Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Грачева Марина Владимировна

3.3. предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

Пусть у = / (х) = / (xi, х2) (у = f{x) = /(xbх„)) - производственная функция (ПФ). Дробь

 

/ = 1,2 (1 = 1,...,*)

Xi

называется средней производительностью /-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском до-1-му ресурсу (фактору

fix)

производства). Символика: ^t = ^i-Lt

Xi

В случае двухфакторной ПФ, у которой хх = К, x2=L для сред-

Y Y

них производительностей — и — основного капитала и труда исК L

пользуются соответственно термины «капиталоотдача» и «средняя производительность труда».

Пусть у = А*) - Лх, х2) iy = f(x) = /(а?, ,...,*„)) - производственная функция. Ее первая частная производная

2^,/-i,2 a=i,..,n)

дхі называется предельной (маржинальной) производительностью /-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по

/-му ресурсу (фактору производства). Символика: м/= •

дХі

Обозначим символами Ах,- и А/(Дх)) (Ді/(хь х2) =/(хі+Дхь х2) -f(xu х2); А2/хь х2) = /(хь х2+Ах2) -/(хь х2)) соответственно, приращение переменной X/ и соответствующее ей частное приращение ПФДх). При малых Ах, имеем приближенное равенство:

 

дХі Ах/

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат X/ /-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину

^ (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близ-

дхі

кое к ней отношение малых конечных величин, т.е. А// (х) и Ах,. Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания эко-

т-тт-т^ч   9f(x) ^

номического смысла ППФ        . С другими предельными величине/

нами следует поступать аналогичным образом.

> Пример 342. Для ПФКД у = а^Хх2   найдем в явном виде

А, А2, М и М2. Имеем:

 

А — — ^         — @оXj1 х22 А2 ~ — =     — QqXj 1 х22

X]      Xj          х2 х2

м „df(x)_ м _df(x)_ 9

М =—— = ахАъ М2 =-        а2Аъ

ОХ ОХ2

 

—]- = ах< =>МХ<АХ, — = а2< =>М2<А2. А А

Для ПФ y=f (х) (не только для ПФКД) неравенства М{<А{ (/= 1, 2)

(т.е. предельная производительность /-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.

> Пример 3.13. Для ЛПФ у = а$+аХ+а2Х2  (flo>0, Ді>0, а2>0) найдем в явном виде А, А2, Mi и М2. Имеем:

 

Ах = — =        = — + ах + я2—;

Х        Хх       Хх Хх

А     У   '/(*)   а0      хх в

А2 — — =      =          ь ах      ья2;

дхл

х2     х2     х2 х2

 

М = —— = ах; М2 = —— = а2

cbt?

 

< 1 => Мх < Ах      < 1 М2<А2.

 

> Пример 3.14. Для ПФ ПЭЗР у = а0-(аххх~а +а2х2аун/а имеем:

Подпись: ha0ax
Подпись: (п v-(X 4- п v"a (h/a) + 1 va+1
(аххх   +а2х2 ) хх

 

М =

 

ha0a2

АХ=^;А2=^ хх х2

 

; м2 =

(аххГ+а2Х2«)(Н/а)+1хГ19

Мх

haxxx 1

М7

■<h.

ha2x2c

Ах ахх1а+а2х2а

^2    аххх a + a2x2a Пусть у = / (jc) — ПФ, х = (jq, jc2) (х = (х!,...,:с„)).Отношение

предельной производительности Мі /-го ресурса к его средней производительности At называется (частной) эластичностью выпуска по z-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

Еі=мі±^ш (/=i,2).

At   f(x) дХі

Сумма Е + Е2 = Ех (Ех + ... + £„ = Ех) называется эластичностью производства.

Поскольку при малом приращении Ах, имеем приближенное равенство (крайнее правое выражение есть отношение двух относительных ве-

личин и-^-), постольку Е, (приближенно) показывает, на

/(*) Xi

сколько процентов увеличится выпуск у9 если затраты /-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Пояснение выражения Е19 содержащего предельную величину

df(x)

-, с помощью выражения, содержащего конечное приближе-

дх;

Д//00

ние   v      этой .предельной величины, является ключевым в пони-

/(*)

мании экономической сути частной эластичности выпуска по /-му ресурсу.

Пример 3.15. Выпишем в явном виде для ПФКД выражения для Еь Е2 и Ех.

Имеем:

Ех = а{ Е2 = а2; Ех = Е + Е2 — а + а2.

Пример 3.16. Для ЛПФ у — аХ+а2х2 (ао = 0) выпишем в явном виде выражения для Е9 Е2я Ех.

Имеем:

хх   df(x)       аххх      х2  df(x)       а2х2 .

Е]=———      =          ,£2=-    ■     - -

f(x) дхх     ахххл-а2х2        f(x) дх2 ахххл-а2х2 Ех = Ех + Е2= 1.

> Пример 3.17. Для ПФ ПЭЗР у = а0 -(аххха +a2x2ayhla выпишем в явном виде выражения для Е9 Е2, Ех — h (см. пример 3.14).

Пусть у =f(x) — ПФ, х = (х9 х2) (х = (хХ9...9хп)). Предельной нормой замены /-го ресурса (фактора производства) у-м (аббревиатура: ПНЗФ и символика: Щ) называется выражение

Rij = -—.(hj = U29j*j)9

д          *< (3.3)

r           -L (/9 j = 9   f п- і ф у; Xk - const; кФі9к* j)

dxt

при постоянной у.

Обратим внимание на то, что / — номер заменяемого ресурса, j — номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены /-го ресурса (фактора

производства) у-м ресурсом (факторомпроизводства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены ресурсов.

Пусть выпуск у является постоянным, т.е. все наборы (конфигурации) затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте, тогда первый полный дифференциал dy ПФ у == Дх) тождественно равен нулю:

 

(здесь dx, dx2 — дифференциалы переменных Х, xi), откуда, выражая первый дифференциал dxj, получим

df(x)

dxj = ~lf{x)dXi aj = l'2)' (3,4) откуда, поделив на dxh получим

dxj _ дХі

= 1,2). (3.5)

dxt Щх) dxj

На основании (3.3)—(3.5) имеем:

дДх)

 

Sxj

Отметим, что строгий вывод формулы (3.6) опирается в действительности на теорему о неявной функции.

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство:

п -ЕХ2

К2~    >

Ег х

т.е. (предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса.

к

Если jcj = К, х2 = L, то отношение — = — называется капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

Пусть ПФ — двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Ахі и Ах2 имеем приближенное равенство:

R2-—~

-dx Ajcj

(3.7)

На основании (3.7) (предельная) норма замены ресурсов R2 (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу.

Чем круче касательная к изокванте lq в точке (х\> х2), тем

 

больше выражение   и, следовательно, норма замены Rx2 пер-

dx

вого ресурса вторым (рис. 3.11).

> Пример 3.18. Для ПФКД у = аъхаха2 выпишем в явном виде выражения R2 и R2. Имеем:

R2Z

ду_

{дх:

2 J

            > R2

а2 х2

 

dx2j

ду KdxXJ а2 х2

> Пример 3.19. Для ПФ у = аъ+аХ+а2х2 выпишем в явном виде выражения R2 и R2. Имеем:

 

Rl2 =

 

{дх{

ґду^ "

vdx2

 

а2

ду_ дхг дх

= ^1

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |