Имя материала: Математические методы в экономике

Автор: Замков Олег Олегович

19.4. авторегрессионное преобразование

Важной проблемой при оценивании рефессии является автокорреляция остатков е, которая говорит об отсутствии первоначально предполагавшейся их взаимной независимости. Автокорреляция остатков первого порядка, выявляемая с помощью статистики Дарби-на-Уотсона, говорит о неверной спецификации уравнения либо о наличии неучтенных факторов. Естественно, для её усфанения нужно попытаться выбрать более адекватную формулу зависимости, отыскать и включить важные неучтенные факторы или уточнить период оценивания регрессии. В некоторых случаях, однако, это не даст результата, а отклонения е. просто связаны авторегрессионной зависимостью. Если это авторегрессия первого порядка, то её формула имеет вид е=ре , + и. (р - коэффициент авторегрессии, |р|<1), и мы предполагаем, что остатки и. в этой формуле обладают нужными свойствами, в частности - взаимно независимы. Оценив р, введем новые переменные /,=у, - ру,,,; х'=х( - рх._, (это преобразование называется авторегрессионным (АЙ.), или преобразованием Бокса-Дженкинса). Пусть мы оцениваем первоначально формулу линейной регрессии у = а + bxj + е.. Тогда

У) ~ У, - РУН = а + Ьх, + е - р(о + Ьх., + е ,) = = о(1 - р) + Ь(х. - рхи) + <?. - ре,,, = о(1 - p)+bx'.+ur

Если величины и. действительно обладают нужными свойствами, то в линейной регрессионной зависимости у. = о, + Ьх'. + и. автокорреляции остатков и уже не будет, и статистика DW окажется близкой к двум. Коэффициент Ь этой формулы принимается для исходной формулы у = а+Ьх+е непосредственно, а коэффициент о

рассчитывается по формуле а = ^ _' .

Оценки коэффициентов о и Ь нужно сравнить с первоначальными оценками, полученными для расчета отклонений ег Если эти оценки совпадают, то процесс заканчивается; если нет - то при новых значениях а и Ь вновь рассчитываются отклонения е. до тех пор, пока оценки а и Ь на двух соседних итерациях не совпадут с требуемой точностью.

В случае, когда остатки «также автокоррелированы, авторегрессионное преобразование может быть применено ещё раз. Это означает использование авторегрессионного преобразования более высокого порядка, которое заключается в оценке коэффициентов авторегрессии соответствующего порядка для отклонений е. и использовании их для построения новых переменных. Такое преобразование вместо AR(l) называется AR(s) - если используется авторегрессия порядка s.

О целесообразности применения авторегрессионного преобразования говорит некоррелированность полученных отклонений и.. Однако даже в этом случае истинной причиной первоначальной автокорреляции остатков может быть нелинейность формулы или неучтенный фактор. Мы же, вместо поиска этой причины, ликвидируем её бросающееся в глаза следствие. В этом - основной недостаток метода AR и содержательное ограничение для его применения.

Кроме авторегрессионного преобразования, для устранения автокорреляции остатков и уточнения формулы регрессионной зависимости может использоваться метод скользящих средних (Moving Averages, или MA). В этом случае считается, что отклонения от линии регрессии е. описываются как скользящие средние случайных нормально распределенных ошибок е.: предполагается, что

е. = є. + е.е.. +...+ 0є. . (7)

Это формула для преобразования MA q-ro порядка, или MA(q); МА(1), например, имеет вид е = є(. + 6,є.. Параметры 0(., как и в случае авторегрессионного преобразования, могут оцениваться итерационными методами.

Во многих случаях сочетание методов AR и МА позволяет решить проблему автокорреляции остатков даже при небольших sviq. Еще раз повторим, что адекватным такое решение проблемы является лишь в том случае, если автокорреляция остатков имеет собственные внутренние причины, а не вызвана наличием неучтенных (одного или нескольких) факторов.

Методы AR и МА могут использоваться в сочетании с переходом от объемных величин в модели к приростным, для которых статистическая взаимосвязь может быть более точной и явной. Модель, сочетающая все эти подходы, называется моделью ARIMA (Autoreg-ressive Integrated Moving Averages). В общем виде ее формулу можно записать так:

/, = Р,/„, + Р2/,2 + Р,/,,, + є, + Є,єм +...+ Вем, (8)

где {р.} и {в(} - неизвестные параметры, и е - независимые, одинаково нормально распределенные СВ с нулевым средним. Величины у представляют собой конечные разности порядка d величин у, а модель обозначается как ARIMA(p,d,q).

Эффективность преобразований AR и МА для устранения автокорреляции остатков продемонстрируем на примере. Нами была оценена зависимость величины реального чистого экспорта RNX для экономики США за 1965 - 1990 гг. от показателей реального ВНП (GNP), его прироста AGNP, реального валютного курса ER и его прироста AER. Формула получилась следующей (RNX, GNP - в млрд. долларов; ER - в \% к базовому значению):

RNX= 339,0 - 0,038 G/v7>-Q,77AGNP - 2,15ER + 2,80д£Л (9)

(34,9) (0,005)       (0,048)        (0,24) (0,35) (в скобках приведены стандартные ошибки) /Р=0,90; DW=,2.

Значение DW=,Y2 говорит о наличии некоторой положительной автокорреляции остатков. Использование преобразования AR() позволяет существенно улучшить положение; получаем уравнение

RNX= 323,3 - 0,035G/v7>- 0,155Д<Ж/>- 2,15AER + 2,05д£Л (10)

(67,2) (0,014)      (0,035)       (0,40) (0,31) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,94; DW= 1,71.

Это уравнение приемлемо по всем параметрам и статистическим характеристикам. Единственное, что имеет смысл сделать в нем, это замена переменных ER и ER на одну переменную ER(-). Это можно сделать, поскольку абсолютные величины коэффициентов при ER и ER почти одинаковы. В таком случае можно сделать преобразование (-aER+aAER) = (-aER + a(ER - ER(-))=-aER(-l), и мы можем использовать это равенство для сокращения числа объясняющих переменных. Включив снова преобразование AR(l) (для которого коэффициент авторегрессии соседних отклонений е. получился равен р=0,71, со стандартной ошибкой 0,16), получаем уравнение регрессии:

RNX = 318,6 - 0,035-GJVP - QA55-AGNP - 2,09Щ-1) (11)

(54,9)   (0,013)      (0,033) (0,28) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,94; DW= 1,79.

Данное уравнение регрессии приемлемо по всем параметрам и может рассматриваться как конечный результат нашего исследования. Все коэффициенты в нем статистически значимы: даже наименьшая из /-статистик (у коэффициента при переменной GNP) близка к трем. Уравнение регрессии объясняет 94\% дисперсии зависимой переменной, а близкая к двум статистика Дарбина-Уотсона не позволяет отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков первого порядка. Добавление какой-либо новой объясняющей переменной уже практически не сможет улучшить качества уравнения регрессии.

Качество уравнения показано на рис. 19.1, где фактические и рассчитанные по уравнению регрессии величины очень близки друг к другу, а отклонения от уравнения регрессии выглядят случайными и независимыми друг от друга.

Добавление преобразования МА(1) позволяет повысить величину DWro 1,95, но не дает значимой оценки коэффициента сглаживания 8 (его /-статистика равна 0,31), поэтому в данном случае включать это преобразование нецелесообразно.

Преобразования AR, МА и модель ARIMA полезно использовать в тех случаях, когда уже ясен круг объясняющих переменных и обший вид оцениваемой формулы, но в то же время остается существенная автокорреляция остатков. В качестве примера укажем оценивание производственных функций, где объясняющими переменными служат используемые объемы или темпы прироста труда и капитала, а требуемой формулой является, например, производственная функция Кобба-Дугласа или CES.

Вопросы к главе 19

В каких случаях возникают трудности использования множественной линейной регрессии в моделировании? В чем реальная ситуация может не соответствовать предпосылкам модели?

Что такое гомоскедастичность и гетероскедастичность? Каковы результаты использования линейной регрессионной модели в условиях каждой из них? Что можно сказать при этом о несмещенности, состоятельности и эффективности оценок?

В чем сущность взвешенного МНК? Какие показатели взвешиваются при его использовании и как могут выбираться весовые коэффициенты?

Что такое системы одновременных уравнений в экономическом моделировании? Приведите примеры таких систем.

В чем различие структурной и приведенной форм экономических моделей? В чем смысл перехода от структурной к приведенной форме в эконометрике?

Как оценить параметры приведенной формы экономической модели? В каких случаях по ним можно рассчитать параметры структурной формы? В чем состоит проблема идентификации в эконометрике и в каких случаях она разрешима?

В чем заключается двухшаговый МНК? В каких случаях он применяется?

В чем заключается трехшаговый МНК? В каких случаях он применяется?

В чем заключается проблема автокорреляции остатков и как она проявляется?

Что такое авторегрессионное преобразование и в каких случаях оно применяется?

П.В чем сущность преобразования остатков методом скользящих

средних? В каких случаях оно применяется? 12. В чем смысл модели ARIMA1 Какими могут быть результаты ее

применения?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 |