Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

14.15. сравнение относительных частот в выборке и в генеральной совокупности. репрезентативность выборки

Проводя какой-либо вероятностный эксперимент, например подбрасывая монету Л/раз и подсчитывая число определенных исходов этого эксперимента, скажем, число выпадений орла No ., мы можем определить частоту появления данного исхода ("орла**1) в серии испытаний как отношения числа испытаний, в которых выпал "орел",

к общему числу испытаний (^JJi)- В общем случае мы можем дать

следующее определение.

Относительной частотой появления события v(Ak) называется отношение числа опытов Nk, в которых произошло событие Ак, к полному числу испытаний N:

*V-*S£ <«>

Проводя достаточно большое число опытов, мы можем заметить, что вначале, при малом числе опытов, частота появления какоголибо события, казалось бы, ведет себя случайным образом, но с увеличением числа испытаний ее значение стабилизируется, стремясь к определенному пределу, который и называется вероятностью этого события. Формально, такое, вообще говоря, нестрогое определение вероятности P{Ak) события Ak записывается так:

Г(Ак) = ш"^

(5)

N

если указанный предел существует.

Такое определение вероятности имеет смысл только при устойчивости частоты. Так, английский статистик Пирсон, подбросив монету 12000 раз, нашел, что частота появления "решки" составила при этом приблизительно 0,5069, а для 24000 бросаний - 0,5005, что приближается к классическому результату 0,5.

Рассмотрим следующий простой пример - бросание игрального кубика. В этом случае вероятности (Р) выпадения любого числа очков (X) от 1 до 6 одинаковы и равны '/б. Пусть генеральной совокупности соответствует распределение в верхней таблице, а некоторая выборка из нее представлена эмпирическим распределениями - в нижней:

 

X

1

2

3

4

5

6

р

 

хк

і

2

3

4

5

6

wk

0,16

0,17

0,17

0,16

0,17

0,17

 

Из таблиц видно, что относительные частоты в выборке близки к относительным частотам-вероятностям генеральной совокупности. Требование близости соответствующих частот соответствует понятию репрезентативности выборки.

Аналогично можно рассуждать в рассмотренном выше примере с дневными объемами продаж холодильников. Если рассматривать zk=k (дневное число продаж) в качестве значений случайной переменной Z, то при достаточно большом числе наблюдений относительные частоты появления значений zk будут стремиться к вероятности

ProbjZ = zk} = Hm^{ZJ Zk) , (6)

а относительные накопленные частоты - к вероятности

N{Z < z}

Prob{Z <z}= E Probiz = гЛ = FjLz) =           JT~4 (7)

которая является функцией конкретного значения z и называется функцией распределения дискретной случайной величины Z

Здесь и далее индекс Z (большая буква латинского алфавита) поясняет, какую случайную величину описывает соответствующая функция (мы будем использовать его в основном в определениях и далее опускать, если это не вызывает недоразумений), a z (малая буква латинского алфавита) - аргумент функции, принимающий значения из множества всевозможных реализаций случайной величины Z

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |