Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

14.5. подготовка статистических данных и использование их в модели

При подготовке статистических данных для работы с экономической моделью возникают две проблемы. Во-первых, могут отсутствовать необходимые для модели данные. Во-вторых (если все данные есть), нужно правильно отобрать их для конкретной модели -так, чтобы они были согласованы и имели общую методическую базу оценки. При отсутствии нужных данных они нередко могут быть рассчитаны по имеющимися. Например, если отсутствуют данные о темпе инфляции (INF), но имеются данные о дефляторе валового внутреннего продукта (DEF), то инфляция (по ВВП) может быть рассчитана (в \%):

INF =

DEF DEF ,

" 1 100

(2)

(индекс -1 означает предшествующий год).

Если все нужные данные есть, то для модели необходимо их преобразовать в некоторый взаимно согласованный набор. Если это данные в денежном выражении, то это должны быть всюду одни и те же текущие, либо фиксированные (одного и того же года), денежные единицы. Реальным объемным показателям (то есть в фиксированных ценах) должны соответствовать реальные относительные показатели (например, процентные ставки нужно скорректировать на темп инфляции). В соответствии с решаемой задачей определяют и обобщающие показатели: валовой национальный продукт (ВНП, или GNP), валовой внутренний продукт (ВВП, или GDP), валовые внутренние или национальные сбережения, дефлятор ВНП или ВВП и т. д.). Например, если речь идет о внутреннем производстве и о влиянии на него внутренних инвестиций, то в качестве обобщающего показателя, на который влияют эти инвестиции, должен выступать ВВП, а не ВНП.

14.6. Различные способы представления экономических данных: таблицы, диаграммы, графики

Собранные данные могут быть представлены в различной форме: в виде таблиц, диаграмм, графиков. Сформулировав в явном виде экономическую модель, например, предположив, что совокупное потребление линейно растет с ростом совокупного дохода, мы должны собрать данные по тем экономическим показателям, которые входят в исследуемую модель, то есть данные по совокупному потреблению и совокупному доходу. Это можно сделать, например, взяв годовые данные из национальных счетов какой-либо страны за некоторый промежуток времени. Эти данные могут быть представлены в виде таблицы: так, в таблице приведены данные по ВВП ("доход") и объему личных потребительских расходов ("потребление") в США, в млрд. долларов в ценах 1987 г.

 

Год

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

Доход

3860

4114

4243

4362

4497

4674

4801

4840

4784

4907

Потребление

2533

2657

2772

2878

2961

3075

3141

3178

3161

3243

 

Эти данные могут быть представлены также в виде точек на координатной плоскости (диаграммы рассеивания):

Подготовленные данные могут быть подставлены в теоретическую модель, представленную аналитически (в виде некоторой математической модели, например уравнения CONS - а + bGDP +є) или в графическом виде (например, прямой линии на плоскости CONS GDP). Здесь CONS- потребление, GDP - ВВП (доход). При этом возникает ряд проблем, важнейшими из которых являются проверка согласованности теоретической модели сданными, оценка параметров модели и проверка предположений (гипотез), лежащих в основе модели.

Проверка экономических моделей: оценивание коэффициентов, проверка гипотез

Проверить экономическую модель - это значит, в первую очередь, определить, насколько она согласуется с реальными данными об изучаемом объекте. Для этого по эмпирическим данным вычисляются различные статистические характеристики, позволяющие оценить количественно параметры модели, проанализировать надежность этих оценок, проверить различные гипотезы, лежащие в основе исследуемой модели.

Построение теоретических моделей на основе экономических данных

Располагая экономическими данными, можно не только оценить параметры в уже имеющейся модели, но и выявить эмпирически неизвестные ранее закономерности. А затем уже, на основе выявленных закономерностей построить соответствующую теоретическую модель.

Статистические методы

Задачей экономического исследования является уяснение природы экономического объекта, раскрытие механизма взаимосвязи между важнейшими его переменными. Такое понимание позволяет разработать и осуществить необходимые меры по управлению данным объектом, или экономическую политику. Для этого нужны адекватные задаче методы, учитывающие природу и специфику экономических данных, служащих основой для качественных и количественных утверждений об изучаемом экономическом объекте или явлении.

Стохастическая природа экономических данных

Любые экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая природа экономических данных обусловливает необходимость применения специальных адекватных им статистических методов для их анализа и обработки.

Понятие случайной переменной

Фундаментальными понятиями статистического анализа являются понятия вероятности и случайной величины (переменной). Случайной переменной мы называем переменную, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Это переменная, которой (даже при фиксированных обстоятельствах) мы не можем приписать определенное значение, но можем приписать несколько значений, которые она принимает с определенными вероятностями. Под вероятностью некоторого события (например, события, состоящего в том, что случайная переменная приняла определенное значение) обычно понимается доля числа исходов, благоприятствующих данному событию, в общем числе возможных равновероятных исходов. Категория "равновероятные исходы" не определяется, а принимается интуитивно. Например, при бросании монеты выпадение орла и решки считается равновероятным (вероятность каждого равна Уг), а случайная величина числа "орлов" при одном бросании монеты может быть равна 0 или 1 с вероятностями Уг.

Совокупность значений {хк} случайной величины А'и вероятностей {Рк}, с которыми она их принимает, называют законом распределения случайной величины. Функция Рх), как и любая функциональная зависимость, может быть представлена в форме таблицы, формулы или графика. Например, закон распределения числа очков при бросании игрального кубика может быть представлен в виде таблицы:

 

X

1

2

3

4

5

6

р

Очевидно, что сумма всех этих вероятностей должна равняться единице, поскольку считаем, что с вероятностью "единица" переменная принимает хоть какое-нибудь из этих значений. Обычная (неслучайная, или детерминированная) переменная является предельным случаем случайной переменной, принимая единственное (при фиксированных обстоятельствах) значение с вероятностью "единица".

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина дискретна, если результаты наблюдений представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел. Случайная величина непрерывна, если ее значения могут лежать в некотором континууме возможных значений. (Это предполагает, что их нельзя пересчитать, ставя в соответствие им натуральные числа 1, 2,... .) Значения непрерывной случайной величины могут лежать на отрезке, интервале, луче и т. д.

14.12. Понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности)

В основе математической статистики лежат понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности).

Под генеральной совокупностью мы подразумеваем все возможные наблюдения интересующего нас показателя, все исходы случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины X. Пример генеральной совокупности - данные о доходах всех жителей какой-либо страны, о результатах голосования населения по какому-либо вопросу и т.д. Однако в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности, и называем это множество (точнее подмножество) значений выборкой. Таким образом, выборка - это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности. Выборка объема п - это результат наблюдения случайной величины в вероятностном эксперименте, который повторяется п раз в одних и тех же условиях (которые могут контролироваться), а следовательно, и при неизменном распределении случайной величины X. Процесс, который приводит к получению выборочных данных, называют выборочным исследованием.

Мы обычно говорим о генеральной совокупности, когда используем определенные теоретические модели, но на практике в нашем распоряжении имеются лишь выборочные данные, и поэтому мы можем строить оценки теоретических характеристик, основываясь лишь на данных выборочных наблюдений. Мы обсудим соотношение между теоретическими характеристиками и их выборочными оценками позднее. Подчеркнем лишь, что целью математической статистики является получение выводов о параметрах, виде распределения и других свойствах случайных величин (генеральной совокупности) по конечной совокупности наблюдений - выборке.

Выборку называют репрезентативной (представительной), если она достаточно полно представляет изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности. Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора, с тем чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку. Для обеспечения репрезентативности выборки применяют следующие способы отбора: простой отбор (последовательно отбирается первый случайно попавшийся объект), типический отбор (объекты отбираются пропорционально представительству различных типов объектов в генеральной совокупности), случайный отбор -например, с помощью таблицы случайных чисел и т.п.

Обработка экономических данных

Целью статистического исследования является обнаружение и исследование соотношений между статистическими (экономическими) данными и их использование для прогнозирования и принятия лучших решений. Под термином "статистические данные" мы будем подразумевать набор наблюдаемых значений одной или нескольких переменных, характеризующих изучаемое явление или рассматриваемый экономический объект.

Экономические данные, записанные в порядке их регистрации, обычно труднообозримы и неудобны для дальнейшего анализа. Задачей статистического описания данных является получение такого их представления, которое позволяет наглядно выявить их вероятностные характеристики. Для этого применяются различные формы упорядочивания данных - по возрастанию, по совпадающим значениям, по интервалам и т.п.

Дискретные случайные величины

Процедуру обработки дискретных выборочных данных рассмотрим на примере объема продаж холодильников в супермаркете за 10 рабочих дней. Пусть объемы продаж указаны в первой строчке нижеприведенной таблицы.

Данные наблюдений представляют собой выборку, состоящую из п = 10 наблюдений. Простейшим способом организации данных в выборке является их группировка по возрастанию - данные при этом упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности х*11^21,..., х*"1, в которой х*" <х*2) <... <х*н). Последовательность упорядоченных по величине данных приведена во второй строчке таблицы. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки х1"1-*1 "=5 называется размахом выборки.

х,,х2,.. д„

 

1,5,5,6,2,5,6,2,6,5

I

п = 10

хт < хт <...<. хт

 

1,2,2,5,5,5,5,6,6,6

I

S=5

 

Zj,

1

2

5

6 1 Е к *

абсолютные частоты

л*

1

2

4

3 |

10 - п

относительные частоты

 

0,1

0,2

0,4

0,3 |

1

накопленные частоты

ч.

0,1

0,3

0,7

1 1

функция распределения

Fk(z)

0

0,1

0,3

0,7 0

 

Следующим этапом организации выборки является подсчет частот, с которыми встречаются различные элементы выборки г г,,..., zk, где k < п - число различных чисел, содержащихся в выборке. Данная выборка содержит 4 различных числа: г, = 1, Z, = 2, г3 =5, ^ = 6.

Пусть число гу встречается в выборке п. раз, тогда число п называется частотой или абсолютной частотой элемента выборки z- Эти частоты приведены в четвертой строчке таблицы. Очевидно, что сумма абсолютных частот равна числу наблюдений:

 

От абсолютных частот удобнее перейти к относительным, определяемым по отношению к объему выборки п:

 

' п

Очевидно, что сумма относительных частот равна единице, т.е.

!>,= і-

Последовательность пар (г <о.) называют статистическим распределением выборки. Обычно статистическое распределение записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит различные элементы выборки Zj, а вторая - их относительные частоты ю..

При неограниченном росте числа наблюдений относительные частоты значений Zj стремятся к вероятностям Р. = РгоЬ{Л=г], а статистическое распределение выборки переходит в закон распределения дискретной случайной величины X.

Получение статистического распределения объема продаж важно для определения наиболее вероятных объемов продаж и, следовательно, соответствующих запасов товара.

Наряду с частотами подсчитываются также накопленные частоты:

т

 

которые показывают, сколько раз в выборке встречаются значения, меньшие или равные данной величине, и накопленные (кумулятивные) относительные частоты:

2>> = Qni,

приведенные в пятой строчке таблицы.

(3)

Вместо кумулятивных частот часто подсчитывают выборочную функцию распределения Fn(x), определяемую по значениям накопленных частот:

 

Zj<x пг,<х

где суммируются частоты только тех элементов выборки, для которых выполняется неравенство Zj < х. Значения выборочной функции распределения приведены в последней строчке таблицы. Ее отличие от кумулятивной частоты состоит в том, что она показывает, какое относительное число раз в выборке встречаются значения, меньшие данной величины (а не меньшие или равные). Выборочная функция распределения представляет собой кусочно-постоянную неубывающую функцию, обращающуюся в нуль при х<х{,) и принимающую значение "единица" при х > х(").

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |