Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

2.3. выбор потребителя при заданной полезности

При анализе поведения потребителя наряду с задачей оптимизации потребительского выбора (2.10), (2.8) часто возникает задача другого рода. Допустим, задана некоторая кривая безразличия и цены товаров. Потребитель желает выбрать из множества одинаково полезных наборов такой, который является самым дешевым, т.е. минимизирует его расходы при заданных ценах на товары. Будем называть эту задачу связанной с задачей (2.10), (2.8). Математически она может быть записана следующим образом:

т= рХ + р2х2    min; (2.25)

U(xux2) = u. (2.26)

Задача (2.25), (2.26), так же, как и задача (2Л0), (2.8), является задачей на нахождение условного экстремума и может быть решена методом Лагранжа. Согласно геометрической интерпретации данного метода оптимальный набор товаров для задачи (2.25), (2.26) является точкой касания некоторой линии уровня целевой функции т (хь х2) — = рХ + Р2Х2 и нулевой линии уровня функции-ограничения G (Х, х2) = = и — Щху х2) (рис. 2.6).

Нетрудно заметить, что оптимальный набор Х° = (jcj°,jc^) (решение) задачи (2.25), (2.26) зависит от уровня полезности и соотношения цен на продукты, задающего наклон линий уровня линейцой целевой функции. Это означает, что величина спроса jcj° на товар 1 и величина

спроса х\% на товар 2 при выборе потребителя в соответствии с условиями задачи (2.25), (2.26) зависят от уровня полезности и цен товаров. Другими словами, спрос на товары 1 и 2 может быть описан как некоторые функции от цен и полезности. Обозначим их через х,° =

H(Ph Ръ и) и х2 = Ніірь Ръ и) для товаров 1 и 2, соответственно. Эти функции называются функциями спроса Хикса. Они описывают множество решений задачи (2.25), (2.26) и позволяют исследовать динамику спроса при изменении полезности и цен.

Кроме того, благодаря функциям спроса Хикса х,° = Н(р, р2, и) и *2 = Н2(ръ Ръ и) минимальный расход на оптимальный потребительский набор т° = р хх° + р2 х\% может быть исследован в зависимости от уровня полезности и цен. Для этого функции спроса Н ц Н2 следует подставить в целевую функцию (2.25):

т = рх Нх(рх, Ръ и) + р2 Н2(рх, р2, «)•

Полученная функция называется функцией расходов и обозначается т (р, Р2, и) или т (р, и), где р — вектор цен, р — (р9 pi)-Приведем свойства функции расходов т (р, и):

т (р, и) является не возрастающей по р

т (р, и) является однородной первой степени по р;

т (р, и) является вогнутой по р;

т (р, и) непрерывная в пространстве цен р, для р > 0;

Х° = (х?,х\%)— решение задачи (2.25), (2.26) при условии,

что производная существует и что р > 0.

Доказательства свойств 1—5 можно найти в [3, с. 105 или в 2, с. 58-60].

Выведем функции спроса Хикса и функцию расходов для функции полезности из примера 2.1. Для этого сформулируем задачу потребительского выбора, связанную с задачей (2.19), (2.8), и решим ее методом Лагранжа. Итак, задача определения самого дешевого потребительского набора (минимизации расходов) заданной полезности имеет следующий ввд:

Рх + Р2Х2 —> min; (2.25)

т

U(xhx2)= х/2х12,3=и. (2.27)

Построим функцию Лагранжа L (хь х2, X) = рхх + р2Х2 +А, (и — - х/2х/3) и найдем для нее точку минимума (х?,х2 Д°)

L (х, Х2, X) = рх + Р2Х2 +Х (и —х12х23) —► min. (2.28)

Согласно необходимому условию экстремума функции трех переменных для точки (х,0,^,^0) выполняются следующие соотношения:

Подпись: dL/dxx = Р- Ъд[312х2 = 0, или рх = Хх12/312х12 д£/дх2 = Р2 - Щ12 ІЗХ213 = 0, или р2 = AJCJ72 /ЗХ|/3;(2.29) (2.30)

dL/dX = и - х/2х/3 = 0. (2.31)

Исключим из уравнений (2.29), (2.30) переменную X. Это позволит выразить переменную Х2 через х : Х2 = 2pX/3pi. Заменив в Уранении (2.31) Х2 на его выражение через х, получим

Подпись: ,1/2Подпись: ІР2_

6/5
Подпись: чЗ/5Подпись: о _2а ЪР2

6/5

= (и)

ч!/3

5/6

Зр2

4-і)

2Р]

ч2/5

И X

1 )

2£х

к3 Pi;

 

(2.32)

Мы вывели функции спроса Хикса для заданной функции полезности U = х12х23. Они описывают множество решений задачи (2.25), (2.27), т.е. зависимость величины спроса на товары от уровня полезности и цен (см. формулы (2.32) для х,° и х\%). Подставим в (2.25) найденные функции хх и jc§ :

ч2/5     ✓ чЗ/5

(  6/5І3Г   (    3/5/     2/5 . /  6/5[2]     /    чЗ/5/ ч2/5

= (и) Ы (л). (л)  +(«) Ы Ы Ы =

6/5

= (иУ

/~ч2/5 х-Л3/5

з/5 /^Л275 (зЛ2/5

 

ґ     чЗ/5х 2/5

(2.33)

 

Величина pjXj0 + р2х является стоимостью самого дешевого набора на кривой безразличия, заданной уравнением (2.27), и заданных ценах товаров. Как видно из (2.33) она зависит от уровня полезности и цен, т.е. является функцией расходов для потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности U(jcb Хі) = х/2х/3.

Можно показать, что функция косвенной полезности V(p, М) и функция расходов т(р, и) являются взаимно обратными функциями. Действительно, несложные преобразования позволяют вывести из функции косвенной полезности (2.24) функцию расходов (2.33):

{-

ЛУ2Ґ у/3

 

Ри

3/5

2/5

Подпись: 6/5M = 5(V)

И наоборот, из функции расходов (2.33) можно вывести функцию косвенной полезности:

Подпись: = 5(и)m

6/5 [а 3

3/5

 

. m => и = —

5

( 3 Л3'5 (-2 л2'5

Рг)

Р)

-(.Г-(f)

5/6 / , \>/2/■ л.1/3

УРг)

3_

Ри

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |