают затруднительным применение данной модели, например, для непосредственного расчета или прогноза величины совокупного выпуска или дохода. Однако данная модель и не предназначена для этого; в то же время ее относительная простота позволяет более глубоко изучить взаимосвязь динамики инвестиций и роста выпуска, получить точные формулы траекторий рассматриваемых параметров при сделанных предпосылках.

Зависимость, связывающая между собой во времени показатели инвестиций, определяемый ими объем основного капитала и уровень выпуска (дохода), является базовой во всех моделях макроэкономической динамики. Кроме того, в этих моделях необходимо определить принципы формирования структуры выпуска (дохода), распределения его между составляющими, прежде всего - между потреблением и накоплением. Эти принципы могут основываться на оптимизационном подходе (обычно это максимизация совокуп

ных объемов потребления в той или иной форме), экстраполяцион-ном, равновесном и других. В рассматриваемой модели предполагается, что динамика объема потребления С(0 задается экзогенно. Этот показатель может считаться постоянным во времени, расти с заданным постоянным темпом или иметь какую-либо другую динамику (в первых двух случаях более просто получить решение модели).

Простейший вариант модели получается, если считать C(t) = 0. Этот случай совершенно нереалистичен с практической точки зрения, однако в нем все ресурсы направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста. В этом случае получаем:

Y(t) = С(0 + /(0 = 0 + B^l = BY(t). (И) Это - линейное однородное дифференциальное уравнение, и его

решение имеет вид Y(t)= К(0)-е^ (что легко проверить дифференцированием). Непрерывный темп прироста здесь равен -4- Это мак-

в

симально возможный (технологический) темп прироста.

Пусть теперь C(t) = Спостоянно во времени. Получаем неоднородное линейное дифференциальное уравнение Y(t)—BY(t)+C. Его частным решением является Y(t) = С, и складывая его с общим

решением однородного уравнения Y(t) = А -е^ , получаем его общее

решение Y(t) ~ А -е^ + С, откуда, подставив /=0, имеем А = К(0)-

Y(t) 1 дохода y(t) = -щ в этом решении равен y(t) = -g

С= /(0) и Y(t) = (К(0) - С)-е^' + С. Непрерывный темп прироста

1

составляет ^'

ПО)

- —1 ПО j 0н

 

в начальный момент времени (при г = 0) и,

возрастая, стремится к -4 при г-> оо (что понятно, поскольку доход

В

есть норма накоп-

1

Y(t)

растет, а постоянный объем потребления составляет все меньшую

С

его долю). Величина в скобках <х(г) =

ления в момент времени t, и темп прироста дохода оказывается пропорциональным этой величине, как и показателю приростной 1

капиталоотдачи ъ.

В

Итак, при прочих равных рост нормы накопления пропорционально увеличивает темпы прироста дохода. В то же время это снижает уровень текущего потребления, и для разрешения проблемы согласования конкурентных целей увеличения темпов роста и уровня текущего благосостояния в модель обычно включают элементы оптимизации. В этом случае решается оптимизационная задача на максимум общего объема потребления за конечный или бесконечный период времени. Для отражения предпочтительности более раннего получения результата в модель включается временное дисконтирование, при котором более ранний результат учитывается в критерии с большим "весом".

Наконец, рассмотрим вариант модели с показателем потребления С(г), растущим с постоянным темпом г. С(г) = С(0) е". Дифференциальное уравнение этой модели имеет вид Y(t)=BY(t)+C(<d)-e". Решение этого уравнения (проверьте дифференцированием!) таково:

Подпись: С(0) 1 - Вг
Y(t) =

т- т

1 - Вг

 

(12)

Из общих соображений ясно, что темп прироста потребления г не должен быть больше максимально возможного общего темпа

прироста 4, так как иначе потребление будет занимать все большую В

и в конце концов - подавляющую часть дохода, что сведет к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Ясно это и из формулы решения модели, поскольку в случае г > -1 коэффициент -—отрица-

В         1 - Вг

телен, а е" растет быстрее, чем е^ 1, - следовательно, второе слагаемое при этом отрицательно и через некоторое время "перевесит" первое.

В решении рассматриваемой модели роста при г < -4 многое

В

зависит от соотношения между г и р0 = — (в числителе стоит а0 =

1 - - норма накопления в начальный момент времени /=0). Если г = р0, то темп прироста дохода равен темпу прироста потреб-

(4

ления, и решением является ДО = К(0)-е^а'. Норма накопления а(ґ) в этом случае постоянна во времени и равна а0, а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоемкости. Именно эта модификация модели экономического роста, в которой постоянна норма накопления, называется моделью Харрода-Домара.1

Если в рассматриваемой модели роста і > г > р0, то требуемый темп прироста потребления оказывается слишком высоким для экономики. В этом случае коэффициент       " ^ _ дг отрицателен 1 .

и, поскольку -=>/•, первое, отрицательное слагаемое в решении

о

"перевешивает" в конце концов второе. Поэтому темп прироста дохода падает и становится с некоторого момента отрицательным. Через некоторое время сам доход становится равным нулю, после чего модель теряет экономический смысл. Это аналогично случаю

г > -L хотя ЗДесь уже дело не в том, что нужный темп прироста В

потребления в принципе недостижим за длительный период. В данном случае слишком низкой оказывается начальная норма накопления а0.

Если г< р0, то норма накопления, а вместе с ней и темп прироста

дохода растут, причем последний в пределе приближается к і. Од-

' Кстати, в хорошо известной нашим экономистам модели роста - схемах расширенного воспроизводства К. Маркса - получается аналогичный результат. Темп

л,г

прироста дохода в схемах К.Маркса равен "ГТ~/Г' где "і " Н0Рма накопления в

М ^|

первом подразделении, г = — - норма прибавочной стоимости, л, = — - органическое строение капитала в первом подразделении (С - постоянный капитал, V - переменный капитал, М - прибавочная стоимость). В терминах рассматриваемой модели роста:

&(С + V) _ АК1 * яі) . 1 * яі Д(К - М) ~  ДП1 * г) "  1 + г' а а = ДК + ДС _ ДК + ДС _ _ z

o0       л,г(1 + г) "iZ

Отсюда — - —           —        гт = ~. г-, что показывает совпадение результатов

D        (1 * Z)(l  * 1]J       1 + Л|

в этих двух моделях роста с постоянными значениями структурных параметров.

нако в этом случае происходит "накопление ради накопления", ибо потребление растет заданным темпом г, а темп прироста дохода удается увеличить за счет более быстрого роста инвестиций. Норма накопления а0 здесь превышает Вт, и если исходить из задачи максимизации объема потребления, то эта норма слишком высока. Более высокий ее уровень требует увеличения инвестиций /(0) за счет сокращения потребления С(0) в начальный момент, что при фиксированном темпе прироста потребления г обусловливает более низкий его уровень на всей траектории. В то же время нужный темп

прироста потребления г <    можно поддерживать, как показано

выше, при а0 = Вт. Таким образом, если требуется поддерживать постоянный темп прироста потребления г, не превышающий технологического темпа, то для максимизации объема потребления за любой период нужно установить начальную норму накопления а0 = Вт. Более сложен вопрос о том, какой уровень темпа г более предпочтителен. Большая его величина позволяет обеспечить больший объем потребления за длительный период, но это происходит за счет сокращения потребления на начальном этапе. Таким образом, для выбора значения г (если оно предполагается постоянным) нужна информация о межвременных предпочтениях лица, принимающего решение.

Модель Солоу

Другой тип модели экономического роста представляет модель, предложенная лауреатом Нобелевской премии Р.Солоу. По сравнению с уже рассмотренной моделью роста модель Солоу позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов. Во-первых, производственная функция в этой модели нелинейна и обладает свойством убывания предельной производительности. Во-вторых, модель учитывает выбытие основного капитала. В-третьих, в модель Солоу включается описание динамики трудовых ресурсов и технического прогресса и их влияние на экономический рост. В-четвертых, здесь ставится и решается задача максимизации уровня потребления на некотором множестве устойчивых траекторий. Все это, конечно, усложняет структуру модели, и получение точных формул для траекторий изменения основных ее показателей становится существенно более сложной задачей. Поэтому некоторые другие аспекты описываются в базовой модели Солоу упрощенно: например, считаются постоянными норма сбережений и норма выбытия капитала, инвестиционные лаги отсутствуют, а производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба. Кроме того, на начальном уровне анализа модели ищутся не траектории изменения всех ее показателей (как в модели Харрода-Домара), а характеристики состояний устойчивого равновесия, к которым система выходит в долгосрочном периоде. С формальной точки зрения это представляет собой существенно более простую задачу.

Мы не ставим здесь задачу подробно излагать модель Солоу, сформулируем лишь основные ее предпосылки, обозначения и выводы.

Предпосылки и обозначения модели Солоу:

производственная функция имеет вид Y= F(K,L) (Y - выпуск или доход, К - капитал, L - труд). Отдача от масштаба постоянна: F(zK, zL) = zF{K,L). Предельная производительность факторов положительна, но убывает:

Г^О; rL>0; Г^<0; YL<Q;

величина выбытия капитала ^пропорциональна его величине К:

W= ЬК,

где 8 - норма выбытия;

норма сбережений (инвестиций) а постоянна, и инвестиции / равны а- К;

доход ^распределяется на потребление и инвестиции: Y= С+ /;

численность занятых L растет с постоянным темпом п;

трудосберегающий технический прогресс имеет темп g, то есть число единиц труда с постоянной эффективностью в расчете на одного работающего растет с темпом g.

При сделанных предпосылках производственную функцию можно

Y

рассматривать как зависимость производительности труда у = — от его капиталовооруженности к =-=-: у=Дк) (здесь L - число единиц

Li

труда с постоянной эффективностью (то есть численность занятых при отсутствии трудосберегающего технического прогресса, либо численность условных работников с одинаковой эффективностью -

і К ,

при его наличии). Это вытекает из того, что Y= F(K,L) = LF у;'1

= LF(k). Инвестиции приводят к росту капиталовооруженности, а выбытие капитала, рост численности работающих и числа единиц труда с постоянной эффективностью - к ее снижению. Прирост

капиталовооруженности к в результате инвестиций равен /=^. Темп

снижения капиталовооруженности за счет остальных факторов равен (5+n+g) (в точности равен, если Y,K,L - непрерывные функции времени, и приближенно равен в дискретном случае при малых 5,я,#). Величина снижения капиталовооруженности за счет этих факторов равна (8+n+g) к.

Величина к находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее прирост за счет инвестиций равен ее уменьшению за счет других факторов. Поскольку Y=C+I, после деления этого тождества на L имеем y=c+i, где у - доход, с - потребление, а / - инвестиции на одну единицу труда с постоянной эффективностью. Следовательно, величина / равна af(k). Условие стабильности показателя к, таким образом, записывается как

(13)

и величина к' называется устойчивым уровнем капиталовооруженности. На рис. 4 показана устойчивость равновесия при к=к'. Это - точка равновесия для показателя к, поскольку в этой точке величина удельного прироста капиталовооруженности равна величине ее удельного сокращения, и показатель к остается неизменным. Это равновесие устойчиво, поскольку при к<.к' удельные инвестиции превышают уменьшение капиталовооруженности, и ее величина растет. В случае к<.к', наоборот, удельные инвестиции ниже, чем уменьшение капиталовооруженности, и ее величина падает, пока не достигнет к'.

Капиталовооружённость

Из рис. 4 можно видеть, что в случае увеличения нормы сбережения а график функции инвестиций пойдет выше и, следовательно пересечет прямую {Ь+n+g) к правее. Итак, рост нормы сбережения приводит к увеличению устойчивого уровня капиталовооруженности к', а следовательно, и устойчивого уровня дохода на единицу труда/=/(£*).

Если численность работающих не растет (или растет медленнее), то есть показатель п равен нулю (или меньше по величине), то прямая (6+n+g) к имеет меньший наклон и точка к' сдвигается вправо. То же самое происходит при более низком (или нулевом) темпе трудосберегающего технического прогресса g.

В устойчивом состоянии темп прироста показателей k,y,c,i равен нулю. Поскольку все это - удельные показатели в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью, а эффективность труда одного занятого растет с темпом g, показатели капитала, дохода, потребления и инвестиций в расчете на одного занятого растут с темпом g. При росте численности занятых с темпом п общий объем капитала, дохода, потребления и инвестиций растет в устойчивом состоянии с темпом (n+g). Следовательно, модель Солоу показывает, что единственным источником длительного, устойчивого роста дохода на одного работника, а следовательно, и душевого потребления, является технический прогресс.

Как уже показано, каждому уровню нормы сбережения а соответствует определенное устойчивое состояние и свой уровень устойчивого потребления на единицу труда с постоянной эффективностью с. Можно поставить задачу отыскания устойчивого состояния, в котором величина с максимальна среди всех таких состояний. Поскольку в любом устойчивом состоянии выполняется равенство

Г = (5+л+?) к

с = у - Г =/[к') - (Ь+n+g) к',

требуется максимизировать по к' функцию [/{к')-(?>+n+g) к'. Необходимым условием максимума дифференцируемой функции является равенство нулю ее производной; в данном случае это означает равенство

f(k') = 6 + n + g. (14)

Это правило выбора оптимального объема капитала для максимизации удельного объема потребления называется Золотым правилом. Соответствующая ему величина капиталовооруженности к" называется капиталовооруженностью по Золотому правилу, а норма сбережения а* - нормой сбережения по Золотому правилу. Она может быть найдена из уравнения (6+n+g)k" = ajk"), являющегося необходимым условием устойчивого состояния. Удельная величина потребления по Золотому правилу находится как разница между доходом и инвестициями:

с" = ЛП - (8+n+g)k"

Рис. 12.5

В точке к" касательная к графику производственной функции параллельна прямой (6+n+g) к. Если темп роста численности занятых более низок, либо более низок темп трудосберегающего технического прогресса, то прямая (8+n+g)kстановится более пологой, и точка к" сдвигается вправо, а удельная величина потребления с" растет. Статистика в целом подтверждает, что в странах с более быстрым ростом потребления уровень душевого потребления более низок, хотя, конечно, в каждой конкретной стране своя производственная функция, норма выбытия и исходное состояние развития (вовсе не обязательно устойчивое).

Если первоначальная величина капиталовооруженности к' меньше, чем к", то имеет смысл увеличить норму сбережения до величины, соответствующей Золотому правилу, и постепенно экономика выйдет на максимальный уровень удельного потребления с". Отметим, однако, что вначале удельный уровень потребления снизится и лишь затем начнет постепенно расти, наряду с ростом удельных инвестиций и выпуска. Если же первоначальная величина капиталовооруженности к' больше, чем к", то нужно снизить норму сбережения до уровня, соответствующего Золотому правилу. Тогда экономика также постепенно выйдет на уровень удельного потребления с". В этом случае вначале удельный уровень потребления вырастет, превысив с", и затем начнет постепенно снижаться к с", наряду со снижением удельных инвестиций (выросших в началь-

Рис. 12.6а       Рис. 12.66

 

ный момент) и выпуска. Динамика показателей у,с,і для двух описанных случаев представлена на рис. 12.6а и 12.66.

Таким образом, если нас интересует прежде всего рост потребления в ближайшей перспективе, а не максимальный его равновесный уровень в долгосрочном периоде, то и задача оптимизации должна быть сформулирована по-другому. Задачи максимизации потребления на ограниченном периоде времени также хорошо изучены, но мы не будем здесь на них останавливаться.

Вопросы и задачи к главе 12

В чем основное различие задач экономической статики и динамики? Как соотносится рассматриваемый период времени для статических и динамических задач?

В чем различие содержания решаемых задач, математического аппарата и получаемых результатов для экономических моделей с дискретным и непрерывным временем?

Как может быть записана динамика показателя, растущего:

а)         с постоянным дискретным темпом?

б)         с постоянным непрерывным темпом?

Стоимость ценной бумаги каждый следующий год повышается на 50\% или понижается на 40\%. Что произойдет с этой стоимостью в длительной перспективе?

Доход У равен сумме потребления Си инвестиций /. Дискретный темп прироста потребления равен 10\%, инвестиций - 25\%. В начальном году (t = 0) С=500, /=150. Чему равен темп роста дохода Yв году 2?

Пусть в течение п лет, в конце каждого года, производится выплата кредитору суммы денег, равной 1. Процентная ставка равна /, все деньги кладутся кредитором в банк под этот процент. Какова будет у него сумма денег к концу года л? Какова должна быть ежегодная выплата в случае /=15\%, п=5, чтобы накопленная сумма денег равнялась 100?

Как пересчитать непрерывные темпы прироста в дискретные и наоборот?

Пусть оценена производная функция Кобба-Дугласа в темповой записи у = 0,4 /с + 0,77 + 0,5, где у, k, I - годовые темпы прироста дохода, капитала и труда (в \%):

а)         можно ли по этой формуле оценить величину вклада техни-

ческого прогресса в темп прироста дохода?

б)         можно ли оценить долю вклада технического прогресса в тем-

пы прироста дохода?

в)         как изменится формула, если темпы прироста измерять не в

процентах, а в абсолютном выражении?

Сформулируйте понятие экономического равновесия. Чем устойчивое равновесие отличается от неустойчивого?

Для дифференциального уравнения х=к(х-хе) приведите пример частного решения, сформулировав это понятие.

Запишите решение разностного уравнения х( = х1Л + k(xt ( - хс) и поясните его поведение при разных значениях коэффициента к. Может ли решение этого уравнения, и если да, то в каком случае, "перескакивать" состояние равновесия хе?

Имеется паутинообразная модель 5( = 20 + 30/?(_,; Z) = 100 - 50/?(; Sf = Dr Пусть />0=0,5, чему равно /?,?

Пусть в паутинообразной модели функция спроса равна Z) = —;

функция предложения St = 5р1Г /»0=1. Изобразите фафически динамику цен и объемов выпуска. Каковы равновесные цена и выпуск? Является ли равновесие устойчивым?

Пусть в макроэкономической модели роста темп прироста потребления задается экзогенно. Что произойдет, если он больше

1 о

технологического темпа прироста —

В

Как связан темп прироста выпуска с нормой накопления?

Как соотносятся темпы прироста выпуска в модели Харрода-Домара и схемах расширенного воспроизводства К.Маркса?

Как выбрать норму накопления при заданном темпе прироста потребления в макромодели роста?

В чем состоит проблема выбора наилучшего темпа роста потребления в модели Харрода-Домара? Какие Вы можете предложить подходы к ее решению?

Чем предпосылки модели Солоу отличаются от предпосылок модели Харрода-Домара? Какие общие принципы заложены в этих моделях?

Рассмотрите частный случай модели Солоу с постоянной численностью занятых и без технического прогресса. Запишите формулу для устойчивого состояния. Сформулируйте Золотое правило сбережения.

Рассмотрите частный случай модели Солоу с постоянной численностью занятых и с трудосберегающим техническим профес-сом с темпом g. Запишите формулу для устойчивого состояния. Сформулируйте Золотое правило сбережения.

22.       Пусть производственная функция имеет вид Y= 5 КА Vа е0,03'.

Норма выбытия капитала 0,08. Численность занятых растет на

2\% в год. Норма сбережения 25\%. Каков устойчивый уровень

капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффектив-

ностью? Каков устойчивый уровень удельного дохода, инвести-

ций, потребления? Соответствует ли данная норма сбережения

Золотому правилу? Если нет, то какой она должна стать для

этого? Каков устойчивый уровень удельного дохода, инвести-

ций, потребления по Золотому правилу?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |