Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

Глава 18 построение и развитие модели линейной регрессии. эконометричес-кий анализ макроэкономических моделей 18.1. направления совершенствования линейной регрессионной модели

Модель чистого экспорта

Как уже отмечалось в предыдущих главах, построение и развитие эконометрической модели - это длительный и сложный процесс. Очень редко оценка исходной спецификации зависимости дает хорошие по всем параметрам результаты. Предположим, что оцененная множественная линейная регрессия по ряду статистических характеристик (DW, г-статистики, F-статистика) оказалась неприемлемой и требует уточнения. Направления такого уточнения могут быть следующими:

выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных;

разбиение временного интервала на части и оценка исходной или новой формулы регрессии на каждой из них;

преобразование исходных данных с целью устранить их нежелательные свойства;

построение нелинейных спецификаций уравнения регрессии с последующей их линеаризацией (или оценкой нелинейной регрессии);

устранение сильно коррелированных между собой объясняющих переменных (борьба с мультиколлинеарностью).

Мы рассмотрим эти направления совершенствования регрессионной модели на примере конкретного эконометрического исследования, делая по мере необходимости пояснения и отступления. В качестве базового примера рассмотрим процесс построения функции чистого экспорта для экономики США. Для этого будем использовать массив макроэкономических данных за 1931 - 1990 гг. В качестве первоначальной спецификации функции чистого экспорта для этого периода в целом рассмотрим выражение

RNX = с + b-GNP + b2RSR.

(1)

 

Здесь переменная RNXобозначает реальный чистый экспорт (Real Net Exports), или чистый экспорт в постоянных ценах 1982 г., млрд. долларов; GNP - реальный валовой национальный продукт в тех же единицах; RSR - реальная краткосрочная процентная ставка, в процентах. В различные макромодели открытой экономики, в частности в модель IS-LM, обычно включаются зависимости чистого экспорта такого или подобного вида. Коэффициенты Ьх и Ьу называемые чувствительностями величины чистого экспорта к показателю объема ВНП и величине ставки процента, считаются в теории отрицательными. В соответствии с результатами оценивания на каждом очередном шаге мы будем корректировать совокупность объясняющих переменных, период оценивания и другие особенности уравнения (временные лаги, наличие свободного члена и т.д.).

Оценка первоначальной формулы дает результат

RNX= 21,1 - 0,017-GJVP - 0,4\RSR (2)

(8,43) (0,004) (0,947) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,29; DW= 0,43.

Отрицательные знаки коэффициентов регрессии соответствуют здесь теоретическим представлениям. Коэффициент при переменной GNP значительно меньше по абсолютной величине, чем коэффициент при RSR, но это не значит, что данная величина воздействует на зависимую переменную слабее. Здесь все определяется единицами измерения, и если ВНП измерять не в миллиардах, а в триллионах долларов, то соответствующий коэффициент регрессии будет равен не 0,017, а 17, при стандартной ошибке 4.

Соотношение коэффициента и его стандартной ошибки, или t-статистика (в последнем случае 0,017:0,004 = 4,25), важна для определения статистической значимости зависимости функции от соответствующей объясняющей переменной. Вообще говоря, нулевая гипотеза для /-статистики и, соответственно, коэффициента регрессии проверяется с помощью таблиц распределения Стьюдента. В данном случае ясно без таблиц, по общему порядку цифр, что коэффициент при GNP, равный 0,017, статистически значим (так как tQNp = 4,25), а коэффициент при RSR, равный (-0,411), статистически незначим. Его /-статистика /^=-0,411/0,947 = -0,434 слишком мала по абсолютной величине. Если уточнить по таблицам, уровень значимости здесь составляет примерно 2/3. Следовательно, если в действительности (для генеральной совокупности) этот коэффициент равен нулю, то вполне вероятно (с вероятностью 2/3) для данного размера выборки (60 наблюдений) при двух объясняющих переменных получить такую (-0,434) или большую по модулю /-статистику данного коэффициента регрессии. Для оценки значимости коэффициента регрессии можно воспользоваться следующим грубым правилом: если абсолютная величина коэффициента меньше, чем его стандартная ошибка, то он статистически незначим (если нет мультиколлинеарности, или коррелированности объясняющих переменных, о которой речь пойдет позже). В данном случае это правило срабатывает, и на следующем шаге мы заменим переменную RSR.

Теперь рассчитаем F-статистику оцененного уравнения:

 

п_    R1   (п - т - 1)     0,29 57    u 6 (3)

I - R2       т      0,71 2

По таблице распределения Фишера с (2; 57) степенями свободы находим, что критическое значение Нравно 3,16 при 5 \%-ном уровне значимости и 5,0 при 1 \%-ном. Таким образом, гипотеза о равенстве нулю одновременно всех коэффициентов регрессии заведомо отвергается (что, впрочем, ясно и из того, что коэффициент при GNP уже до этого получился значимым). Итак, даже небольшая величина R2 = 0,29 при довольно большом числе наблюдений дала значимую величину F-статистики. В то же время если величина R2 рассматривается как самостоятельный критерий качества регрессии (а не только как средство проверки нулевой гипотезы для всех коэффициентов одновременно), позволяющий оценить его в сравнении с качеством линии у = у, то значение R2 = 0,29 вряд ли можно считать хорошим. Это говорит о необходимости дальнейшего поиска объясняющих переменных для показателя RNX.

Для оценки качества множественной линейной регрессии и проверки наличия предполагавшихся свойств отклонений е. нужна также статистика Дарбина-Уотсона DW. В рассматриваемом примере она равна 0,43. Невооруженным взглядом видна положительная автокорреляция е.: .ОИ/близка к нулю. Проверим статистику D^no таблице для п = 60; т = 2 при уровне значимости 5\%. Критические значения dt = 1,44; du = 1,57. Поскольку DW = 0,43 < 1,44 = dp принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции остатков первого порядка. Таким образом, значение статистики Дарбина-Уотсона говорит о том, что оцениваемая зависимость имеет другой вид: действовали какие-то неучтенные факторы либо сама формула связи была нелинейной. Заметим, что если оцениваются регрессионные связи макроэкономических показателей по временным рядам наблюдений за столь длительный период времени, то статистика DW чаще всего оказывается близкой к нулю. Практически всегда какие-то факторы действуют на протяжении некоторых периодов времени, "уводя" зависимую переменную вверх или вниз от линии (или поверхности) регрессии. Идентификация таких

12 О. О. Замков

факторов и определение периодов их действия является важной задачей эконометрики.

Указанные недостатки оцененного уравнения рефессии проявляются и на фафике. На рис. 18.1, где показаны зависимости от времени действительных и рассчитанных по уравнению рефессии значений RNX, а также отклонений первых от вторых, можно видеть, что оцененное уравнение не описывает колебаний переменной RNX, а объясняет лишь ее общий тренд. Здесь же видно, что отклонения зависимой переменной от линии рефессии не являются независимыми и, кроме того, дисперсия их для разных периодов не постоянна.

Воздействие процентной ставки на величину чистого экспорта происходит с определенным временным запаздыванием (лагом). Заключаемые контракты ориентируются на текущий валютный курс (который, в свою очередь, с некоторой задержкой реагирует на изменения процентной ставки), а их исполнение обычно происходит лишь через несколько месяцев. Поэтому естественно в качестве первого шага в развитии модели чистого экспорта не исключать объясняющую переменную RSR, а ввести ее с лагом в один год, то есть заменить RSR на RSR(-). В результате расчетный период сокращается на одну точку, то есть охватывает 1932-1990 гг. Получается следующее уравнение рефессии:

Подпись:  -50-1 -100

 

 

7 I I I | I | I I | I I I | I 1 II I I I I Ы I I I I II І і м И 11 I I I И 11 і м І 1111 I II I

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

 

RESIDUAL

-ACTUAL      FITTED

 

Рисунок 18.2. Действительные {Actual) и рассчитанные по уравнению регрессии (Fitted) величины RNX, отклонения от линии регрессии (Residual) (США, 1932-1990 гг., уравнение: RNX= 18,9 - 0,015 GNP-2,086 RSR(-))

 

RNX= 18,9 - 0,015 GNP- 2,086 RSR(-) (4)

(8,31) (0,004) (0,911) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,35; DW= 0,46.

Здесь обе объясняющие переменные статистически значимы; их /-статистики превышают по модулю 2. Однако обобщающие показатели качества модели R2 и DW по сравнению с уравнением (2) существенно не улучшились. На графике (рис. 18.2) можно видеть, что в некоторые периоды, особенно во второй половине 1940-х -первой половине 1950-х годов, эта модель описывает уже не только общий тренд величины RNX, но и отклонения от этого тренда. В то же время она, безусловно, не подходит для всего периода 1931-1990 гг. Мы отметим это для дальнейшего, когда будем строить отдельные модели для различных частей рассматриваемого периода, но пока продолжим поиск единой модели для всего периода.

18.2. Уточнение состава объясняющих переменных в регрессионной модели

В качестве очередного шага в развитии модели мы заменим переменную RSR в уравнении регрессии (2) на переменную ER (Real Exchange Rate) - реальный курс доллара США по отношению к "корзине" основных иностранных валют. Причиной такой замены является то, что процентные ставки влияют на реальный экспорт и импорт косвенно, через валютный курс: чтобы принести больший процент в какой-то стране, деньги должны быть обменяны на валюту этой страны. Для обеспечения такого обмена увеличивается экспорт в эту страну и сокращается импорт. Кроме того, существует непосредственное влияние обменного курса на экспорт и импорт, не связанное прямо с процентной ставкой. Чем выше курс отечественной валюты, тем труднее экспортировать и легче импортировать, безотносительно к тому, где и под какой процент занимаются деньги для внешнеторговых операций и в банк какой страны они кладутся. Таким образом, для движения денег в международной торговле процентные ставки не так важны, как обменные курсы валют. Поэтому можно ожидать, что обменный курс окажется более значимой переменной в функции чистого экспорта, чем та или иная процентная ставка (кратко-, средне- или долгосрочная, номинальная или реальная). Итак, было оценено следующее уравнение:

RNX= 94,2 - 0,018-GJVP - 0,63 IER (5)

(36,4) (0,004) (0,309) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,33; DW= 0,41.

Коэффициент при переменной ER в уравнении (5) примерно того же порядка, что и у RSR в (2), но его стандартная ошибка здесь в три раза меньше. Абсолютная величина /-статистики |/| = = 0,631/0,309 = 2,04 довольно значимо подтверждает (доверительная вероятность 95,4\%), что коэффициент регрессии не равен нулю и что существует статистическая зависимость между обменным курсом и чистым экспортом. На графике (рис. 18.3) можно видеть, что рассчитанная по уравнению регрессии величина RNX отражает не только общий тренд действительного показателя, но также и (в некоторой степени) отклонения от этого тренда. Однако в целом поведение показателя RNXописано здесь ненамного лучше, чем в (2): доля объясненной дисперсии RNXосталась примерно такой же, как в (2) или в (4): (R2 =0,33 = 33\%). Статистика Дарбина-Уотсона DW также осталась практически на прежнем, слишком близком к нулю (то есть свидетельствующем о положительной автокорреляции остат-

Рисунок 18.3. Действительные (Actual) и рассчитанные по уравнению регрессии (Fitted) величины RNX; отклонения от линии регрессии (Residual) (США, 1931-1990 гг., уравнение: RNX= 94,2 - 0,018 GNP- 0,631 ER)

 

ков) уровне. Для улучшения качества зависимости целесообразно поискать дополнительный объясняющий фактор.

Введем в уравнение регрессии как дополнительную объясняющую переменную валютный курс предыдущего года ER(-). Причиной для этого служит то, что экспортно-импортные контракты в среднем подписываются примерно за полгода до их фактического осуществления. Значит, и в рассматриваемой нами функции зависимости чистого экспорта должен быть примерно полугодовой временной лаг между экспортно-импортными потоками и влияющими на них показателями, в частности валютным курсом. В этом случае, при дискретной годовой единице времени, в качестве объясняющих переменных должны присутствовать ER и ER(-).

Итак, следующим за период 1932-1990 гг. оценено следующее уравнение:

RNX= 143,0 - 0,018 GNP- 1,92£Я(-1) + 0,84£Л (6)

(34,4) (0,003)        (0,47) (0,46) (в скобках приведены стандартные ошибки) Ю = 0,50; DW= 0,54.

Рисунок 18.4. Действительные (Actual) и рассчитанные по уравнению рефессии (Fitted) величины RNX; отклонения от линии рефессии (Residual) (США, 1932-1990, уравнение: RNX= 143,0 - 0,018GA7>- 1,92-Щ-І) + 0,84 ER)

 

В уравнении (6) все коэффициенты статистически значимы (|/|>2), и доля объясненной дисперсии переменной RNX выросла до 50\%. Требует здесь пояснений положительный знак коэффициента при переменной ER, поскольку рост валютного курса должен приводить к сокращению, а не к увеличению чистого экспорта. Для этого перепишем уравнение рефессии в следующей форме:

RNX= 143,0 - 0,018-СЛГР - 1,08-ЯД + 1,92-Д£Я (7)

(34,4) (0,003)        (0,29) (0,47) (в скобках приведены стандартные ошибки) где AER = ER - ER(-l).

В уравнении (7) у переменной ER уже отрицательный знак, а положительный знак у переменной AER означает, что чем больше эта величина, тем (при данной ER) меньше ER(-), с которой величина чистого экспорта связана отрицательной зависимостью. Можно оценить любую из этих зависимостей (включая также зависимость 8), получая эквивалентные результаты с теми же значениями стандартных ошибок коэффициентов, и трансформировать ее затем в любую другую зависимость.

RNX= 143,0 - 0,018-GJVP - 1,08-Щ-І) + 0,84Д£Л (8)

(34,4) (0,003)       (0,29) (0,46) (в скобках приведены стандартные ошибки).

Обратите также внимание на соотношения коэффициентов и стандартных ошибок в уравнениях (6)-(8). Значения коэффициентов меняются в зависимости от спецификации, а значения стандартных ошибок сохраняются. Таким образом, ґ-статистики различны, и можно подобрать такую спецификацию из нескольких эквивалентных друг другу, которая дает наибольшие по модулю величины ґ-статис-тик. С этой точки зрения уравнение (7) лучше, чем (6) или (8), так как у него все r-статистики превышают по модулю 3. Выбор уравнения (7) можно сделать и на основе требования наиболее наглядной содержательной интерпретации.

Добавим теперь вновь к нашей модели объясняющую переменную RSR(-l), уже показавшую свою существенность для одного из промежутков рассматриваемого периода времени. Получаем уравнение

RNX = 117,9 - 0JMGNP- 0,90ER + 2,09 Д£Л - 2\SRSR(-l) (9)

(33,8) (0,003)       (0,29)      (0,45) (0,81) (в скобках приведены стандартные ошибки). R2 = 0,56; DW= 0,68.

В уравнении (9) все переменные статистически значимы, что связано с тем, что вновь введенная переменная RSR(-) объясняет поведение зависимой переменной RNXna временном диапазоне 1946-1955 гг., где не прослеживается влияния других переменных. В то же время, доля объясненной дисперсии зависимой переменной не возросла существенно по сравнению с (6), а статистика Дарбина-Уотсона остается близкой к нулю, что говорит о положительной автокорреляции остатков ej и требует уточнения вида зависимости или состава объясняющих переменных. Те же выводы могут быть сделаны и на основании графика (рис. 5).

Из графика видно, что колебания рассчитанных по уравнению регрессии величин RNXчастично соответствуют колебаниям фактических величин RNX в периоды примерно с середины 1940-х до начала 1950-х и с начала 1970-х годов. До середины 1940-х годов и в 1950-е - 1960-е годы модель позволяет описать лишь общий тренд показателя RNX, что в данном случае совершенно недостаточно. Разное поведение отклонений е. на различных промежутках рассматриваемого периода и разный состав объясняющих факторов говорят о том, что спецификация модели для этих промежутков должна быть различной.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |