Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

Глава 2 функции и графики в экономическом моделировании 2.1. понятие функциональной зависимости. способы задания и исследования функций

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины (например, цена какого-либо товара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы, инфляция и безработица и т.п.) существуют не изолированно друг от друга, а напротив, они связаны между собой определенным образом. Понятие функции или функциональной зависимости - одно из основных математических понятий при помощи которых моделируются взаимосвязи между различными величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими характеристиками и показателями.

Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных понятий, поэтому оно не определяется, а поясняется. Говорят, что задана функция/, если дан закон, согласно которому каждому значению х из некоторого числового множества А ставится в соответствие одно вполне определённое значение у из некоторого числового множества В.

Функциональная зависимость между величинами х и у символически обозначается так: у = fix); говорят, что х - аргумент (независимая переменная), а у-функция (зависимаяпеременная).

Совокупность всех значений аргумента, каждому из которых соответствует вполне определенное значение функции, называется областью определения функции.

Множество значений, принимаемых у, называется областью изменения функции.

Функцию можно задавать различными способами. Наиболее распространенные и важные среди них - задание функции формулой, таблицей и графиком. При задании функции в ЭВМ часто используется также алгоритмический способ.

В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между ценой продукта, которую мы обозначим через р и величиной спроса на этот продукт, которую мы обозначим через q. Эта связь может быть, к примеру, представлена следующей таблицей:

р, руб.

і 00

150

200

250

300

q, тыс.шт.

18

15

12

9

6

 

отражающей отрицательную взаимосвязь величин (убывание величины спроса с возрастанием цены).

2.2.1. Построение и анализ графиков функций

Эта же взаимосвязь величин может быть представлена в виде графика на рис. 2.1.

Определение. Графиком функции /называется геометрическое место (множество) точек на координатной плоскости, имеющих координаты (х;Дх)), у которых абсциссами служат рассматриваемые значения независимой переменной х, а ординатами - соответствующие значения функции y~f{x)

Для того, чтобы построить график функции, имея ее табличное представление, например график функции спроса, достаточно отложить значения величин, приведенных в таблице на соответствующих координатных осях, восстановить перпендикуляры к осям из точек, соответствующих определенному значению цены или спроса, и нанести точки пересечения перпендикуляров.

Функциональная зависимость между величинами х и у может быть задана также в виде формулы у = Дх), в которой в качестве Дх) фигурирует конкретная функция. В данном случае зависимость между ценой и величиной спроса выражается формулой: р = 500 -

50$- (или q = 30 - 0,06/0- Подставляя в последнюю формулу значения цены, представленные в верхней строке таблицы, мы легко убедимся в том, что в результате получаются соответствующие ценам величины спроса, представленные в нижней строке таблицы. Таким образом, зная формулу функции, несложно получить табличное и графическое представление этой функции.

Свойства функций

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых (для построения и исследования графиков) относятся: четность, нули, периодичность, монотонность, ограниченность функции, наличие у функций асимптот и обратной функции. Рассмотрим вкратце эти свойства функций.

Четные и нечетные функции. Функция y=fx) называется четной, если для любых двух различных значений аргумента из области ее определения выполняется равенство f-x) = J[x). Например, у=х2", (п - натуральное); у=х - четные функции. Сумма, разность, произведение и частное четных функций есть функция четная.

Функция называется нечетной, если для любого значения аргумента из области определения функции выполняется равенствоД-х) = -fx). К нечетным функциям относятся, например, у=х2"+ где п -

любое натуральное число, у = ——— и т.д.

Xі + 4

Не всякая функция является либо четной, либо нечетной. Например, функции у = х2+3х; у — (х + I)2 и т.д. называются аморфными.

Заметим, что если функция у—fx) четная или нечетная, то область ее определения симметрична относительно центра О. Поэтому функции у=Ях; y=gx; у=а* и т.д. не могут быть ни четными, ни нечетными. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций - функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной - относительно центра О.

Нули функции. Нулями функции fx) называют те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль: Дх) = 0. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Например, нулями функции у= (х-1)(х+2) будут корни уравнения у = 0, т.е. х = 1 и х = 2.

Периодические функции. Функция y=fx) называется периодической, если существует число Гтакое, что для каждого значения аргумента х из области ее задания имеет место равенство fx+T) = fx). Число Г называют периодом этой функции. Примеры периодических функций : y=sin(x); y=cos(x); (для них наименьший положительный период равен 2р) y=tg(x); >>=ctg(x) (для них Т= р).

Монотонные функции. Функция y=J[x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если х, < х^, тоДх^ < Дх2).

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если х, < ху тоДх,) >Дх2).

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными функциями.

Асимптоты. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности или к некоторому числу а или случай вертикальной асимптоты. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Вертикальная асимптота - это прямая х = а, если НтДх) = со.

Х-ЧІ

Горизонтальная асимптота - это прямая у = Ь, если 'JJJ]/W = Наклонная асимптота - это прямая у = kx + Ь, если 1іт(Дх) - кх) = Ь. Коэффициент наклона к находится путем вычис-

ления предела lim^.

Ограниченные функции. Функция Дх) называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М, что для всех* из области определения Дх) < М (J[x) > М) (см. рис.2.2в,б).

Функция называется ограниченной, если существует такое число М> 0, что для всех х из области определения |Дх)| < Л/(см. рис.2.2а).

Обратная функция и ее график. Дана функция y=J[x), Выразим х как некоторую функцию от у: х=ф(у), т.е. представим у как аргумент; х - как функцию. Тогда функция х=ф(у) называется обратной по отношению к функции у — Дх), если при подстановке её вместо аргумента/получаем тождественное равенство: у=Дф(у)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

у

у

ЛФо / а

X

 

 

 

/ х

/А*)<а

1 X

 

I/WI<1

 

 

 

 

 

Равенство функций называется тождественны в*м, если оно справедливо при всех значениях аргумента из области -определения. Примеры:

Дана функция у = f + 1- Разрешим ее оті—«осительно х: х = Зу - у. Функция х = Зу - у будет обратной по отнв ошению к функции у — ^ + 1, ибо ym2I^L+l.

Дана функция у = л? (при х<0). Определим _гх как функцию у: х = - iy.

Функция х = — \[у - обратная функции у = х-3 (х < 0).

Отметим, что область определения и область «--ізменения функции y=J[x) и функции, обратной к ней, меняются рг»олями. Всегда ли существует обратная функция? В этом случае им& >ет место следующая важная теорема.

Обратная функция существует при а х Ь, &- «ели функция Дх) монотонно возрастает или монотонно убывает в и ж-ітервале [a,b],

Сложная функция. Функция, заданная в виде= у =f{g(x)), называется сложной функцией х или суперпозициеі-^* функций g и / Сложную функцию часто записывают в виде у = _J{u), где и = g(x). при этом аргумент* называют независимой пере--в:енной, а и - промежуточным аргументом.

Неявная функция. Функция, заданная в виде ур^эьвнения F[x,y) = 0, не разрешенном относительно у, называется неяві—жой функцией х.

Схема исследования функции для построенші я графика

Перед построением графика функции необход т^імо провести исследования ее по следующим пунктам:

Область определения функции (ООФ),

Область изменения функции (ОИФ),

Периодичность функции,

Четность или нечетность функции,

Монотонность функции, ,

Точки пересечения с осями координат:

а) с осью OY(x=0); б) с осью ОХ(у=0);

Интервалы знакопостоянства,

Асимптоты.

2.2.2. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции)

1. Линейная функция у = kx+b . ООФ (-оо,+оо), ОИФ (-со, +оо). График - прямая линия (см. рис.2.3) Угловой коэффициент к равен tgcp, где ф - угол между положительным направлением оси Ох и прямой. С увеличением к по абсолютной величине наклон прямой увеличивается. При к = 0 имеем: у= b - прямая, параллельная оси абсцисс (Ох). Функция у — кх+Ь при к ф 0 - монотонная: возрастает при к > СI и убывает при к < 0. Возрастающая функция (при к > 0) описывает положительную зависимость величин х и у (пример -функция предложения), убывающая функция (при к < 0) описывает отрицательную зависимость величин х и у (пример - функция спроса).

Коэффициент к не только характеризует наклон прямой, но и показывает знак и скорость изменения (возрастания/убывания) функции. Чем больше к, тем быстрее возрастает/убывает функция (т.е. тем больше изменение у при фиксированном изменении х и тем чувствительнее величина у к изменению х). Если к = 0, то у — Ь — const, т.е. величина у постоянна и не зависит от величины х.

Коэффициент Ь показывает значение функции в точке пересечения графика с осью Оу. Прямая пересекает ось ординат в точке (0;Ь). Если Ь — 0, то у = кх - это прямая пропорциональная зависимость. Прямая у = кх проходит через начало координат.

2а. Функция у = - определена при всех значениях х за исключе-х

нием точки х = О. ОИФ - интервалы (-да, 0), (0, да). График -гипербола (см. рис.2.4а).

 

Функция в каждом из интервалов (-да, 0) и (0, да) монотонная: возрастает при к < 0 и убывает при к > 0. Она выражает обратную пропорциональную зависимость между хну. Функция нечетная, следовательно, гипербола симметрична относительно начала координат. Она расположена в первой и третьей четвертях, если к > 0 и во второй и четвертой при к < 0. Оси координат являются асимптотами гиперболы.

26. Функция у = ■ Эта функция также определена при х -

любом, кроме точки х = О, ОИФ - интервалы (-да, 0),(0, да). График - гипербола (см. рис. 2.46). Функция в интервале (-да, 0) при к >

возрастает, при к < 0 убывает; в интервале (0, да) при к > 0 убывает, при к < 0 возрастает. Функция четная. Функция расположена в первой и второй четвертях при к > 0 и в третьей и четвертой четвертях при к < 0. Оси координат являются асимптотами гиперболы.

3. Показательная функция у — с? (а > 0) определена на всей числовой оси область изменения функции (0,+да), т.е. ее график находится в верхней полуплоскости. При а >

функция монотонно возрастающая, при а < 1 функция монотонно убывающая. График проходит через точку (0;1), так как я0 = 1. Ось Ох является асимптотой (см. рис. 2.5). В качестве основания степенной функции часто используется число е« 2,71828... В этом случае функция называется экспонентой.

4.         Логарифмическая фун-

кция у = ogx (при а > 0 и а

t- 1). Функция определена

при X > 0. ОИФ (-00, +00),

монотонна (возрастает при а > 1, убывает при а < 1). График проходит всегда через точку (1;0), так как logaI = 0. Ось ординат является асимптотой для графика (см. рис.2.6). Логарифмическая

функция у — ogx является об-      

ратной по отношению к по-            рис 2.6

казательной функции х — ау,

гак как log (я') = у(о(|о"->) = х). В качестве основания логарифмической функции а часто используется число е « 2,71828.... В этом случае логарифмическая функция называется натуральным логарифмом и обозначается у = пх.

5.         Степенная функция с любым рациональным показателем у = х°.

Рассмотренные выше функции: х, х2, 1, _L являются частными

X Xі

случаями этой функции. В зависимости от б выделяют следующие функции:

у — X2"', где т натуральное число.

Область определения этих функций (-«, +оо), область значений [О, +оо). Функции четные. Графики этих функций параболы (см. рис.2.7а).

у = X2"'-', где т натуральное число.

Область определения (-оо, +оо), область изменения (-оо, +оо). Функции нечетные. Графики функций также параболы. Во всей области определения функции такого вида - возрастающие (см. рис.2.7б).

 

Подпись:

5.3.

у = X

у = -5=

где т натуральное число.

Областью определения функций является объединение интервалов (-оо, 0) и (0, +оо), а областью значений - множество (0,+оо). Функции четные. Ветви функций расположены в первой и четвертой четвертях (см. рис.8а) Оси координат являются вертикальной и горизонтальной асимптотами.

у = хш+1    у = —, где т натуральное число.

Областью определения и областью существования функций являются интервалы (-оо, 0) и (0, +оо). Функции нечетные. Графики их расположены в первой и третьей четвертях, оси координат также служат асимптотами, на всей области определения функции убывающие. Графики функций называют гиперболами (см. рис.2.86).

у = л" (а > 0) (см. рис.2.9а,б)).

Область определения [0, +оо), область изменения функций [О, +оо ). Функция возрастает на всей области определения. Графиками функций являются параболы, ветви которых направлены по оси Оу при а > I и по оси Ох при а < 1 (см.рис.2.9а)

а < 0. Область определения бесконечный интервал (0, +оо), область изменения (0, +оо). Функция имеет асимптоты х = 0, у = 0, убывает на всей области определения. Графиком этих функций является одна ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти (см.рис.2.9б).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |