Имя материала: Микроэкономика

Автор: А.Н. Чеканений

Глава 8 производство

 

8.1. Производственная функция

 

В процессе производства фирмы используют производственные ресурсы для выпуска товаров и услуг. Взаимосвязь между количеством ресурсов и размерами выпуска в единицу времени характеризуется производственной функцией, которая может быть представлена как

Q=f(Rx,R2,...,Rt,Rn), (8.1) где Q — выпуск фирмы за определенный промежуток времени1; R; — количество 1-го ресурса, использованного в производстве

продукции (/' = 1, и); п — количество видов ресурсов, используемых в производстве.

Многообразные производственные ресурсы объединяют обычно в крупные категории, именуемые факторами производства. Как правило, выделяют три фактора производства: труд, капитал и материалы. Мы ограничимся анализом двух факторов: труда (L) и капитала (К). Это максимально упрощает анализ и в то же время позволяет выявить основные закономерности процесса производства. Напомним, что, определяя капитал как фактор производства, мы имеем в виду только физический капитал, т.е. средства труда, применяемые в производственном процессе.

При заданных предпосылках производственная функция принимает вид:

Q =АК L). (8.2)

 

Подпись: 1 Заметим, что в бухгалтерские издержки затраты, соответствующие сто¬имости износа основного капитала, включаются не в составе условно начисляемой арендной платы, а в виде амортизационных отчислений по законодательно установленным нормативам.

 

При этом труд и капитал измеряются обычно в единицах потока, например, в единицах времени (часах) использования, соответственно, труда и капитала.

Используя одинаковое количество факторов производства, разные фирмы могут получать различные количества продукции в зависимости от уровня организации производства. Подчеркнем, что производственная функция не учитывает особенностей в организации труда и производства на отдельных предприятиях. Она характеризует максимальный выпуск, который может быть получен при определенном сочетании факторов (труда и капитала) и при данном уровне технологического развития общества.

Сочетание ресурсов, которое необходимо для получения какого-либо выпуска, характеризует определенный способ производства. Различные способы производства могут быть представлены в виде точек в системе координат K—L (рис. 8.1). Как правило, данный объем может быть произведен посредством различных способов производства. Это связано с тем, что факторы производства в определенной степени взаимозаменяемы. Пусть, например, Qx единиц продукции может быть произведено способом производства А, который характеризуется механической транспортировкой готовой продукции на склад и ручной транспортировкой сырья со склада в цех. Мы можем механизировать транспортировку сырья. Тогда тот же объем продукции Qx будет создаваться с большими затратами капитала и меньшими затратами труда (способ производства В). Или, наоборот, отменим механизированную транспортировку готовой продукции. Тогда для производства данного выпуска будет необходимо меньше А'и больше L (способ Q. Видимо, существуют и другие способы производства, позволяющие производить Qx единиц продукции. Линия, соединяющая точки, представляющие весь набор способов производства, при которых может быть произведен данный объем выпуска, называется изоквантой. В частности, способы производства А, В и С соответствуют изокванте Qx.

Точно так же можно провести изокванты, соответствующие всем способам производства, необходимым для выпуска в объеме Q2, С», и т.д. В результате мы получаем карту изоквант (см. рис. 8.1), которая характеризует зависимость между всеми возможными комбинациями ресурсов и размерами выпуска и, следовательно, является графической иллюстрацией производственной функции.

Отметим, что производственная функция характеризует только технически эффективные способы производства. Спо-

 

соб производства считается эффективным тогда, когда не существует иного способа произвести данный объем выпуска с меньшим количеством хотя бы одного ресурса и при том же количестве остальных ресурсов. Если два способа производства позволяют выпустить одинаковое количество продукции и при этом включают одинаковое количество, например, труда, но разное количество капитала, то один из них, а именно способ производства с большим количеством капитала, считается технически неэффективным и не включается в производственную функцию.

Чем дальше расположена изокванта от начала координат, тем больше ресурсов задействовано в расположенных на ней способах производства и тем больше размеры выпуска, которые характеризуются данной изоквантой (Q3 > Q2> Q])- В этом отношении карта изоквант аналогична карте кривых безразличия. Есть, однако, и принципиальное различие. В отличие от полезности объем производства непосредственно измерим. Мы можем точно определить величину выпуска, соответствующую каждой изокванте, в то время как карта кривых безразличия характеризует только порядок, но не абсолютную величину полезностей различных наборов благ.

Важнейшими характеристиками любой производственной функции являются предельная норма технического замещения MRTS(ot англ. marginal rate of technical substitution) и эффект масштаба. Рассмотрим их подробнее.

8.2. Предельная норма технического замещения

 

Предельная норма технического замещения одного фактора другим, например капитала трудом (mrtsl к), показывает, на какую величину следует изменить количество одного фактора (капитала, АК) при изменении количества другого фактора (труда) на одну единицу (AL), чтобы размеры выпуска не изменились. Иными словами,

mrtslji = -^||Gconst|     ' (8.3)

или в дифференциальной форме:

MRTSl-k = -^flG-nst|- (8.4) Чтобы при изменении количества используемых факторов производства выпуск оставался неизменным, количества труда и капитала должны изменяться в разных направлениях. Если количество капитала сокращается (АА"< 0), то количество труда дол-

АК

жно увеличиваться (А£ > 0). Поэтому отношение           (QConst) все"

гда отрицательное. Между тем предельная норма технического замещения представляет собой просто пропорцию, в которой один фактор производства может быть замещен другим, и, как таковая, есть величина всегда положительная (mrtsl к > 0). Отсюда

АК

следует, что mrtslkравна соотношению —— (Qconst), взятому с об-

ратным знаком, что и обусловливает появление знак «минус» в выражениях (8.3) и (8.4).

mrtsl к определяется соотношением предельных продуктов, труда (mpl) и капитала (мрк). Напомним, что предельный продукт фактора производства характеризует изменение выпуска при изменении количества данного фактора на одну единицу и при неизменном количестве других факторов. Соответственно,

 

или в дифференциальной форме:

Можно доказать, что

mp,

mrts^ = mFk- <87>

Согласно выражениям (8.5), когда мы изменяем затраты труда на AL, выпуск изменяется на AL ■ mpl, когда же мы изменяем затраты капитала на АЛ", выпуск изменяется на АК- мрк. Поскольку определение МЛ ТО предполагает, что общий выпуск при изменениях затрат труда и капитала остается неизменным, можем записать:

АХ - mpl + АК-мрк = 0,

отсюда

АК-МРК = - AL- MPL = 0

или

ДАТ mpl AL      мрк '

что и доказывает справедливость выражения (8.7).

mrts может быть интерпретирована как численное значение

(Д*ї п

тангенса угла наклона изокванты 1"д~тЧ- Величина и динамика

mrts характеризуют степень взаимозаменяемости факторов производства.

Допустим, что существует какой-нибудь производственный процесс, в котором труд и капитал совершенно взаимозаменяемы, так что всех работников можно заместить капиталом или использовать только работников, заменив ими капитал. Производственная функция, характеризующая такой процесс, имеет вид:

Q = аК + Ы. (8.8)

Представив выражение (8.8) в виде:

К= 0- - -L, (8.9) а а

легко увидеть, что данная производственная функция описывается картой линейных изоквант (рис. 8.2А), имеющих неизменный угол наклона, численное значение тангенса которого равно отно-

шению —. Иными словами, mrtsl к для производственной фун-а

кции с совершенной взаимозаменяемостью ресурсов неизменна.

Допустим теперь, что факторы производства абсолютно не взаимозаменяемы. Пропорции их использования строго фиксированы, так что применение определенного количества капитала всегда требует строго определенного количества труда. Такого рода производственные процессы — не редкость для экономики, особенно на ранних этапах технологического развития. Представьте себе, например, процесс косьбы в начале XIX в. Пропорции в использовании труда и капитала здесь строго определены. Час работы косаря требует часа использования косы. Использование двух кос одним человеком не приведет к увеличению выпуска (МРК = 0), равно как и увеличение часов труда косаря без увеличения часов использования косы не увеличит количества скошенной травы (MPL = 0). Такой процесс производства характеризуется производственной функцией фиксированных пропорций, или леонтьевской производственной функцией (по имени ее автора В. Леонтьева)2, имеющей вид:

Q = min {аК, ЬЦ, (8.10) а, Ъ > 0

Она описывается картой изоквант, изображенной на рис. 8.2Б, MRTSL к для такой функции не определена.

За исключением двух рассмотренных случаев (абсолютной взаимозаменяемости и абсолютной невзаимозаменяемости факторов производства), производственные процессы характеризуются частичной взаимозаменяемостью факторов, и изокванты производственных функций имеют отрицательный и убывающий наклон, т.е. выпуклы к началу координат, как это изображено, например, на рис. 8.1. Иными словами, MRTSL к для этих функций снижается вдоль каждой изокванты при переходе к комбинациям ресурсов, содержащим большее количество труда. Отрицательный наклон изоквант легко объясним. Если мы, например, сокращаем количество капитала (АК < 0), то, чтобы сохранить, неизменным выпуск, необходимо увеличить количество труда (AL^O). АКи AL всегда имеют противоположные знаки, так что АК

             < 0, а это и объясняет отрицательный наклон изоквант.

AL

2 Леонтьев Василий Васильевич — американский экономист русского происхождения (родился в 1906 г. в Санкт-Петербурге). Лауреат Нобелевской премии по экономике (1973). Автор метода экономического анализа «затраты — выпуск» (метода межотраслевого баланса).

Убывание MRTS и, следовательно, выпуклость изоквант так же вполне объяснимы, если исходить из того, что при увеличе-

а

 

Рис. 8.2А. Карта линейных изоквант

 

- Є,

 

о Gl ь

Рис. 8.2Б. Карта изоквант леонтьевской производственной функции

нии количества труда и капитала их предельные продукты сни-

(AMP, АМРК Л

жаются                       < 0 и    — < 0  и в то же время положитель-

^ AL    АК )

будет снижаться.

MP, MP,

ны (MPL > 0 и МРК > 0). Тогда при движении слева направо вдоль изоквант MP, будет уменьшаться, так как количество труда увеличивается, а МРК- возрастать, так как количество капитала сокра-

щается. Следовательно, MTRS, к -

Известно, однако, что предельный продукт факторов производства может быть не только положительным, но и отрицательным или равным нулю, он может не только снижаться, но и повышаться с увеличением количества используемого фактора.

Почему же, обосновывая убывание MRTS, микроэкономическая теория всегда рассматривает только случай убывающего, но положительного предельного продукта? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим динамику предельного продукта факторов производства.

Предположим, что количество используемого капитала фикси-

ровано. Тогда выпуск можно представить как функцию только од-

ного фактора — труда: Q =f(L). Рис. 8.3а иллюстрирует такую фун-

кцию. Соответствующая динамика предельного продукта труда

представлена на рис. 8.4а3. На отрезках OA (рис. 8.3а и 8.4а) предель-

ный продукт труда не только положителен          > oj, но и возрас-

тает (tga < tgP). На отрезке А В MPL > 0, но убывает (tg8 < tgy).

На отрезке правее В MPL < 0 и убывает. Заметим, что способы про-

изводства (сочетание факторов К и L), соответствующие отрезку

правее В и характеризующиеся отрицательным предельным про-

дуктом труда, неэффективны, поскольку имеется возможность обес-

печивать тот же выпуск при меньшем количестве труда. Способы

производства, соответствующие отрезку OA, характеризуются тем,

что в них задействовано относительно избыточное количество ка-

питала или, иными словами, используется слишком мало труда для

данного количества капитала, т.е. имеются свободные производ-

ственные мощности, которые и позволяют подключать добавочные

трудовые ресурсы, не снижая предельной производительности.

Это означает, что выпуск, получаемый при таких способах производства, может быть обеспечен при неизменном количестве труда, но при меньшем количестве капитала. Поэтому рассматриваемые способы производства также по определению неэффек-* тивны. Аналогичным образом можно представить выпуск как функцию капитала при неизменном количестве труда и проследить динамику предельного продукта капитала (рис. 8.36 и 8.46). Здесь технически неэффективными являются способы производства, расположенные на отрезке ОС и отрезке правее D.

Подпись: MP.МРт

А

а) труда

Рис. 8.4. Динамика предельного продукта

Технически эффективными могут быть признаны только способы производства, соответствующие отрезкам АВ (рис. 8.3а, 8.4а) и CD (рис. 8.36, 8.46). Только они отражаются производственной функцией. Но для этих способов производства предельный продукт факторов всегда положителен и убывает. А это доказывает справедливость утверждения о том, что производственная функция характеризуется убывающей MRTSLK, а изокванты как способ выражения производственной функции выпуклы к началу координат4.

В производственной функции, изображенной на рис. 8.1, убывание MRTSLK происходит плавно, постепенно. Многим произ-

Подпись: Мы исходим из того, что так называемый закон убывающей предельной производительности факторов и обусловленная им динамика предель¬ного продукта основательно объясняются во вводном курсе экономичес¬кой теории. Формально мы можем изобразить изокванты, отдельные участки которых характеризуются возрастающей MRTS, но это лишено экономического смысла. Данные участки не отражают объективных взаимосвязей между затратами факторов и выпуском, поскольку соответствуют технически неэффективным способам производства.

водственным функциям свойственно скачкообразное изменение MRTS. Такие функции описываются ломаными изоквантами (рис. 8.5).

маные изокванты более реалистичны, чем гладкие, подобные изображенным на рис. 8.15. Однако гладкие изокванты приближенно отражают форму ломаных изоквант, и это приближение тем точнее, чем больше число способов производства, позволяющих произвести заданный объем выпуска. Поэтому анализ производственных функций с гладкими изоквантами дает возможность выявить основные закономерности процесса производства, не прибегая при этом к сложному математическому аппарату. Проводя такой анализ, мы тем не менее в необходимых случаях будем возвращаться к рассмотрению особенностей, вытекающих из дискретного характера взаимозаменяемости факторов производства.

Важной характеристикой производственной функции является показатель эластичности замещения. Коэффициент эластичности (8) показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, т.е. соотношение между капита ■ лом и трудом, чтобы при неизменном выпуске предельная норма технического замещения изменилась на один процент:

Подпись: >L,K

или в дифференциальной форме:

Подпись: 5 См., например: Koutsoyannis A. Modern Microeconomics. Second Edition, MacMillan, 1994. P.68-69; Гальперин B.M., ИгнатьевС.М., МоргуновВ.И. Микроэкономика. Т. 1. СПб.: Экономическая школа, 1998. С. 271.
Они отражают производственные процессы, для которых характерно не бесчисленное множество, а ограниченное количество способов производства заданного объема выпуска. Например, как это показано на рис. 8.5, существует всего четыре способа производства продукции в объеме Q, (А, В, С и D). Точки, лежащие на отрезках ломаной изокванты, характеризуют не особые способы производства, а сочетание различных способов производства, при которых возможен выпуск данного объема продукции. Например, точка е, лежащая посредине отрезка АВ, свидетельствует о том, что выпуск в размере <2, возможен, если одна его половина производится способом А, а другая - способом В. Точка / отражает возможность сочетать способ В ('/3<2i) и способ С (2/з(Л)- Для. этого потребуются затраты труда в размере Lf = X/3LB + */3Lc и капитала в размере Kf = Х/3КВ + 2/3Кс. При любом сочетании способов производства А и В (или любых других «смежных» способов производства, например, В и С) MRTSLK остается неизменной. Однако переход от сочетания способов А и В к сочетанию способов В и С и т.д. сопровождается скачкообразным уменьшением MRTS.

Многие экономисты считают, что возможности замещения факторов в большинстве производственных процессов имеют характер скорее дискретный, чем непрерывный. Следовательно, ло-

AMRTS, к

8     \%AMRTSLK       К_   :  MRTSLK <8Л1)

0)

L

 

MRTSLK

6 = dMRTSLK           Z~"" (812)

1

Поскольку вдоль каждой изокванты отношения — и MRTS

меняются в одном и том же направлении, снижаются при увеличении количества труда в способах производства и возрастают при увеличении капитала (см. иллюстрацию на рис. 8.6), показатель 5 всегда положителен. Он может варьировать от бесконечности (для линейной производственной функции) до нуля (для ле-онтьевскэй функции). Данный коэффициент позволяет соизмерять степень взаимозаменяемости ресурсов для различных производственных процессов.

о

Рис. 8.6. Изменение капиталовооруженности труда и MRTS

tga и tgp" отражают капиталовооруженность труда

соответственно для способов производства А и В. tgy и tg5 отражают MRTSL к для этих способов производства

 

8.3. Эффект масштаба

 

Предположим теперь, что фирма увеличивает использование всех факторов производства в одинаковой пропорции, например, в N раз. Это означает, что изменился масштаб производства. Такое изменение приведет к росту выпуска. Вопрос в том, насколько он возрастает. Возможны три различные ситуации:

выпуск возрастает ровно в Л^раз;

выпуск возрастает меньше, чем в N раз;

выпуск возрастает больше, чем в N раз.

Первая ситуация характеризует неизменную, вторая — убыва-» ющую и третья — возрастающую отдачу от масштаба. Или в формализованном виде:

Если производственная функция задана выражением Q = f(K, L) и все ресурсы умножаются на одну и ту же положительную величину N (где N > 1), то отдача от масштаба определяется:

при f(NK, NL) = Nf(K, L) = NQ как неизменная;

при f(NK, NL) < Nf(K, L) = NQ как возрастающая;

3)         при f(NK, NL) > Nf(K, L) = NQ как убывающая.

Графическая иллюстрация неизменной, убывающей и возрас-

тающей отдачи от масштаба приведена на рис. 8.7а, б, в.

Один и тот же производственный процесс при различных масштабах производства может характеризоваться различными типами отдачи от масштаба. Вполне вероятно, что маленькая фирма, увеличивая количество работников и применяемый капитал, получает возможность развивать специализацию, лучше использовать производственные мощности и т.п., что приводит к возрастанию отдачи от масштаба. Наоборот, расширение масштабов деятельности крупным предприятием может привести к ухудшению координации между отдельными его звеньями, росту управленческих издержек и т.п., что обусловливает убывающую отдачу от масштаба. Однако большинство экономистов считает наиболее распространенным случай неизменной отдачи от масштаба6. Аргументация очень проста: фирма, как правило, способна повторить то, что она делала прежде. Удвоение количества всех ресурсов позволяет ей открыть второй такой же завод и удвоить выпуск. Увеличение ресурсов в 3 раза позволяет открыть третий завод и т.п.

Производственная функция с неизменной отдачей от масштаба характеризуется важным свойством: MRTSL к для нее зависит только от уровня капиталовооруженности труда (соотноше-К

ния —) и не зависит от масштаба производства. Все способы

К

производства с одинаковым соотношением — (например, спосо-

бы А и В на рис. 8.7а) имеют одинаковую MRTS, как бы ни различались количества труда, капитала и выпуска при этих способах производства7.

 

8.4. Технический прогресс

 

До сих пор мы предполагали уровень технологического раз-* вития неизменным. Но для общества характерен технический прогресс. Рассмотрим его влияние на производство, используя аппарат производственных функций.

Технический прогресс, выражающийся в совершенствовании техники, технологии, появлении новых, прогрессивных методов организации производства, повышении квалификации работников и т.п., позволяет при прежнем количестве используемых ресурсов производить больше продукции. Или, что, то же самое, производить прежний выпуск при меньшем количестве ресурсов. Это явление может быть проиллюстрировано смещением карты изоквант к началу координат (рис. 8.8а, б, в).

Сплошные изокванты характеризуют производство до нововведений. Сдвиг изоквант в положение пунктирных линий характеризует влияние технического прогресса.

Подпись: См., например: Nickolson W. Microeconomic Theory. Basic Principles and Extensions. The Dryden Press, 1995. P. 322.
Доказательство этого утверждения приводится в Приложении 2.

Различают три типа технического прогресса: капиталоинтен-сивный (трудосберегающий), трудоинтенсивный (капиталосберегающий) и нейтральный. Капиталоинтенсивный технический прогресс имеет место тогда, когда в результате нововведений при прежнем соотношении затрат труда и капитала ^jj- = const j MRTSLK

снижается. Такой тип технического прогресса проиллюстрирован на рис. 8.8в. Изокванты не только сдвигаются к началу координат, но становятся более пологими во всех точках, лежащих на одних и тех же лучах, проведенных из начала координат, где со-

К

отношение — неизменно.

Трудоинтенсивный технический прогресс имеет место тогда,

к

когда при неизменном соотношении — MRTSL к повышается. Его

иллюстрирует рис. 8.86, на котором изокванты, сдвигаясь к началу координат, становятся круче.

Технический прогресс называют нейтральным, если при неизменном уровне капиталовооруженности труда MRTSL к также остается неизменной (рис. 8.7а).

Коль скоро технический прогресс приводит к росту выпуска при неизменном количестве ресурсов, он всегда сопровождается ростом производительности (среднего продукта) всех факторов производства. Но это не означает, что обязательно должна повышаться предельная производительность (предельный продукт) всех факторов. Динамика предельного продукта при техническом прогрессе зависит от вида производственной функции. Предельные продукты труда и капитала могут повышаться, снижаться или оставаться неизменными при любом типе технического прогресса. Важно то, что при неизменной капиталовооруженности труда

MP,

отношение предельных продуктов — , т.е. MRTS, к, при капи-

МРК

талоинтенсивном техническом прогрессе снижается, при трудо-интенсивном растет и при нейтральном не изменяется.

На практике технологические изменения, как правило, сопровождаются изменением количества ресурсов, используемых в производственном процессе. При этом важно определить, в какой степени рост выпуска связан с увеличением объема факторов производства и в какой мере он является результатом технического прогресса.

Введем в производственную функцию параметр A(t), который характеризует изменения, связанные с техническим прогрессом, (изменения А в течение определенного времени /, так что А есть функция от г). Поскольку К и L тоже изменяются во времени, производственная функция имеет вид:

Q = A(t)fK(t),L(f)-- (8Л4> Продифференцируем уравнение (8.14) по переменной Г.

Ш.ш"пКшЦ + А.йЖЛ. (815)

dt       df at Умножим первое слагаемое правой части уравнения (8.15)

на —     1 и второе слагаемое на Ц^т L) = 1. Учитывая, что

dQ _ dQ Q

df dK | df aL дк' dr      Э1 dt

(8.16)

А L> Q = Af(K, L), получим:

dt       dt A     ДК, L) Разделив все члены уравнения (8.16) на Q, получим:

dQ/dt = dA/dt     df/дК dK + df/dL d_L

Q         А        ДК, L)  dt      ДК, L) dt ' (bA/)

Умножив второе слагаемое правой части уравнения (8.17) на

К         L ,

— = 1 и третье слагаемое на у — 1, получаем: К L

dQ/dt = dA/dt     д£     К     dK/dt +

Q         A        dKf(K,L) К

df      L dL/dt

+ эгжт>— <818)

dQ/d/

Отношение ——— характеризует относительный прирост выпуска в течение периода t, или темп прироста выпуска (GQ).

Аналогично этому dK^d1 = GK характеризует темп прироста I К

капитала   d^d* = G, - темп прироста трудовых ресурсов и L

dAtdt _ темп технического прогресса (темп прироста выпуска А

за счет технического прогресса).

Исходя из этого, можем записать:

 

Э/     К Э<2 к

Параметр ^ ■ ^ ~ q представляет собой стандартную формулу коэффициента эластичности. В данном случае речь идет об эластичности выпуска по затратам капитала. Обозначим этот коэффициент символом eQK. Он показывает относительное изменение выпуска при изменении затрат капитала на малую величину.

Э/      L            Эе L

Соответственно, параметр дК ц ~ dLQ представляет собой коэффициент эластичности выпуска по затратам труда

В итоге мы получаем уравнение:

Gq = GA + eaKGK + eaLGL. (8.20)

Оно позволяет определить, в какой мере прирост выпуска (на предприятии, в отрасли, в группе отраслей или в экономике в целом) обусловлен изменением количества применяемых ресурсов (Eg КК + £qLL) и в какой — техническим прогрессом (GA)&.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 8 Производственная функция Кобба—Дугласа

Для анализа зависимости «ресурсы — выпуск» широко применяется уже знакомая вам функция Кобба—Дугласа, которая имеет вид:

Q = AKaLb,

где А, а и b — положительные константы, причем а < 1, b < 1.

Используя формулу (8.20) для осуществления практических расчетов, следует учитывать, что параметр G (так называемый остаток Солоу) построен по остаточному принципу, т.е. отражает влияние на темп роста выпуска всех прочих факторов помимо изменений количеств применяемых ресурсов (труда и капитала). Это означает, что данный параметр может характеризовать влияние на выпуск не только технического прогресса, но и некоторых других факторов, например, погодных условий. Однако следует признать, что для большинства производственных процессов главенствующая роль среди «прочих факторов» принадлежит техническому прогрессу.

Рассмотрим основные характеристики производственного процесса, описываемого данной функцией:

1- MP, = Ш = ЬАК" Lb~u,

МРК = Щ = aAKa-lLb. Приведенные выражения можно записать в виде

MPK = aAKa~lLb — = аЦ- = aAPK.

 

MPL = bAKaLb,j = bj = bAPL;

 

К Q

 

Поскольку a < 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).

2. ^ = ^г-= ЬА(Ь - l)K°Lb-2 < 0; dL        Э L

=  i£Q   = аА(а _ l)Ka-2Lb < о

Поскольку вторые производные производственной функции по труду и по капиталу отрицательны, можно утверждать, что данная функция характеризуется убывающим предельным продуктом как труда, так и капитала9.

Заметим, что полученный вывод справедлив только при а < 1, b < 1. Если параметры а или b больше единицы, то соответствующие вторые производные будут положительны, что характеризует возрастающий предельный продукт фактора производства. Как отмечалось, способы производства с возрастающим предельным продуктом какого-либо из факторов технически неэффективны и не вписываются в производственную функцию. Формально можно рассматривать функцию Кобба-Дугласа со степенями а > 1 или b > 1, но, строго говоря, это будет уже не производственная функция.

4 Данный вывод, впрочем, можно было сделать и раньше, на основе положения о том, что предельные продукты факторов производства меньше средних продуктов.

MP,      bAK°L^      b     , ЬК

3 MRTS, к = —f =     .  „ і h = -KL7X = —-.

J-         L'K     MPK      aAKa~'Lb      a         a L

Из полученного выражения очевидно, что при снижении ве-

к

личины — MRTSLK постепенно убывает. Это означает, что изокванты производственной функции имеют стандартную форму: это - гладкие изокванты с отрицательным наклоном, выпуклые к началу координат.

Это означает, что степенными параметрами функции являются коэффициенты эластичности выпуска по капиталу (а) и по труду (Ь), так что уравнение для темпа роста выпуска (8.20) для функции Кобба—Дугласа принимает вид GQ = Gz + aGK + bGL. Параметр а, таким образом, характеризует как бы «вклад» капитала в увеличение выпуска, а параметр b — «вклад» труда.

т.е. для данной функции характерна постоянная (равная 1) эластичность замещения.

Функция Кобба—Дугласа может характеризовать любой тип отдачи от масштаба, в зависимости от значений параметров а и Ь. Увеличим количество всех применяемых ресурсов в Л' раз. Тогда вместо функции Q = AKaLb получим Q' = A{NK)a (NL)b = = Na+bAKaLb = Na+bQ. Отсюда следует, что если а + Ъ = 1, то Q' больше Q ровно в N раз и, следовательно, мы имеем постоянную отдачу от масштаба.

Если а + b > 1, отдача от масштаба будет возрастающей, если а + b < 1 — убывающей.

Рассматриваемая функция может служить для описания различных типов технического прогресса.

b К

Поскольку MRTSLK = ~~^> капиталоинтенсивныйтехнический прогресс может быть отражен посредством изменения коэффициентов а и b производственной функции, так что величина —

а

понижается (MRTSL к снижается при неизменном уровне —). Трудоинтенсивный технический прогресс отражается переходом

к функции с большей величиной ^ (MRTSLK растет). Нейтральный технический прогресс отражается переходом к функции с

Ь

неизменным соотношением —.

а

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ 8 MRTS при неизменной отдаче от масштаба

В параграфе 8.3 утверждалось, что при неизменной отдаче от масштаба MRTSLK зависит только от уровня капиталовооруженности труда (соотношения у) и не зависит от масштаба производства. Докажем это утверждение.

Пусть производственная функция Q = F{K, L) однородна в степени л, тогда

F(eK, eL) = e"F(K, L). (8.21)

I

Пусть е = —, тогда

Li

 

Следовательно,

(HH

^          dL

отсюда

4 Щ    -ЛЬЛк ^«М|1ШМ|НМ||

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

MPL = ^"-'/-(f, l) - KL^FK4L[^-, l). (8.22)

Умножим факторы производства L и К в уравнении (8.22) на положительную константу X и получим:

 

= А""

Отсюда, с учетом уравнения (8.22), получаем MPL(XK, XL) = = Xn~lMPL(K, L). Это означает, что если производственная функция однородна в степени и, то функция предельного продукта однородна в степени (я — 1).

Проделав аналогичные операции для предельного продукта капитала, легко увидеть, что функция МРК также однородна в степени (и — 1):

МРК(ХК, XL) = Х"-*МРК(К, L). Отсюда следует, что при однородной производственной функции увеличение объема каждого фактора производства в X раз не изменяет величины MRTSLK:

і"-' MP MP MRTS. K =      ,    L =

ІЛ      X"~lMPK MPK

Однородная производственная функция не обязательно характеризует неизменную отдачу от масштаба. Если степенной коэффициент п в выражении (8.21) больше единицы, она отражает возрастающую отдачу, если п < 1, - убывающую отдачу от масштаба. Но в то же время для описания производства в условиях убывающей или возрастающей отдачи от масштаба вовсе не обязательно использовать однородные функции. Более того, именно неодно-" родные функции здесь выглядят значительно реалистичнее. Однако, что касается постоянной отдачи от масштаба, то для ее описания, по определению, может использоваться только однородная функция (точнее, линейно однородная, и в выражении (8.21) п равно единице). Поэтому только при постоянной отдаче от масштаба всегда соблюдается правило, согласно которому при неизменном К

отношении — MRTSLK остается неизменной, как бы ни изменялись количество факторов производства и объем выпуска. 180

Дайте определение технически неэффективного способа производства.

Можно ли утверждать, что все способы производства, при которых наблюдается повышение предельного продукта труда, являются технически неэффективными? Ответ обоснуйте.

При каком типе отдаче от масштаба увеличение масштаба производства сопровождается ростом его капиталоемкости (от-

К

ношение ф-)? Ответ обоснуйте.

Для какого типа отдачи от масштаба характерна ситуация, при которой уменьшение масштаба производства сопровождается ростом производительности труда? Ответ обоснуйте.

При переходе от технически эффективного способа производства А к способу производства В количество используемого труда и капитала удваивается, a MRTSLK остается неизменной. Можно ли утверждать, что при этом имеет место неизменная отдача от масштаба? Ответ обоснуйте.

Дана зависимость Q = K2L3. Докажите, что эта зависимость не может характеризовать производственную функцию.

Новая технология позволила вдвое сократить количество труда при неизменном количестве капитала и выпуска. Можно ли утверждать, что имеет место трудосберегающий тип технического прогресса? Ответ обоснуйте.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |