Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

2.4. основные теоремы. уравнение слуцкого

Рассмотрим основные теоремы теории потребительского выбора, которые известны как лемма Шепарда (теорема 1), тождество Роя (теорема 2) и уравнение Слуцкого (теорема 3).

■ Теорема 1. (Лемма Шепарда.) Для функции расходов т(р, и) и функций спроса Хикса х/> = Ht(p, pi, и) справедливо следующее соотношение:

Н,КР,р2,Щ-  

др^

0=1, 2).

□ Доказательство. Приведем графическое доказательство. Пусть переменная и и одна из цен, допустим товара 2, равны соответственно: и-и,р2=р2. Тогда функция расходов т (р{9р2,и*) является функцией только переменной pi. Предположим, что эта функция дифференцируема.

Что является производной функции т(рх,р2,и*) при р = р* ?

Так как полезность потребительского набора [Нх(рх,р29и*), Н2(р*,р*2,и*)] равна и*, выполняется следующее соотношение:

т (рх,р2У) <РН(р,р*2,и)+ РІН2(рІ,Р2>и*У <2-34)

Следовательно, все точки графика функции, стоящей в правой части неравенства (2.34), расположены над (выше) точками графика функции т(рх,р*2,и*), соответствующей левой части неравенства

(2.34), и при р = р* графики функций касаются. Точнее, график линейной пор функциирхНі(р[,р*2,и*) + р2Н2Ір*,р*2,и*) является касательной к графику функции т(рх,р*2,и*) в точке рх = р* (рис. 2.7).

Последнее означает, что производные функций, образующих левую и правую части неравенства (2.34), в точке р = р равны и, следовательно,

дт(рх,р29и)

            г                      пх{рХ9р2іи) ,

Фі

что и требовалось доказать.

Алгебраическое доказательство теоремы можно найти в работах [2] и [3].

■ Теорема 2. (Тождество Роя.) Для функций спроса Маршалла и функции косвенной полезности справедливо следующее соотношение:

Доказательство. Допустим х* и х2 — решение задачи потребительского выбора, т.е. jc* = D(p, р2, М) и х2 — ЩРь Ръ Щ-Пусть и* = U(х*). Тогда можно утверждать, что х*= Н(р, р2, и*),

х2 = Н2(ри Ръ "*) и ^= т (Рь Р2> И следовательно, it = К(/?, т (р, if)) для фиксированного значения и* и любых

Продифференцируем последнее тождество поРі(і =1,2). Получим

0=dV_+d]Ldm   (/ = 1? 2) (235)

дР;     ЗМ дРі

Используя теорему 1, заменим дт/дрі на Я/ (р, р2, и*) = */*= = Д (/?!, /?2, М) и перепишем (2.35) по-другому:

 

ф,-   ом            фу   дм       дРі дм

Из последнего соотношения легко получить утверждение теоремы. ■ Теорема 3. (Уравнение Слуцкого.) Для функций спроса Маршалла и функций спроса Хикса справедливы следующие соотношения:

3D:      ЗН: 3D:

it1- = -jt—zj** & j = l> 2)' (2-36)

opt       dpi дм

где величина спроса по Маршаллу оценивается при заданных ценах и доходе, а величина спроса по Хиксу — для уровня полезности, соответствующего найденной точке маршаллианского спроса.

Доказательство. Рассмотрим тождество xj*(p, т(р, и)) = = Ц(р, и) (/ = 1, 2) и продифференцируем обе части этого тождества по переменной pi (і = 1, 2). Получим

дх*    дх. Ят      дН'-   3D.     3D, я™ ^Я.

—L +    ' бт = L     или —L + —L™L =      L . (2.37)

ф;    дМ дРі      3Рі      3Рі     ЗМ 3Рі 3Рі

Согласно теореме 1 дт/дрі есть функция Ht (р, и) = х*(р, т (р, и)). Поэтому (2.37) можно истолковать следующим образом:

3D:      3D:    ЗН:

—J- + —-X; (р,т(р,и)) =        

dpj      ЗМ 3Рі

Сделав замену фиктивных переменных (постоянных величин, записанных в виде переменных), получим соотношение (2.36), которое известно как уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого позволяет, во-первых, анализировать изменение спроса, описываемого функциями Хикса, не зная самих функций. Во-вторых, отнести рассматриваемые товары к той или иной категории в зависимости от направления и величины изменения спроса на них при изменении цен и дохода. В-третьих, если записать это уравнение в терминах коэффициентов эластичностей, то можно оценивать эластичность спроса по Хиксу, используя для этого функции спроса Маршалла, Приведем формулировку уравнения Слуцкого в терминах коэффициентов эластичностей:

Ey=E»-ajEM, (2.38)

где Ejj — эластичность маршаллианского спроса на /-й товар по цене у-го товара; Ejj1— эластичность спроса по Хиксу (компенсированного спроса) на /-й товар по цене у'-го товара; Ем — эластичность маршаллианского спроса на /-й товар по доходу; ау — доля расходов нау'-й товар в доходе потребителя (ау = PjX*/ М).

Далее с помощью несложных преобразований уравнений (2.38) можно получить уравнения агрегации, которые отражают зависимости между эластичностями спросов по Хиксу для различных товаров при изменении цены одного из них.

В частности, для / = у = 2 имеем следующие два уравнения:

щЕхнх + а2Е2их = 0 и а, £,2 + а2Е?2 = О, где Ехнх — эластичность спроса по Хиксу на товар 7 при изменении цены товара 7;

Е2Х — эластичность спроса по Хиксу на товар 2 при изменении цены товара 7;

ЕХ2 — эластичность спроса по Хиксу на товар 7 при изменении цены товара 2

Е22 — эластичность спроса по Хиксу на товар 2 при изменении цены товара 2

cq — доля расходов на товар 7 в доходе потребителя (а! = рхх / М); а2   — доля расходов на товар 2 в доходе потребителя (а2 = да / М).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |