Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

Производственные функции 3.1. однофакторные и многофакторные производственные функции

Понятие производственной функции (ПФ) является основным в экономической теории. Оно используется для описания принципа «затраты—выпуск» на микро- и макроэкономичеких уровнях. Затрачиваются ресурсы производства — факторы производства (один или несколько) — в определенных количествах, выпускается продукция в определенном объеме. Формально производственная функция выглядит так:

у = f(x, аи,.., ат) (3.1)

или

j> = /(xb...,x„,ab...,tfw), (3.2)

где у — объем (количество) выпускаемой продукции; в (3.1) х — количество затрачиваемого (используемого) ресурса (т.е. х>0), в (3.2) хь...,хп — количества затрачиваемых (используемых) ресурсов; вектор (хх,хп) называется конфигурацией ресурсов, хх > О,хп > 0; яьат — параметры; символ /, называемый характеристикой ПФ, показывает, как количество ресурса формально преобразуется в объем выпускаемой продукции.

Производственная функция (3.1) называется однофакторной (од-норесурсной — редко используемый термин); ПФ используются для решения разнообразных аналитических, плановых и прогнозных задач и в прикладных исследованиях.

Производственная функция может иметь разные области использования. Микроэкономическая производственная функция (МИПФ) имеет в качестве области использования (содержательной области) отдельную фирму, производственный комплекс, отрасль. Макроэкономическая производственная функция (МАПФ) имеет в качестве области использования национальную экономику, экономику региона. В МАПФ наряду с малыми /, хь...,хП9 у используют большие

символы F9 х{9...9хп9 Y: Y = F(x9...9xna9...9am).

В МИПФ количества затрачиваемых (используемых) ресурсов и объем выпускаемой продукции часто выражаются в натуральной форме: капитал — в штуках оборудования; труд — в часах затрачиваемого времени (возможно по различным видам трудовой деятельности); энергия — в киловатт-часах; материалы, комплектующие — в соответствующих единицах и т.п.

В ПФ крупных отраслей, регионов и национальной экономики количества затрачиваемых ресурсов и объемы выпускаемой продукции выражаются в стоимостной форме (как правило, в постоянных ценах).

Выбор ресурсов и аналитической формы ПФ у - f(x{,хп) называется спецификацией ПФ.

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров аи...,ат ПФ у = f(xuхп, а{,ат) на базр статистических данных с помощью регрессионного анализа называется параметризацией ПФ y = f(xl9...9xn9au...9am).

Проверка адекватности ПФ описываемой ею реальности называется верификацией ПФ.

Выбор аналитической формы ПФ у-f{xX9...9xYl9aX9...9am)9 (т.е. ее спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или косвенно) учитывать особенности взаимосвязей между объемами конкретных ресурсов и выпускаемой продукции или экономических закономерностей, особенности реальных и экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации. Оценки параметров ПФ обычно проводятся с помощью регрессионного анализа. Отметим, что выбор более продвинутой в аналитическом отношении ПФ обычно предъявляет повышенные требования к ее параметризации, которые могут быть по существу невыполнимыми. Это означает, что продвинутая в аналитическом отношении ПФ, параметры которой сформированы на базе не удовлетворяющих высоким требованиям реальных и экспертных данных, может давать менее точные результаты расчетов, чем более простая в аналитическом отношении ПФ. Таким образом, в случае ПФ (как и вообще в случае прикладных экономико-математических моделей) следует говорить о ее комплексной адекватности, принимая во внимание рациональное сочетание уровня аналитических построений и качества информационного обеспечения.

Производственная функция у = f(xx,хп, щ,ат) называется

статической, если ее параметры ах,...9ат и сама ее характеристика /

не зависят от времени, хотя объемы ресурсов и выпуска продукции могут зависеть от времени /, т.е. могут иметь представление в виде

временных рядов дс/(0),дс/(ї),...,дс/(Г),Я0),>'(1),...,>'(Г), ї = 1,...,л. Здесь / = 0,1,...,Г. — номер года; / = 0 — базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,..., Т.

Производственная функция называется динамической, если, во-первых, время / фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного ресурса — фактора производства, влияющего на объем выпускаемой продукции); во-вторых, параметры аи...,ат и и ее характеристика / зависят от времени /.

В статических и динамических ПФ время может быть как дискретным, так и непрерывным. В прикладных ПФ время, как правило, дискретное, и «атомом» времени (т.е. производственным периодом) является один год (квартал, месяц и т.п.). В этом случае объемы ресурсов Х(/),xn(t) и выпускаемой продукции y(t), а также

параметры я,(/),am{t) «привязаны» к периоду времени /. В теоретических ПФ время / может быть как дискретным, так и непрерывным. Производственные функции с дискретным временем более адекватны реальности, однако ПФ с непрерывным временем более удобны для проведения теоретических исследований.

Далее в основном будут рассматриваться двухфакторные ПФ у = f(xx,x2; ах,...,ат). Во-первых, при исследовании двухфакторных ПФ можно использовать наглядные геометрические соображения, ибо пространство ресурсов таких ПФ является двумерным. Во-вторых, основные положения теории двухфакторных ПФ по аналогии переносятся на многофакторные ПФ.

> Пример 3.1. Производственная функция вида у = а0ха является однофакторной. Здесь х — Объем затрачиваемого (используемого) ресурса; у- f{x) — объем выпускаемой продукции. В качестве ресурса может фигурировать рабочее время, в качестве выпускаемой продукции — партия валенок. Величины а0 и ах — параметры рассматриваемой ПФ. Параметры а0 > 1 и ах > 0 и обычно ах < 1. Таким образом, здесь п -1, т = 2.

Объемы х и у, а также параметры а0 и ах «привязаны» к некоторому фиксированному производственному периоду, который может равняться, например, одному году. Если производственный период меняется, то объемы х и у, а также значения параметров а0 и ах могут измениться.

График Г производственной функции у = а0ха* изображен на рис. 3.1. Он показывает, что с ростом объема х затрачиваемого ресурса растет объем у выпускаемой продукции, однако каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции: f(xx +1) - f(xx) < /(х0 +1) - /(х0), хх >х0. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом объема ресурса х) отражает важное положение экономической теории, хорошо подтверждаемое практикой, называемое законом убывающей эффективности.

>Пример 3.2. Производственная функция вида у = а0хх1х22 является двухфакторной. Она называется производственной функций Кобба—Дугласа (ПФКД) по имени двух американских исследователей, которые предложили ее использовать в работе, опубликованной в 1929 г. В приложениях и в теоретических исследованиях: х{ = К — объем используемого основного производственного капитала; х2 = L — затраты труда. Є использованием символов К и L рассматриваемая ПФ перепишется так: у = а0Ка* I?2.

Параметры а0,ах, а2 — положительные величины; часто ах + а2 <1. Производственная функция Кобба—Дугласа принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ. Благодаря своей структурной простоте ПФКД активно применялась и применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач.

Если а{ + а2 <1, то график ГПФКД представляет собой поверхность, похожую на выпуклую вверх «горку», крутизна которой падает по мере того, как конфигурация (х{,х2) ресурсов перемещается

на «северо-восток» по плоскости 0\%{х2 (рис. 3.2).

При х2=х2 имеем у = а0(х2)аіх^. В этом случае вертикальная плоскость х2 =х2 пересекает поверхность Г по линии G, которая в плоскости х2=х2 имеет уравнение у = а0(х2)а2 х°* = Ь0хха* (рис. 3.3). Линия G аналогична линии Г на рис. 3.1. Поведение линии G на рис. 3.3 отражает то обстоятельство, что при фиксированном объеме х2 второго ресурса с ростом затрат первого ресурса объем у выпуска растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса обеспечивает все меньший прирост выпуска.

Отмеченное обстоятельство адекватно реальности в случае, например, если число работников х2 (второй ресурс) и их квалификация остаются неизменными, а число станков (первый ресурс), которые работники обслуживают, увеличивается, скажем, в два раза, то объем выпускаемой продукции в этом случае вырастет менее, чем в два раза.

> Пример 3.3. Линейная производственная функция (ЛПФ) имеет вид у = а0 + щх + а2х2  (двухфакторная) и у = а0 + а{хх +... + апхп (многофакторная). Она принадлежит классу так называемых аддитивных ПФ. Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Обратный переход осуществляется с помощью операции потенцирования.

Для двухфакторной мультипликативной ПФ у = а0хх1х22 получаем аддитивную ПФ в следующей форме:

пу = 1пя0 +#i ln*i +#21пх2. Полагая y = w, пх{=уи lnx2=v2, получим аддитивную ПФ такого вида:

w = па0 -f^j vi + a2v2.

> Пример 3.4. Производственная функция затраты—выпуск (ПФЗВ) (производственная функция Леонтьева (ПФЛ)) имеет вид:

у = mm

Х  х2 ^

Пример 3.5. Производственная функция с постоянной эластичностью замены ресурсов (ПФ ПЭЗР) (производственная функция CES, если использовать западную аббревиатуру) имеет вид:

 

Линия уровня т /т ={(хі,х2)|т = /(х\>хг)> х ^0,х2 >0}производственной функции называется изоквантой, т.е. линией постоянного выпуска т. Уравнение изокванты, содержащей конфигурацию ресурсов х° =(хі9х2 У строится так: сначала определяем объем выпуска т° = f(xi,x2)9 а затем выписываем само уравнение

изокванты т° = f{x,x2.

Пример 3.6. Для ПФКД имеем уравнение изокванты:

^0 — &0Х х2 >

откуда следует равенство:

х2 =

хщ,аг

графиком которого является гипербола /То с вертикальной асимптотой Х = 0 и горизонтальной асимптотой х2 = 0 (рис. 3.4).

Рис. 3.4

При \%{ < т0 гипербола /Т) расположена «юго-западнее» гиперболы 1Ч, при т2 > т0 гипербола 1Ь расположены «северо-восточнее» гиперболы /То. Изокванты, соответствующие различным объемам выпусков х{ * *2 > не касаются друг друга и не пересекаются.

Все сказанное справедливо для изоквант других ПФ, которые отличны от ПФКД у = a0xxl х22 . Множество всех изоквант называется картой изоквант. На конкретном рисунке можно изобразить лишь фрагмент карты изоквант (на рис. 3.4 он похож на «совокупность кривых макарон»).

На изокванте /Хо (см. рис. 3.4) изображены две конфигурации ресурсов: х = (xi,x2) и х = (хих2), которые отличаются друг от друга, но обеспечивают одинаковый выпуск т0 продукции. Если рассматриваемая ПФ описывает копание ямы, то число т0 равно объему ямы, jcj - количество капитала, х2 - количество труда. В этом случае конфигурация х = (хх,х2) ресурсов показывает, что яму объемом т0 можно выкопать, затратив много труда и относительно мало капитала. Содержательно эта ситуация интерпретируется артелью с лопатами (отметим, что лопата — дешевый капитал). Конфигурация х = (х{,х2) ресурсов показывает, что яму объемом т0 можно выкопать, затратив много капитала и относительно мало труда. Содержательно эта ситуация интерпретируется экскаватором, на котором работает один экскаваторщик (отметим, что экскаватор — это дорогой капитал).

Движение конфигурации х по изокванте /То неограниченно вправо — содержательно интерпретируется таким образом: объем т0 выпускаемой продукции может обеспечить один капитал фактически без затрат труда, что не вполне адекватно реальности. Аналогично интерпретируется ситуация с движением конфигурации х по изокванте /То неограниченно вверх. Таким образом, ПФКД адекватна реальности в конечной части пространства ресурсов OjCjJC2.

> Пример 3.7. Для ЛПФ имеем уравнение изокванты /То:

^0 = #0 +#1*1 + а2х2.

Следовательно, изокванта /Х) есть прямая (нисходящая, если ах > 0 и а2 > 0), точнее отрезок этой прямой, расположенный в пространстве ресурсов, которое представляет собой неотрицательный ортант плоскости 0х,х2. На рис. 3.5 показан фрагмент карты изоквант ЛПФ (отметим, ЧТО Хх < То < т2 )•

 

/ а2 х2 = —хх

 

'к -к

~к ->

Рис. 3.6

Аналогичную карту изоквант имеет ПФ с линейными изокван-тами (ПФЛИ), которая имеет вид:

у = (а0 + аххх + a2x2)h,

где показатель степени h > 0.

> Пример 3.8. Для ПФЗВ (ПФЛ) имеем уравнение изокванты /х :

т0 = mm

^ хх х2

 

Следовательно, сама изокванта /То есть две стороны прямого угла, на рис. 3.6 показан фрагмент карты изоквант ПФЗВ (отметим,

ЧТО Тх <Т0 <Т2).

> Пример 3.9. Для ПФ ПЭЗР имеем уравнение изокванты /То:

т0 = а0 • (аххха + а2х2а)~Н/а. При а > 0 и h > О изокванта /То представлена на рис. 3.7. Непосредственно проверяется, что асимптотами изокванты /То являются ПрЯМЫе Х = хх(т0) и х2 -х2(т0),

где

 

Если конфигурация ресурсов х перемещается по изокванте /То

неограниченно вверх (см. рис. 3.7), то содержательно это означает, что для выпуска продукции в объеме т0 при любом объеме х2 второго ресурса необходим первый ресурс в объеме не меньшем, чец ^(tq) > 0. Аналогично интерпретируется ситуация, когда конфигурация х ресурсов перемещается по изокванте /То неограниченно вправо.

Из сказанного вытекает, что ПФ ПЭЗР более адекватна реальности по сравнению с ПФКД, ибо для обеспечения выпуска в объеме т0 всегда необходимы оба ресурса (капитал и труд), даже если потребности в одном из них возрастают многократно.

При а = -1 изокванта /То есть прямая (точнее отрезок прямой в

неотрицательном ортанте плоскости 0ххх2. Эта прямая /Т( имеет уравнение:

т0 =а0(а{х{ +а2х2) ,

т.е.

 

■ аххх +а2х2.

 

т0=д0(яі*? +л2^2Р)А/Р  (Р = -<*)• Следовательно, сама изокванта 7Хо есть линия, представленная на рис. 3.9, на котором также изображены изокванты /Tj и /v (ті <т0 <т2). При а < -1 уравнение изокванты /То имеет вид:

.То=а0(^?+«24)А/Р. Ф = -ос). Следовательно, сама изокванта /То есть линия, представленная на рис. 3.10, на котором также изображены изокванты /Ті и 1Хг   (тх < т0 < т2).

*2А

Непосредственно проверяется, что

 

-hla

lim а0 -(аххх а +а2х2а) hla = а0 lim хх

а->0 а-»0

ах +а2

х2 х J

 

а0хх

п a0xt

(Л)       п yh

ine

 

ІІІХІ

а-»0

Ґ г ^ *2.

А/а

lim

а->0

/г lim-

 

 

Vx2

т.е. получили ПФКД такую, что hax + ha2 = h. Следовательно, ПФКД есть асимптотически частный случай ПФ ПЭЗР при а -> 0.

Отметим, что переход (*) осуществляется лишь при ах+а2 =1. Символ (Л) означает, что применяется правило Лопиталя.

Если ах + а2 > 1,

ч/г/а

lim

<х-»0

ах +а2

= +оо;

 

если ах + а2 < 1,

 

Kh/a

lim

а-»0

ах +а2

 

Х2

= 0.

 

Подпись: Непосредственно проверяется, что
(х,<х2)

-а -hla

lim а0 - (аххх а + а2х2а )

а->+оо

 

 

' — uqxl I

lim

а->+оо а2 + #i

Таким образом,

lim а0-(аххх а +а2х2а) hla - min(tf0xf; а0х2 ).

а->+оо

При А = 1 имеем ПФЗФ (ПФЛ).

Следовательно, ПФЗФ (ПФЛ) есть асимптотически частный случай ПФ ПЭЗР при а -> +<х>.

Аналогично имеем

lim а0-(аххх~а + a2x2a)~h/a = lim а{ -(ахх +а2х)hl^ = max(tf0xf; а0х2).

> Пример 3.10. На основании данных по экономике СССР (динамика национального дохода, численность занятых в материальном секторе производства и объем основного производственного капитала), опубликованных за 1960—1985 гг., были рассчитаны параметры яо,яья2 МАПФ КД без учета научно-технологического прогресса (НТП):

Y = a0Ka<La

и с учетом НТП:

Y = a0eXtKa<La

Без учета НТП параметры оказались равными а0 = 1,022, tfj =0,5382, я2 =0,4618 (коэффициент детерминации Л2 =0,9969; статистика Дарбина—Уотсона DW = 0,81; названные здесь термины математической статистики рассмотрены в главе первой). При подстановке фактических значений К и L за 1986 г. ошибка прогноза с помощью ПФКД без учета НТП составила 3\%, что свидетельствует о том, что точность прогноза на основе рассмотренной ПФКД без учета НТП относительно невелика.

С учетом НТП параметры ПФКД оказались равными а0 = 1,038, Х = 0,0294, ах = 0,9749, а2 = 0,2399 (коэффициент детерминации R2 =0,9982; статистика Дарбина—Уотсона DW = 1,63)1.

Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. — мика, 1988.

М.: Эконо-

> Пример 3.11. На основании данных по экономике США (динамика ВВП, объем загруженного основного производственного капитала, число отработанных часов) за 1950—1979 гг. были рассчитаны параметры МАПФ КД без учета НТП и с учетом НТП.

Без учета НТП параметры МАЛФ КД

Y = a0Ka4?2

оказались равными а0 = 2,1005, ^=0,7986, а2 =0,2014 (коэффициент детерминации Д2 = 0,9907; статистика Дарбина—Уотсона DW = 1,1109). С учетом НТП параметры МАПФ КД

Y = а0е^°/+>11 sin^(0«/+(0' )j^a' if z

оказались равными а0 = 3,7846, Х0 = 0,0208, Хх --0,0129, со0 = 0,289, coj =0,7574, ах =0,1374, а2 =0,8626 (коэффициент детерминации R2 = 0,9973, статистика Дарбина—Уотсона DW = 1,4102). Особо отметим2, что в последней МАПФ КД в показателе степени экспоненты фигурирует слагаемое Хх 8Іп(со0/ + со1).

Производственная функция может быть задана в неявном виде:

G(y;xX9...9x„;aX9...9am) = 0.

Такое выражение называется уравнением производственной поверхности, оно обобщается на случай производства нескольких видов продукции

Gx(yx, ...9уг;х{9 ...9хп;ах, ...9ат) = 0,Gr(yX9...9yr;xX9...9xn;aX9 ...9ат) = 0.

Неявная форма представления объема выпуска (объемов выпуска) используется лишь в теоретических исследованиях.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |